4.1.2圆的一般方程.doc

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1、圆的一般方程一修养目标1知识与技能1在操纵圆的标准方程的基础上，理解阅历圆的一般方程的代数特色，由圆的一般方程判定圆的圆心半径，操纵方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.2能通过配方等伎俩，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.3培养老师探求觉察及分析处置征询题的理论才干.2过程与方法通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探求，培养老师探求觉察及分析处置征询题的理论才干.3情感破场与价值不雅观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高老师的全部素养，鼓舞老师创新，勇于探求.二修养重点、难点修养重点：圆的一般方程的代数特色，一般方程与标准方程间的互

2、化，按照已经清楚条件判定方程中的系数，D、E、F.修养难点：对圆的一般方程的见解、操纵跟使用.三修养过程修养环节修养内容师生互动方案意图课题引入征询题：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程.使用圆的标准方程处置此征询题显然有些麻烦，得用直线的知识处置又有其复杂的范畴性，那么谁人征询题有不不的的处置方法呢？带着谁人征询题我们来共同研究圆的方程的另一种方法圆的一般方程.让老师带着征询题停顿思索设疑激趣导入课题.不雅观点构成与深化请同学们写出圆的标准方程：(xa)2+(yb)2=r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并拾掇：x2+y22ax2by+a2+b2r2=0

3、.取D=2a，E=2b，F=a2+b2r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0谁人方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线肯定是圆吗？把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(配方过程由老师去完成)谁人方程是不是表示圆？1当D2+E24F0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；2当D2+E24F=0时，方程只要实数解，即只表示一个点；3当D2+E24F0时，方程不实数解，因此它不表示任何图形.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不用定是圆.只要当D2+E24F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为

4、圆的一般方程.全部探求过程由老师完成，教师只做指导，得出圆的一般方程后再启发老师归纳.圆的一般方程的特征：1x2跟y2的系数一样，不等于0.不xy如斯的二次项.2圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要要出这三个系数，圆的方程就判定了.3与圆的标准方程比较拟，它是一种特不的二元二次方程，代数特色清楚，圆的标准方程那么指出了圆心坐标与半径大小，几多何特色较清楚.通过老师对圆的一般方程的探求，使老师亲躯体会圆的一般方程的特征，及二元二次方程表示圆所称心的条件.使用举例例1揣摸以下二元二次方程是否表示圆的方程？假设是，央求出圆的圆心及半径.14x2+4y24x+12y+9=024x2+4y

5、24x+12y+11=0分析：1将原方程变为x2+y2x+3y+=0D=1，E=3，F=.D2+E24F=10此方程表示圆，圆心，半径r=.2将原方程化为x2+y2x+3y+=0D=1，E=3，F=.D2+E24F=10此方程不表示圆.老师自己分析探求处置路途：用配方法将其变形化成圆的标准方法.使用圆的一般方程的揣摸方法求解.但是，要留心关于14x2+4y24x+12y+9=0来说，这里的D=1，E=3，而不是D=4，E=12，F=9.通过例题讲解使老师理解圆的一般方程的代数特色及与标准方程的相互转化更进一步培养老师探求觉察及分析处置征询题的才干.例2求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4

6、，2)的圆的方程，并求谁人圆的半径长跟圆心坐标.分析：据已经清楚条件，特不难开门见山写出圆的标准方程，而圆的一般方程那么需判定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，因此它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以掉掉落关于D、E、F的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D=8，E=6，F=0所求圆的方程为：x2+y28x+6y=0；.得圆心坐标为(4，3).或将x2+y28x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，(x4)2+(y+3)2=25，从而求出圆的半径r=

7、5，圆心坐标为(4，3).例2讲完后老师讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步伐：1按照题设，选择标准方程或一般方程.2按照条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；3解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.例3已经清楚线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x+1)2+y2=4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，因此，因此有x0=2x4，y0=2y3由于点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，因此点A的坐标称心方程(x+1)2+y2=4，即(x0+1)2+y02=4

8、把代入，得(2x4+1)2+(2y3)2=4，拾掇得因此，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.MAxyOB课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.教师跟老师一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A运动惹起点M运动，而点A在已经清楚圆上运动，点A的坐标称心方程(x+1)2+y2=4.树破点M与点A坐标之间的关系，就可以树破点M的坐标称心的条件，求出点M的轨迹方程.归纳总结1圆的一般方程的特色2与标准方程的互化3用待定系数法求圆的方程4求与圆有关的点的轨迹教师跟老师共同总结让老师更进一步回想体会知识的构成、展开、完满的过程.课后作业布置作业：见习案4.1的第二课时老师独破完成稳定深化备选

9、例题例1以下各方程表示什么图形？假设表示圆，求出圆心跟半径.1x2+y2+x+1=0；2x2+y2+2ac+a2=0(a0)；32x2+2y2+2ax2ay=0(a0).【分析】1由于D1，E0，F1，因此D2+E24F0方程1不表示任何图形；2由于D2a，E0，Fa2，因此D2+E24F4a24a2=0，因此方程2表示点(a，0)；3单方同时除以2，得x2+y2+axay=0，因此D=a，E=a，F=0.因此D2+E24F0，因此方程3表示圆，圆心为，半径.点评：也可以先将方程配方再揣摸.例2已经清楚一圆过P(4，2)、Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程.【分析】涉及与圆

10、的弦长有关的征询题时，为简化运算，那么使用垂径直径定理跟由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【分析】法一：设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0将P、Q的坐标分不代入得令x=0，由，得y2+Ey+F=0由已经清楚|y1y2|=，其中y1，y2是方程的两根.(y1y2)2=(y1+y2)4y1y2=E24F=48解联破成的方程组，得故所求方程为：x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=0.法二：求得PQ的中垂线方程为xy1=0所求圆的圆心C在直线上，故设其坐标为(a，a1)，又圆C的半径由已经清楚圆C截y轴所得的线段长为，而圆C到y轴的距离为|a|.代入并将中间平方，得a25a+5=0，解得a1=1，a2=5.故所求的圆的方程为：(x1)2+y2=13或(x5)2+(y4)2=37.【评析】(1)在解此题时，为简化运算，要避开开门见山去求圆跟y轴的两个交点坐标，否那么打算要复杂得多.2涉及与圆的弦长有关征询题，常用垂径定理跟由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3已经清楚方程x2+y22(t+3)x+2(1t2)y+16t4+9=0表示一个圆，求1t的取值范畴；2该圆半径r的取值范畴.【分析】原方程表示一个圆的条件是D2+E24F=4(t+3)2+4(1t2)24(16t4+9)0即7t26t10，2