逢山开道建模实验报告.doc

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1、数学建模与数学实验实验报告实验3 逢山开道专业、班级学号姓名 课程编号实验类型综合性学时实验（上机）地点教七楼数学实验中心完成时间2015-05-26任课教师谷根代评分 一、实验目的及要求1掌握数学软件Matlab的基本用法和一些常用的规则，能用该软件进行编程；2理解线性插值方法，能够借助数学软件进行二维和三维网格化数据绘图；二、借助数学软件，研究、解答以下问题1600830980118013201450120074088010801130125080065076088097010204005106207308008500370470550660670Y/x040080012001600在下表

2、确定的区域中,设计从点A0(0,800)到点A1(1200,800)且满足坡度(0.125)要求的路线. 给出本问题的分析、假设、模型和结果，列出必要的程序清单等【解】：（一） 模型分析 从数据看，选择一条全局优化的道路很困难。因此，道路选择采用分段局部优化更容易实现！下面是道路上的关键点!A0：起始点（0，800）；A1：左桥址（山谷左侧）待定；A2：右桥址（山谷右侧）待定；A3：居民点（4000，2000）；A4：隧道南侧待定；A5：隧道北侧待定； A6：矿区（2000，4000）.（1） 一般公路A0A1、A2A3A4 、A5A6三段路线分别在满足坡度要求的条件下使路程最短；桥正好跨在两

3、岸高度相等的界限上，同时使桥的长度最短；隧道长度不超过300米，并满足坡度要求。（2）由于坡度限制，可能不能完全沿给定的网格点选择路线，这就需要在已知网格点插入一些位置点。（二） 模型假设 1、地貌假设：数据准确并充分，在四个相邻数据点间的矩形内高度没有太大的起伏；如果矩形内两条对角线两端高度数据的均值差远小于矩形的边长，则可近似认为该矩形内的高度分布是平面；2、路线假设：公路为一几何线（不考虑宽度，急转弯/缓急）；地质情况及气候不考虑；3、 裕量假设：溪流宽度已经留有桥梁高于水平的余地；坡度的上限已经考虑了裕量；4、 环境假设：无原公路可利用。（三） 模型建立 1、 桥的两端A1、A2的确定

4、 2、 隧道位置点A4 、A5的确定 3、 一般路段的优化设计一般公路包括：A0 A1、 A2 A3 A4 、 A5 A6三段，它们的优化原则确定为：（1）满足坡度要求，即0.125;（2）路程最短。一般路段的优化设计算法： 设该路段的终点为，当前优化路线上的点为，且在的边上，如图。 在上图中，我们要使得从点P到点Q的距离最短，点P附近区域的高程已知。不计路面状况的话两点间的直线距离最短，由于坡度的限制，这时我们就要考察由点P到交点的坡度是否符合道路的修建要求，如果符合的话，就选交点为新的起点；如果不符合坡度的要求，就在该区域的边界上对做一个移动，使得移动后的点符合要求，如果的选取不唯一，就要

5、利用直观分析法，选取最适合实际情况的点。一旦选定新的起点（点或点），设为，然后对点到终点Q按照原来的方法进行同样的分析。这样做下去，就可以得到一条由点P到终点Q的最优路线。1.首先利用二维插值的方法作出山体的地貌图和等高线图： %画出地貌图x=0 400 800 1200 1600;y=1600 1200 800 400 0;X Y=meshgrid(x,y);Z=830 980 1180 1320 1450 740 880 1080 1130 1250 650 760 880 970 1020 510 620 730 800 850 370 470 550 660 670;xi=linspa

6、ce(0,1600,100);yi=linspace(0,1600,100);XI,YI=meshgrid(xi,yi);ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,cubic);mesh(XI,YI,ZI)Title(地貌图)figureC,h=contour(XI,YI,ZI);Clabel(C,h)Title(等高线图)2. 寻找满足坡度要求的点（1）计算某点(x,y)和终点（1200,800）连线与小方块交点(xi,yi)function xi,yi=jiaodian(x,y)d=10; %控制小方块的大小a=d*(800-y)/(1200-x);b=d*(1200-x)/(800-

7、y);if a1200 xi=1200;endif yi800 yi=800;end;（2）计算点(xi,yi)处的高度值function hz=height(xi,yi)x=0 400 800 1200 1600;y=1600 1200 800 400 0;Z=830 980 1180 1320 14507408801080 1130 12506507608809701020510620730800850370470550660670;X Y=meshgrid(x,y);hz=interp2(X,Y,Z,xi,yi,cubic);（3）计算两点之间斜率function k=xielv(x1,

8、y1,x2,y2)dist=sqrt(x2-x1)2+(y2-y1)2);z1=height(x1,y1);z2=height(x2,y2);k=(z2-z1)/dist;（4）计算获得点(x,y)后一个点应该所在位置，在y方向依次下降function xi yi=next_px(x,y) tx ty=jiaodian(x,y);y2=ty;k=xielv(x,y,tx,ty);k0=0.125;if kk0&(tyy2-50&ty1) ty=ty-1; k=xielv(x,y,tx,ty); end; xi=tx; yi=ty;end;（5）计算获得点(x,y)后一个点应该所在位置，在x方向

9、依次下降function xi yi=next_py(x,y) tx ty=jiaodian(x,y);x2=tx;k=xielv(x,y,tx,ty);k0=0.125;if kk0&(txx2-20&tx1) tx=tx-1; k=xielv(x,y,tx,ty); end; if tx=x2-20 xi=x2-15; else xi=tx; end; yi=ty;end;（6）在地貌图上画出所求路径%画出地貌图x=0 400 800 1200 1600;y=1600 1200 800 400 0;Z=830 980 1180 1320 14507408801080 1130 125065

10、07608809701020510620730800850370470550660670;X Y=meshgrid(x,y);xi=linspace(0,1600,50);yi=linspace(0,1600,50);XI,YI=meshgrid(xi,yi);ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,cubic);mesh(XI,YI,ZI)hold on;%画出满足条件的路径clear;clc;x0=0;y0=800;x=x0;y=y0;while x01190|y0790 while x0-y0100 x1 y1=next_px(x0,y0); x=x x1; y=y,y1; for

11、 i=1:length(x) z(i)=height(x(i),y(i); end; x0=x1; y0=y1; end; while y0-x0100 x1 y1=next_py(x0,y0); x=x x1; y=y,y1; for i=1:length(x) z(i)=height(x(i),y(i); end; x0=x1; y0=y1; end; plot3(x,y,z,b); hold on;end;plot3(x,y,z,b);hold on;3.所求从点A0(0,800)到点A1(1200,800)且满足坡度(0.125)的路径如下：三、本次实验的难点分析实事求是的分析你在本次

12、实验中遇到的难点及可能的解决方案，这些难点可能来自建模、编程及一些其它方面的问题。这些问题的解决对你以后的进步和提高具有重要的作用和意义。难点：寻找满足坡度要求的点解决方案： 设该路段的终点为，当前优化路线上的点为，且在的边上。我们要使得从点P到点Q的距离最短，点P附近区域的高程已知。不计路面状况的话两点间的直线距离最短，由于坡度的限制，这时我们就要考察由点P到交点的坡度是否符合道路的修建要求，如果符合的话，就选交点为新的起点；如果不符合坡度的要求，就在该区域的边界上对做一个移动，使得移动后的点符合要求，如果的选取不唯一，就要利用直观分析法，选取最适合实际情况的点。一旦选定新的起点（点或点），设为，然后对点到终点Q按照原来的方法进行同样的分析。这样做下去，就可以得到一条由点P到终点Q的最优路线。四、参考文献 所列出的参考文献应是你在解答二中的问题中所引用的结果、结论或公式等，以帮助阅读者更清楚的了解你的解答细节及相关内容。1邓薇MATLAB函数速查手册，人民邮电出版社，2010