数学物理方法复习第一节解读优秀PPT.ppt

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1、第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 以解析函数为中心，介绍了复变函数的微分，积分，以解析函数为中心，介绍了复变函数的微分，积分，幂级数，以及利用这些工具探讨解析函数特性得到的一幂级数，以及利用这些工具探讨解析函数特性得到的一些结果，大体就是实函数微积分相关内容在复函数中的些结果，大体就是实函数微积分相关内容在复函数中的推广，留意推广前后的异同！推广，留意推广前后的异同！11 1 复数与复数运算复数与复数运算1.复数的基本概念复数的基本概念虚数单位虚数单位复数复数实部、虚部实部、虚部纯虚数纯虚数两个复数相等两个复数相等实部和虚部分别相等实部和虚部分别相等第一章第一章 复变函数复变函数ZxyzO代

2、数式代数式代数式代数式复数平面复数平面复数平面复数平面实轴实轴实轴实轴虚轴虚轴虚轴虚轴 复数还可以用复平面上的矢量来表示！复数还可以用复平面上的矢量来表示！2复数的复数的三角表示式三角表示式三角表示式三角表示式：复数的复数的指数表示式指数表示式指数表示式指数表示式：z模或确定值：模或确定值：z的辐角：的辐角：辐角不确定辐角不确定.结论结论设设的一个辐角，的一个辐角，为为则则的辐角中，的辐角中，满足满足的角的角.ZxyzO3设设共轭复数共轭复数共轭复数共轭复数i)ii)iii)iv)定义定义ZxyzO42.无限远点无限远点N为北极为北极，S为南极为南极除去北极除去北极N，球面上的点与复平面内球面

3、上的点与复平面内的点一一对应的点一一对应.除去北极除去北极N，球面上的点与球面上的点与复数一一对应复数一一对应.这种对应叫做这种对应叫做即即因当因当A点无限地远离原点时点无限地远离原点时 或者说，当复数或者说，当复数z的模无限地变大时，的模无限地变大时，点点A就无限地接近于就无限地接近于N.所以，规定：所以，规定：复平面上有一个唯一的复平面上有一个唯一的复平面上有一个唯一的复平面上有一个唯一的“无穷远点无穷远点无穷远点无穷远点”与与与与N N相对应相对应相对应相对应.相应地，规定：相应地，规定：复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大无穷大无穷大”

4、与复平面上的无穷远点与复平面上的无穷远点与复平面上的无穷远点与复平面上的无穷远点 N N相对应相对应相对应相对应.记为记为记为记为 测地投影测地投影测地投影测地投影，球叫做，球叫做复数球复数球复数球复数球563.复数的运算复数的运算和差和差和差和差积积积积交换律结合律交换律结合律交换律结合律交换律结合律交换律、结合律、安排律交换律、结合律、安排律交换律、结合律、安排律交换律、结合律、安排律商商商商除法是乘法的除法是乘法的逆运算逆运算逆运算逆运算7有的时候接受三角式或者指数式表示更加简洁：有的时候接受三角式或者指数式表示更加简洁：辐角不能唯一确定，可以相差辐角不能唯一确定，可以相差 的整数倍的整

5、数倍8定义定义棣莫弗棣莫弗(DeMoivre)公式：公式：9下面求出下面求出w由棣莫弗公式得：由棣莫弗公式得：1011例例1i解解12若若z不在负实轴和原点上，则不在负实轴和原点上，则复数的加减与向量的加减一样复数的加减与向量的加减一样13扩充复平面：扩充复平面：复平面（有限复平面）：复平面（有限复平面）：包含无穷远点在内的复平面包含无穷远点在内的复平面不包含无穷远点在内的复平面不包含无穷远点在内的复平面复数复数：实部、虚部、模、辐角的概念均无意义实部、虚部、模、辐角的概念均无意义规定：规定：如无特殊说明，所谓如无特殊说明，所谓“平面平面”一般仍指有限平面，所谓一般仍指有限平面，所谓“点点”仍

6、指有限平面上的点仍指有限平面上的点.不规定其意义不规定其意义仍不确定仍不确定141.2 1.2 复变函数复变函数（一）复变函数的定义（一）复变函数的定义（一）复变函数的定义（一）复变函数的定义设设G是一个复数是一个复数的集合的集合.如果有一个确定的如果有一个确定的法则存在，对于集合法则存在，对于集合G中的每一个复数中的每一个复数就有一个或几个就有一个或几个与之对应，与之对应，复数复数那末称那末称是是 的函数的函数，记为记为Z称为称为w的宗量，定义域为的宗量，定义域为E在复变函数中，我们重点探讨的是解析函数在复变函数中，我们重点探讨的是解析函数复变函数的例子复变函数的例子15（二）（二）（二）（

7、二）区域的概念区域的概念区域的概念区域的概念满足确定条件的点集，称为区域满足确定条件的点集，称为区域Z0及其邻域不属于点集及其邻域不属于点集E，称为该点集的外点，称为该点集的外点16闭区域或闭域：闭区域或闭域：D为有界域：为有界域：假如区域假如区域D被包含在一个以原点为中心的圆里面，被包含在一个以原点为中心的圆里面，区域区域D与它的边界，记为与它的边界，记为区域是满足以下条件的点集：区域是满足以下条件的点集：区域是满足以下条件的点集：区域是满足以下条件的点集：（1）全由内点组成）全由内点组成（2）具有连通性，即点集中的随意两点都可以用一条折线连接）具有连通性，即点集中的随意两点都可以用一条折线

8、连接 且折线上的点都属于点集且折线上的点都属于点集圆形域圆形域环形域环形域闭圆域闭圆域闭环域闭环域17单连通域与多连通域单连通域与多连通域连续曲线：连续曲线：光滑曲线：光滑曲线：曲线曲线18简洁曲线或若尔当（简洁曲线或若尔当（Jardan）曲线）曲线:简洁闭曲线：简洁闭曲线：没有重点的曲线没有重点的曲线重点重点简洁、闭简洁、闭简洁、不闭简洁、不闭不简洁、不闭不简洁、不闭不简洁、闭不简洁、闭的简洁曲线的简洁曲线例：例：19复平面上的一个区域复平面上的一个区域B，假如在其中任作一条简假如在其中任作一条简洁闭曲线，而曲线的内洁闭曲线，而曲线的内部总属于部总属于B多连通域：单连通域：非单连通域非单连通

9、域：单连通域多连通域多连通域20（三）（三）（三）（三）复变函数举例复变函数举例复变函数举例复变函数举例多项式多项式有理分式有理分式根式根式其中的字母变量都是复常数其中的字母变量都是复常数211.指数函数指数函数:定义域：整个定义域：整个z平面平面解析域：定义域，解析域：定义域，其它性质：其它性质：（周期性）222.对数函数对数函数 23（2）定义域：）定义域：解析域：除去原点及负实轴的解析域：除去原点及负实轴的z平面，平面，连续域：除去原点及负实轴的连续域：除去原点及负实轴的z平面平面以后，以后，Ln z均指除去原均指除去原点及负实轴的点及负实轴的z平面上平面上的单值分支的单值分支其它性质：

10、其它性质：24幂函数：幂函数：3.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数乘幂：乘幂：2526274.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数定义域：整个定义域：整个z平面平面解析域：定义域，解析域：定义域，其它性质：其它性质：28定义域：整个定义域：整个z平面平面解析域：定义域，解析域：定义域，与三角函数的关系：与三角函数的关系：其它性质：其它性质：29（繁琐）30正弦函数和余弦函数具有实数周期正弦函数和余弦函数具有实数周期在实数域中，在实数域中，复数域中其模为复数域中其模为完全可以大于完全可以大于1有纯虚数周期有纯虚数周期对数函数对数函数由于辐角不能由于辐角不能唯一确定，所以有无限多值。唯一确定，所以有无限

11、多值。31复变函数复变函数lnz在在z为负实数时仍旧有意义！为负实数时仍旧有意义！函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限例例定义定义定义定义：设设定义在定义在的去心邻域的去心邻域如果有一确定的数如果有一确定的数存在存在，内内，对于任意给定的对于任意给定的相应地必有一正数相应地必有一正数使得当使得当时有时有那末称那末称为当为当 趋向趋向 时的极限，时的极限，记为记为或记为或记为 趋向趋向 的方式是任意的的方式是任意的.留意：留意：留意：留意：32两个定理：两个定理：定理一定理一定理二定理二33例：例：证法证法134证法证法235函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性定义：定义：36两

12、个定理：两个定理：定理一定理一定理二定理二37有理整函数（多项式）有理整函数（多项式）对复平面内全部的对复平面内全部的z都是连续的都是连续的.对复平面内使分母不为零的点都是连续的对复平面内使分母不为零的点都是连续的.有理分式函数有理分式函数P（z），），Q（z）为多项式为多项式在闭曲线或包括曲线端点在内的连续函数在闭曲线或包括曲线端点在内的连续函数f(z)是有界的。是有界的。381.3 1.3 导导 数数 导导导导 数数数数如极限如极限则称则称 在在 可导，这个极限值称可导，这个极限值称 为在为在 的的导数导数.记作记作39例例解解注注与实数极限方式不同的是与实数极限方式不同的是,复数极限困难

13、的多复数极限困难的多4041实数实数 只能沿实轴逼近零，但复数只能沿实轴逼近零，但复数 可以沿复平面上的可以沿复平面上的随意一条曲线靠近零，复变函数的可导是比实变函数严格得多！随意一条曲线靠近零，复变函数的可导是比实变函数严格得多！比较下面两种情形：比较下面两种情形：沿平行于实轴方向靠近零的情形，沿平行于实轴方向靠近零的情形，沿平行于虚轴方向靠近零的情形，沿平行于虚轴方向靠近零的情形，42假如函数假如函数f(z)可导，则两个极限必需存在且相等，即可导，则两个极限必需存在且相等，即实部和虚部必需分别相等实部和虚部必需分别相等柯西黎曼方程（柯西黎曼方程（柯西黎曼方程（柯西黎曼方程（C-RC-R条件

14、）条件）条件）条件）复变函数可导的必要条件复变函数可导的必要条件复变函数可导的必要条件复变函数可导的必要条件43柯西黎曼方程只能保证柯西黎曼方程只能保证 沿实轴逼近零和虚轴逼近零时沿实轴逼近零和虚轴逼近零时 总是逼近同一极限。不是复变函数可导的充分条件。总是逼近同一极限。不是复变函数可导的充分条件。逼近同一极限，不能保证逼近同一极限，不能保证 沿任意曲线逼近零时，沿任意曲线逼近零时，函数函数f(z)可导的可导的充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件：函数：函数f(z）的偏导数）的偏导数存在且连续，且满足柯西黎曼方程存在且连续，且满足柯西黎曼方程证：由于偏导数连续，二元函数证：由于偏导

15、数连续，二元函数u和和v的增量可以写成的增量可以写成各个各个 随着随着 趋于零，则趋于零，则44在最终一步中，已经考虑到在最终一步中，已经考虑到为有限值，为有限值，所有含有所有含有 的项随着的项随着 而趋于零，根据柯西黎曼而趋于零，根据柯西黎曼条件，可得条件，可得与与的方式无关，故得证。的方式无关，故得证。45例例解解46极坐标系中，极坐标系中，沿径向逼近零（沿径向逼近零（）和沿横向逼近零（和沿横向逼近零（）分别得分别得的极限，就得到极坐标系中的柯西黎曼方程的极限，就得到极坐标系中的柯西黎曼方程也可以依据直角变换成极坐标的公式变换成极坐标，就可得到也可以依据直角变换成极坐标的公式变换成极坐标，

16、就可得到极坐标系中的柯西黎曼方程。极坐标系中的柯西黎曼方程。471.4 1.4 解解 析析 函函 数数上一节我们学习了复数的导数上一节我们学习了复数的导数,导出柯西导出柯西-黎曼方程黎曼方程,本节我们本节我们学习学习解析函数解析函数的概念的概念 48解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念49解析函数的性质解析函数的性质解析函数的性质解析函数的性质(1)若函数若函数f(z)=u+iv,在趋于在趋于B上解析上解析,则则u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1C2为常数为常数)是是B上的两组正交曲线族上的两组正交曲线族两边分别相乘两边分别相乘,得得即即梯度梯度正交正交分别是曲线

17、分别是曲线u=常数和常数和v=常数的法向矢量常数的法向矢量,因此因此U=常数和常数和v=常数是相互正交的两曲线族常数是相互正交的两曲线族50(2)若函数若函数f(z)=u+iv在区域在区域B上解析上解析,则则u,v均为均为B上的上的调和函数调和函数调和函数调和函数调和函数指如果某函数调和函数指如果某函数H(x,y)在区域在区域B上有二阶连续上有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程偏导数且满足拉普拉斯方程 则称则称H(x,y)为为区域区域B上的调和函数上的调和函数.后边我们将证明后边我们将证明,二阶偏导数二阶偏导数存在且连续存在且连续,对柯西对柯西-黎曼方程黎曼方程前一式子对前一式子对x求导求导,后

18、一式子对后一式子对y求导求导,相加可以消退相加可以消退v,得到得到同理可得同理可得51 以上说明以上说明u(x,y)和和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程都满足二维的拉普拉斯方程,即都是即都是调和函数调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特殊所以又特殊称之为共轭调和函数称之为共轭调和函数 已知解析函数的实部（或虚部），利用柯西已知解析函数的实部（或虚部），利用柯西-黎曼条件黎曼条件求出相应的虚部求出相应的虚部(或实部或实部),从而确定解析函数从而确定解析函数.例如：给定例如：给定u(x,y),求求v(x,y)思路：二元函数思路：二元函数v(x,

19、y)的微分式是的微分式是由柯西由柯西-黎曼条件可得黎曼条件可得-是全微分是全微分52满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程可以用下列方法计算出可以用下列方法计算出(1)(1)曲线积分法曲线积分法曲线积分法曲线积分法 全微分的积分与路径无关全微分的积分与路径无关全微分的积分与路径无关全微分的积分与路径无关,可选取特殊积分路径可选取特殊积分路径可选取特殊积分路径可选取特殊积分路径 使积分路径简洁算出使积分路径简洁算出使积分路径简洁算出使积分路径简洁算出.(2)(2)凑全微分法凑全微分法凑全微分法凑全微分法 微分的右端凑成全微分显式微分的右端凑成全微分显式,v(x,y)自然求出自然求出(3)(3)不定积分

20、法不定积分法不定积分法不定积分法以上方法同样适用于从虚部以上方法同样适用于从虚部v求实部求实部u的状况的状况例例例例1 1已知解析函数已知解析函数f(z)的实部的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和解析函数求虚部和解析函数解解:验证验证u是调和函数是调和函数,满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程,的确是某解析函数的确是某解析函数的实部的实部.53依据柯西依据柯西-黎曼条件有黎曼条件有(1)曲线积分法曲线积分法 先计算先计算u的偏导数的偏导数由此可得由此可得dv=2ydx+2xdy右边是全微分右边是全微分,积分值积分值与路径无关与路径无关,为便于计算为便于计算,取如图路径取如图路径:(x,0)(x

21、,y)oxyC为积分常数为积分常数54(2)凑全微分法凑全微分法 由上已知由上已知dv=2ydx+2xdy很简洁凑成全微分形式很简洁凑成全微分形式d(2xy),则则dv=d(2xy)此时明显有此时明显有v=2xy+C实质上也是曲线积分法实质上也是曲线积分法,在简洁凑微分的时候很便利在简洁凑微分的时候很便利.(3)不定积分法不定积分法 上边算出上边算出第一式对第一式对y积分积分,x看做参数看做参数,可得可得其中其中 为为x的随意函数的随意函数,再再对对x求导求导由柯西由柯西-黎曼条件知道黎曼条件知道从而有从而有可得可得v=2xy+C解析函数为解析函数为55例例例例2 2已知解析函数已知解析函数f(z)的虚部的虚部求实部求实部u(x,y)和解析函数和解析函数f(z)解解解解直角坐标系下，直角坐标系下，的计算比较烦琐，改用极坐标系的计算比较烦琐，改用极坐标系求求u(x,y)的方法和例的方法和例1一样，可以用三种方法，这里只介绍全微一样，可以用三种方法，这里只介绍全微分显式法，先计算分显式法，先计算v的偏导数的偏导数由柯西黎曼方程可得由柯西黎曼方程可得则可得则可得56因此可得因此可得57例例解解58例例解解59例例3证证60