全微分的定义及计算.ppt

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1、全微分的定义及计算全微分的定义及计算目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义:如果函数如果函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点(x,y)可表示成可表示成其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，称为函数称为函数在点在点(x,y)的的全微分全微分,记作记作若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,则称函数则称函数 f(x,y)在点在点(x,y)可微可微，处全增量处全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.目录 上页 下页 返回 结束(2)偏导数连续偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面

2、两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数可微函数函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可微可微当函数可微时当函数可微时:得得函数在该点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1(必要条件必要条件)若函数若函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可微可微,则该函数在该点的偏导数则该函数在该点的偏导数同样可证同样可证证证:因函数在因函数在点点(x,y)可微可微,故故 必存在必存在,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量因此有因此有 目录 上页 下页 返回 结束 反例反例:函数函数易知易知 但但因此因此,函数在点函数在

3、点(0,0)不可微不可微.注意注意:定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立.偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !即即:目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2(充分条件充分条件)证：证：若函数若函数的偏导数的偏导数则函数在该点则函数在该点可微分可微分.目录 上页 下页 返回 结束 所以函数所以函数在点在点可微可微.注意到注意到,故有故有目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如,三元函数三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为的全微分为于是于是目录

4、 上页 下页 返回 结束 例例1.计算函数计算函数在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.解解:例例2.计算函数计算函数的全微分的全微分.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分定义微分定义:2.重要关系重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义定义目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习函数函数在在可微的充分条件是可微的充分条件是()的某邻域内存在的某邻域内存在;时是无穷小量时是无穷小量;时是无穷小量时是无穷小量.1.选择题选择题目录 上页 下页 返回 结束 在点在点(0,0)可微可微.在点在点(0,0)连续且偏导数存在连续且偏导数存在,续续,证证:1)因因故函数在点故函数在点(0,0)连续连续;但偏导数在点(0,0)不连 2.证明证明所以所以目录 上页 下页 返回 结束 同理同理极限不存在极限不存在,在点在点(0,0)不连续不连续;同理同理,在点在点(0,0)也不连续也不连续.2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 4)下面证明下面证明可微可微:说明说明:此题表明此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件.令令则则题目 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P76 1(3),(4);3.第四节 P69:1(2),(4),(8);5；6（3）；7.