6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质[收.pdf

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1、1 6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量x、y，若对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是x的函数，记作xfy，Dx。（2）三角函数线设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，设它与角的终边（当在 第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于T.规定：当OM与x轴同向时为正值，当OM与x轴反向时为负值；当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为

2、负值；当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；根据上面规定，则,OMx MPy,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：网sin1yyyMPr；cos1xxxOMr；tanyMPATATxOMOA；这几条与单位圆有关的有向线段,MP OMAT叫做角的正弦线、余弦线、正切线。二、讲授新课【问题驱动1】结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：Rxxy,sin；（2）余弦函数：Rxxy,cos【问题驱动2】如何作出正弦

3、函数Rxxy,sin、余弦函数Rxxy,cos的函数图象？2、正弦函数Rxxy,sin的图像（1）2,0,sinxxy的图像【方案 1】几何描点法步骤 1：等分、作正弦线将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；2 步骤 2：描点平移定点，即描点xx sin,；步骤 3：连线用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。【方案 2】五点法步骤 1：列表列出对图象形状起关键作用的五点坐标；步骤 2：描点定出五个关键点；步骤 3：连线用 光滑 的曲线顺次连结五个点文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9

4、T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 H

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7、 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3

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10、T2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R33 小结：2,0,sinxxy的五个关键点是0,0、1,2、0,、0,23、0,2。（2）Rxxy,sin的图像由Zkxxk,sin2sin，所以函数xysin在区间22,2kk0,kZk上的图像与在区间2,0上的图像形状一样,只是位置不同.于是我们只要将函数2,0,sinx

11、xy的图像向左、右平行移动(每次平行移动2个单位长度)，就可以得到正弦函数Rxxy,sin的图像。3、余弦函数Rxxy,cos的图像（1）2,0,cosxxy的图像（2）Rxxy,cos的图像图像平移法由xxcos2sin，可知只须将Rxxy,sin的图像向左平移2即可。三、例题举隅例、作出函数2,0,sin1xxy的大致图像；【设计意图】考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像【解】列表x02232xsin01010 xysin112101描点在直角坐标系中，描出五个关键点：1,0、2,2、1,、0,23、1,2连线练习、作出函数2,0,sin21xxy的大致图像文档编码:CT2C7I9T

12、8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA

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17、档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT

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19、osx 1，即 1sinx1，1cosx1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是1，1其中正弦函数y=sinx，xR 当且仅当x22k，kZ 时，取得最大值1当且仅当x22k，kZ 时，取得最小值1而余弦函数ycosx，xR 当且仅当x2k，kZ 时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ 时，取得最小值1 3周期性由 sin(x2k)sinx，cos(x2k)cosx(kZ)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做 周期函数，非零常数T 叫

20、做这个函数的周期。由此可知，2，4，,，2，4，,2k(kZ 且 k0)都是这两个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码

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24、0O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K

25、10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3

26、F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9

27、R35 数就叫做f(x)的最小正周期。4奇偶性由 sin(x)sinx，cos(x)cosx 可知：ysinx 为奇函数，ycosx 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称5单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间22k，22k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到 1；在每一个闭区间22k，23 2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到 1。余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1 增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到 1y=sinxy=cos x图象定义域R R 值域 1,1 1,1最值当且仅当x2

28、2k，k Z 时，取得最大值1当且仅当x2 2k，kZ 时，取得最小值1 当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1当且仅当x(2k1)，kZ 时，取得最小值1 周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性在闭区间22k，22k(kZ)上单调递增，；在闭区间22k，232k(kZ)上单调递减在闭区间(2k 1)，2k(k Z)上单调递增；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上单调递减典型例题（3 个，基础的或中等难度）例 1：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA

29、5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3

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32、3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文

33、档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT

34、2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T

35、8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R36（1）ycosx1，xR；（2）ysin2x，xR解：（1）使函数 ycosx1，xR 取得最大值的x 的集合，就是使函数ycosx，xR 取得最大值的x 的集合 xx2k，kZ。函数 ycosx1，xR 的最大值是112。（2）令 Z2x，那么 xR 必须并且只需ZR，且使函数ysin

36、Z，ZR 取得最大值的 Z 的集合是 ZZ22k，kZ由 2xZ2 2k，得 x4k即 使函数 ysin2x，xR 取得最大值的x 的集合是 xx4k，kZ函数 ysin2x，xR 的最大值是1。例 2：求下列函数的单调区间（1）y cosx（2）y=41sin(4x-3)（3）y=3sin(3-2x)解：（1）由 y cosx 的图象可知：单调增区间为2k，(2k1)(kZ)单调减区间为(2k1)，2k(kZ)（2）当 2k-24x-32k+2，函数的递增区间是2k-24，2k+245(k Z)当 2k+2 4x-32k+23函数的递减区间是2k+245,2k+2411(k Z)（3）当 2

37、k-23-2x 2k+2时，函数单调递减，函数单调递减区间是 k-12，k+125(kZ)当 2k+23-2x 2k+23时，函数单调递增，函数单调递减区间是k+125，k+1211(kZ)例 3：求下列三角函数的周期：(1)y=sin(x+3)(2)y=cos2x(3)y=3sin(2x+5)解：(1)令 z=x+3而 sin(2+z)=sinz 即：f(2+z)=f(z)f(x+2)+3=f(x+3)周期 T=2.(2)令 z=2x f(x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos2(x+)即：f(x+)=f(x)周期 T=。文档编码:CT2C7I9T8Z9 H

38、A5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O

39、3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10

40、 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3

41、C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3

42、文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:C

43、T2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9

44、T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R37(3)令 z=2x+5则f(x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(2x+5+2)=3sin(524x)=f(x+4)周期 T=4。注：yAsin(x)的周期 T=|2。（四）课堂练习（2 个，

45、基础的或中等难度）1、求使下列函数y=3-cos2x取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。解：当 cos2x=-1，即2x=2k+，kZ，x|x=4k+2，kZ ，y=3-cos2x取得最大值。2、求 y=x2sin21的周期。解：y=x2sin21=41(1-cos2x)=41-41cos2x，T=。3、求函数y=3cos(2x+3)的单调区间。解：当 2k 2x+32k+时，函数单调递减，函数的单调递减区间是k-6，k+3(kZ)当 2k-2x+32k时，函数单调递增，函数的单调递增区间是k-32，k-6(kZ)（五）拓展探究（2 个）1、求下列函数的周期：（1）y=sin(2

46、x+4)+2cos(3x-6)（2）y=|sinx|（3）y=23 sinxcosx+2cos2x-1 解：（1）y1=sin(2x+4)最小正周期T1=y2=2cos(3x-6)最小正周期T2=32 T 为 T1,T2的最小公倍数2 T=2（2）T=（3）y=3 sin2x+cos2x=2sin(2x+6)T=2、求下列函数的最值：文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:C

47、T2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9

48、T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 H

49、A5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O

50、3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10 ZR3F3C3L9R3文档编码:CT2C7I9T8Z9 HA5E10O3A1K10