20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.14 参数的分类讨论（解析版）.docx

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1、第十五讲 参数的分类讨论【套路秘籍】-始于足下始于足下用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性征询题一般要分类讨论，稀有的分类讨论标准有以下几多种可以：方程f(x)0是否有根；假设f(x)0有根，求出根后揣摸其是否在定义域内；假设根在定义域内且有两个，比较根的大小是稀有的分类方法【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一一次函数型【例1】已经清楚常数a0，f(x)alnx2x.当f(x)的最小值不小于a时，务虚数a的取值范围【答案】看法析【分析】由于f(x)，因此当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在(0，)上单调递增，不最小值；当a0得，x，因此f(x)在上单调递增

2、；由f(x)0得，0x，因此f(x)在上单调递减因此当a0时，f(x)的最小值为faln2.按照题意得faln2a，即aln(a)ln20.由于a0，因此ln(a)ln20，解得2a0，因此实数a的取值范围是2,0)【套路总结】用导数法求给定区间上的函数的最值征询题的一般步伐第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性跟极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值停顿比较，判定f(x)的最大年夜值与最小值；第五步：(反思)反思回想，反省关键点，易错点跟解题标准【举一反三】1.

3、已经清楚函数f(x)klnx，k，求函数f(x)在上的最大年夜值跟最小值【答案】看法析【分析】f(x).假设k0，那么f(x)，在上恒有f(x)0，因此f(x)在上单调递减假设k0，那么f(x).()假设k0，那么在上恒有0，由ke，那么x0在上恒成破，因此0，因此f(x)在上单调递减综上，当k0时，求函数f(x)在1,2上的最小值【答案】看法析【分析】(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为(2)当1，即a1时，函数f(x)在1,2上是减函数

4、，因此f(x)的最小值是f(2)ln22a.当2，即0a时，函数f(x)在1,2上是增函数，因此f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln2a，因此当aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a1时，最小值为f(2)ln22a.综上可知，当0a0，f(x)12ax2+1，求a的取值范围.【答案】(1)f(x)极小值=1，无极大年夜值；(2)(-,1.【分析】令f(x)=ex-1=0，x=0x(-,0)0(0,+)f(x)-0+f(x)极小值f(x)极小值=f(0)=1，无极大年夜值；II对任意x0，f(x)12ax2+1即ex-x

5、-12ax2-10，设g(x)=ex-x-12ax2-1，g(x)=ex-1-ax，事前a0，g(x)单调递增，g(0)=0,g(x)0,g(x)单调递增，g(x)g(0)=0，成破；事前00，g(x)单调递增，g(0)=0,g(x)0,g(x)单调递增，g(x)g(0)=0，成破；事前a1，事前0xlna，h(x)=ex-a0，g(x)单调递减，g(0)=0,g(x)0,g(x)单调递减，g(x)0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(2)由题意，函数f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，那么g(x)exa，假设a1，那么

6、当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0，假设a1，那么当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lna)时，g(x)0，即f(x)0，不符合题意，综上，实数a的取值范围为(，1考向三对数型函数中的参数【例3】已经清楚函数f(x)=x+alnx1当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；2求f(x)的单调区间【答案】12x-y-1=0；2当a0时，f(x)的单调增区间是0,+；事前a0因此，f(1)=2，因此切线方程为2f(x)=x+ax(x0)当a0时，在x(0,+)时f(x)

7、0，因此f(x)的单调增区间是0,+；当a0时，函数f(x)与f（x)在定义域上的情况如下：x(0,-a)(-a,+)f（x)-0+f(x)极小值因此f(x)的单调递减区间是(0,-a)；递增区间是(-a,+)综上所述：当a0时，f(x)的单调增区间是0,+；事前a0，因此fx在0,+上单调递增，无极值点，事前a0，解fx=1x-a0得0x1a，解fx=1x-a1a，因此fx在0,1a上单调递增，在1a,+上单调递减，因此函数fx有极大年夜值点1a，无极小值点.2由条件可得lnx-x2-ax0(x0)恒成破，那么事前x0，alnxx-x恒成破，令hx=lnxx-x(x0)，那么hx=1-x2-

8、lnxx2，令kx=1-x2-lnx(x0)，那么事前x0，kx=-2x-1x0；在1,+上，hx0.因此hx在0,1上为增函数；在1,+上为减函数.因此hxmax=h1=-1，因此a-1.2已经清楚函数f(x)=(1+a)x2-lnx-a+1(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)假设a0，函数y=xf(x)的图像恒在函数y=lnx+(1+a)x3-x2的图像上方.【答案】1看法析；2见证明【分析】(1)函数的定义域为0,+且fx=21+ax-1x=21+ax2-1x事前a-1，fx-1，令fx=0，解得x=21+a21+a现在函数fx在0,21+a21+a上递减，在21+a21+a,+上递增

9、(2)证明：假设a0，征询题转化为不等式xfxlnx+1+ax3-x2在0,+上恒成破只需求证明x1+ax-lnx-a+1lnx+1+ax3-x2在0,+上恒成破即证lnx-xlnxx-a+1在0,+上恒成破令Fx=lnx-x,gx=-lnxx-a+1由于Fx=1x-1=1-xx，易得Fx在0,1单调递增，在1,+上单调递减，因此FxF1=-1又gx=-1-lnxx2=lnx-1x2，事前0xe，gxe，gx0，因此gx在0,e上递减，在e,+上递增，因此gxge=-1e-a+1又a-1e-1即Fxmaxgxmin，因此lnx-xlnxx-a+1在0,+上恒成破因此事前a0，得0x1，由g(x

10、)1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，假设，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，假设1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增2.已经清楚函数f(x)x2eax1(a是常数)，求函数yf(x)的单调区间【答案】看法析【分析】按照题意可得，当a0时，f(x)x21，f(x)2x，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减当a0时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)由于

11、eax0，因此令g(x)ax22x0，解得x0或x.当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)跟上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增当a0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调增区间为(0，)，单调减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调减区间为(，0)，单调增区间为；当a01讨论f(x)的单调性；2假设f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：fx1+fx23-2ln2

12、.【答案】1详看法析；2详看法析.【分析】1由题意得：fx的定义域为0,+，fx=-1x-2ax+1=-2ax2+x-1xx0令gx=-2ax2+x-1a0，=1-8a当=1-8a0，即a18时，gx0恒成破刻：fx0fx在0,+上单调递减当=1-8a0，即0a18时令gx=0，解得：x1=-1+1-8a2-4a=1-1-8a24a，x2=1+1-8a24a事前x0,x1x2,+，gx0，即fx0，即fx0fx在0,1-1-8a24a，1+1-8a24a,+上单调递减；在1-1-8a24a,1+1-8a24a上单调递增2fx在定义域上有两个极值点x1,x2由1知0a18且x1,x2是方程-2a

13、x2+x-1=0的两个不等实根那么x1+x2=12a，x1x2=12afx1+fx2=ln1x1-ax12+x1+ln1x2-ax22+x2=ln1x1x2-ax1+x22-2x1x2+x1+x2=ln2a-a14a2-1a+12a=ln2a+14a+1设va=ln2a+14a+1，那么v(a)=4a-14a20a184a-10vav18=ln14+2+1=3-2ln2那么fx1+fx23-2ln2成破【举一反三】已经清楚函数，其中.1讨论的单调性；2假设有两个极值点，证明：.【答案】1详看法析；2详看法析.【分析】1解：由题得，其中，考察，其中对称轴为，.假设，那么，现在，那么，因此在上单调

14、递增；假设，那么，现在在上有两个根，且，因此事前，那么，单调递增；事前，那么，单调递减；事前，那么，单调递增，综上，事前，在上单调递增；事前，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.2证明：由1知，事前，有两个极值点，且，因此.令，那么只需证明，由于，故在上单调递减，因此.又事前，故，因此，对任意的，.综上，可得.考向六导数与不等式【例6】已经清楚函数f(x)1，g(x)xlnx.(1)证明：g(x)1；(2)证明：(xlnx)f(x)1.【答案】看法析【分析】(1)由题意得g(x)(x0)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数因此g(

15、x)g(1)1，得证(2)由f(x)1，得f(x)，因此当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，因此f(x)f(2)1(当x2时取等号)又由(1)知xlnx1(当x1时取等号)，因此等号差异时取得，因此(xlnx)f(x)1.【套路总结】一证明不等式的全然步伐是：(1)将不等式构构成f(x)0(或0)的方法；(2)使用导数将函数yf(x)在所给区间上的最小值(或最大年夜值)求出；(3)证明函数yf(x)的最小值(或最大年夜值)大年夜于零(或小于零)即可证得原不等式成破(4)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)f(x)g(x)0(使用

16、单调性)，特不情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法)，但后一种方法不存在普遍性5)证明二元不等式的全然思想是化为一元不等式，一种方法为变卦不等式使两个变元成为一个全部，另一种方法为转化后使用函数的单调性，如不等式f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)对x10，fx2elnx+1.【答案】1a=-1，b=0；2详看法析.【分析】1由于fx=x+1ex+2ax-1，函数fx在点0,f0处的切线方程的歪率为3，因此f0=1-2a=3，解得a=-1.又f0=-1，因此-0-12+b=-1，解得b=0.2由1得fx=xex-x-12.设gx=fx-2elnx-1=xex-2elnx-x-1

17、2-1，那么gx=x+1ex-2ex-2x-1.令hx=x+1ex-2ex-2x-1，x0，那么hx=x+2ex+2ex2+2.因此事前x0,+，hx0，故hx在0,+上单调递增.又h1=0，因此事前x0,1，gx0.因此gx在0,1上单调递减，在1,+上单调递增.因此事前x=1，gx取得最小值g1=e-10.因此gx0，即fx2elnx+1.2.已经清楚函数f(x)xlnxex1.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)证明：f(x)sinx在(0，)上恒成破【答案】看法析【分析】(1)解依题意得f(x)lnx1ex，又f(1)1e，f(1)1e，故所求切线方程为y1e(

18、1e)(x1)，即y(1e)x.(2)证明依题意，要证f(x)sinx，即证xlnxex1sinx，即证xlnxexsinx1.当00，xlnx0，故xlnxexsinx1，即f(x)1时，令g(x)exsinx1xlnx，故g(x)excosxlnx1.令h(x)g(x)excosxlnx1，那么h(x)exsinx，当x1时，exe11，因此h(x)exsinx0，故h(x)在(1，)上单调递增故h(x)h(1)ecos110，即g(x)0，因此g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)g(1)esin110，即xlnxexsinx1，即f(x)sinx.综上所述，f(x)0)(1)求函数

19、f(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)【答案】看法析【分析】(1)f(x)2a2lnxx2，f(x)2x，x0，a0，当0x0，当xa时，f(x)0.f(x)的单调增区间是(0，a)，单调减区间是(a，)(2)由(1)得f(x)maxf(a)a2(2lna1)讨论函数f(x)的零点情况如下：当a2(2lna1)0，即0a时，函数f(x)无零点，在(1，e2)上无零点；当a2(2lna1)0，即a时，函数f(x)在(0，)内有唯一零点a，而1a0，即a时，由于f(1)10，f(e2)2a2ln(e2)e44a2e4(2ae2)(2ae2)，

20、当2ae20，即a时，1ae2，f(e2)时，f(e2)0，同时f()2a2ea2e0，f(1)10，由函数的单调性可知，不论ae2，仍然ae2，f(x)在(1，)内有唯一的零点，在(，e2)内不零点，从而f(x)在(1，e2)内只需一个零点综上所述，当0a时，函数f(x)在区间(1，e2)上无零点；当a或a时，函数f(x)在区间(1，e2)上有一个零点；当a0，当a0时，f(x)0，函数f(x)的增区间为(0，)；当a0时，f(x)，令f(x)0，由于x0，因此x0，因此x，因此函数f(x)的单调增区间为(，)综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调增区间为(

21、，)(2)由(1)知，假设a0，f(x)在(0，)上为增函数，函数f(x)至多有一个零点，不合题意假设a0，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(，)上为增函数，因此f(x)minf()aalnaa(1lna)要使f(x)有两个零点，那么f(x)mina(1lna)e.下面证明：当ae时，函数f(x)有两个零点由于ae，因此1(0，)，而f(1)0，因此f(x)在(0，)上存在唯一零点方法一又f(a)ea2aa(ea12lna)，令h(a)ea12lna，ae，h(a)e0，因此h(a)在(e，)上单调递增，因此h(a)h(e)e230，因此f(x)在(，)上也存在唯一零点综上，当ae时，函

22、数f(x)有两个零点因此当f(x)有两个零点时，实数a的取值范围为(e，)方法二先证x(1，)有lnxx2axa.由于ae，因此aa.由于(a)2a(a)a0.因此f(a)0，因此f(x)在(，)上也存在唯一零点；综上，当ae时，函数f(x)有两个零点因此当f(x)有两个零点时，实数a的取值范围为(e，)2.已经清楚函数f(x)xlnx，g(x)x2ax3(a为实数)，假设方程g(x)2f(x)在区间上有两个不等实根，务虚数a的取值范围【答案】看法析【分析】由g(x)2f(x)，可得2xlnxx2ax3，ax2lnx，设h(x)x2lnx(x0)，因此h(x)1.因此x在上变卦时，h(x)，h

23、(x)的变卦情况如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值又h3e2，h(1)4，h(e)e2.且h(e)h42e0.因此h(x)minh(1)4，h(x)maxh3e2，因此实数a的取值范围为40)，由f(x)0，得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)lne2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，那么(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数

24、g(x)有且只需一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只需一个零点；当0m0，那么由f(x)0得xlna.当x(，lna)时，f(x)0.故f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增假设a0，那么由f(x)0得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上所述，当a0时，f(x)在(，)上单调递增；当a0时，f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增3.已经清楚函数f(x)x3ax1，试讨论f(x)的单调性【答案】看法析【分析】f(x)3x2a.当a0时，f(x)

25、0，因此f(x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0，得x；当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.因此f(x)在(，)，(，)上为增函数，在(，)上为减函数综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在(，)，(，)上为增函数，在(，)上为减函数4.已经清楚函数f(x)k，假设x2是函数f(x)的唯逐一个极值点，那么实数k的取值范围_【答案】(，e【分析】由于函数f(x)k，因此函数f(x)的定义域是(0，)，因此f(x)k.由于x2是函数f(x)的唯逐一个极值点，因此x2是yf(x)的唯一变号零点因此yk在(0，)上无变号零点，设g(x)k，那么g(x).当x(0

26、,1)时，g(x)0，因此g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，因此g(x)ming(1)ek，假设g(x)在(0，)上无变号零点，那么需要g(x)0在(0，)上恒成破，因此g(x)min0，即ek0，即ke，因此假设x2是函数f(x)的唯逐一个极值点，那么应需ke.5.已经清楚函数f(x)ex1xax2.(1)当a0时，求证：f(x)0；(2)当x0时，假设不等式f(x)0恒成破，务虚数a的取值范围【答案】看法析【分析】(1)证明当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)minf(0)

27、0，f(x)0.(2)解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，那么h(x)ex2a.当2a1，即a时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，)上为增函数，f(x)f(0)0，当a时称心条件当2a1，即a时，令h(x)0，解得xln(2a)，在0，ln(2a)上，h(x)0，h(x)单调递减，当x(0，ln(2a)时，有h(x)h(0)0，即f(x)f(0)0，f(x)在区间(0，ln(2a)上为减函数，f(x)f(0)0，不合题意综上，实数a的取值范围为.6已经清楚函数f(x)axex(aR)，g(x).(1)求函数f(x)的单

28、调区间；(2)x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex成破，求a的取值范围【答案】看法析【分析】(1)由于f(x)aex，xR.当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得xlna.由f(x)0，得f(x)的单调增区间为(，lna)；由f(x)0时，f(x)的单调增区间为(，lna)，单调减区间为(lna，)(2)由于x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，那么ax，即a.设h(x)，那么征询题转化为amax，由h(x)，令h(x)0，得x.当x在区间(0，)内变卦时，h(x)，h(x)随x变卦的变卦情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)极大年夜值由上表可知，当x时，函数h(x)有极大年

29、夜值，即最大年夜值为，因此a.故a的取值范围是.7已经清楚函数f(x)=ex-ax21假设a=1，证明：事前x0，f(x)1；2假设f(x)在(0,+)只需一个零点，求a的值.【答案】1看法析；2a=e24【分析】1事前a=1，f(x)1等价于(x2+1)e-x-10设函数g(x)=(x2+1)e-x-1，那么g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x事前x1，g(x)0，h(x)不零点；ii事前a0，h(x)=ax(x-2)e-x事前x(0,2)，h(x)0因此h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+)单调递增故h(2)=1-4ae2是h(x)在0,+)的最小值假设h(2)0，即ae24，h(x)在(0,+)不零点；假设h(2)=0，即a=e24，h(x)在(0,+)只需一个零点；假设h(2)0，即a