微积分入门知识.doc

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1、.序中国战国时代（公元前 7 世纪） ，我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前 4 世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内） 、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。古希腊时期（公元前 3 世纪） ，阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。17 世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问

2、题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。17 世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。19 世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。1874 年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没

3、有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着，人类认识微积分的水平在不断深化。微积分学 (Calculus, 拉丁语意为用来计数的小石头) 是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。.客观世界的一

4、切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用

5、一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。在高二上学期的数学学习过程中，我们认识了导数和定积分，并开始了对其应用的理解和练习。其实，早在高中物理开始不久后的学习中，我们就接触到了微积分的原型微元法。同当年的科学家一样，我们也因物理上的应用需要，开始了对微积分学的认识之旅。借着这次研究性学习的契机，我们就了解一下

6、微积分学的发展历史，认识数学研究对社会发展的重要意义，本着“以史为镜”的态度了解其中波折而有趣的发展历程；并由此拓展自己的知识面，增添自己对微积分学习的兴趣。作为理科生，探究过程中的我们也能结合所学历史知识、辩证分析的方法，培养自身人文素养，增强自身的综合素质，为高中阶段的历史学习画上圆满的句号。我们也对微积分在生活中就一些简单实际应用的一些研究来提高自己在以微积分的思想方法解决问题的能力；了解在哪些情况，哪些领域会用到微积分；进一步加深对微积分的认识。另一方面，在进行小组讨论、共同研究的时候，通过组员的积极参与和组员间的合作，我们可以通过共同探索增强自己的责任感，增进相互之间的友谊，提高自身

7、的实践探究能力，学会将理论知识和动手实践能力结合来解决现实生活中的问题，以此提高自身的综合素质。.微积分的主要内容及其他研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 微积分是与科学应用联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分

8、析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算。牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使我们在微分和积分之间互相转换。这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，该方法并不真正进行极限运算而是通过发现不定

9、积分。该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。极限微积分中最重要的概念是“极限” 。微商（即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数学家们奋斗了 200 多年。现在使用的定义是维斯特拉斯于 19 世纪中叶给出的。.数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时，如果存在一个有限数（非无限大的数） ，使这

10、个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数列的极限。数列极限的表示方法是： limnnxL其中 L 就是极限的值。例如当 时，它的极限为 L = 0。就是说 n12nx越大( 越往前延伸) ，这个值越趋近于 0。导数我们知道在运动学中，平均速度等于通过的距离除以所花费的时间，同样在一小段间隔的时间内，除上其走过的一小段距离，等于这一小段时间内的速度，但当这一小段间隔的时间趋于零时，这时的速度为瞬时速度，无法按照通常的除法计算，这时的速度为时间的导数。得用求导的方法计算。也就是说，一个函数的自变量趋近某一极限时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，

11、随时间变化而变化，当时间趋于某一极限时，距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。微分学微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分) 。换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖” 。积分学积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数。又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，约等于函数曲线下包含的实际面积。根据以上认识，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体

12、或圆锥体的表面积或体积等。 而不定积分，用途较少，主要用于微分方程的解。.微积分的符号微分学中的符号“dx” 、 “dy”等，系由莱布尼茨首先使用。其中的 d 源自拉丁语中“差” （Differentia）的第一个字母。积分符号“”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语“总和” （Summa）的第一个字母 s 的伸长(和 有相同的意义) 。微积分学的应用微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支，特别是物理学，关系密切，而经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分学作为基本数学工具。微积分学课程在高校理、工科教学中，微积分是“高等数学”的主要内容之一

13、。其教学法由学科创立一开始就受到人们重视。.微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算，把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想， “无限细分”就是微分， “无限求和”就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公

14、式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到， “极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以 0 的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还

15、算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。.D

16、ifferential and Integral Calculus数学中的基础分支。内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用。函数是微积分研究的基本对象，极限是微积分的基本概念，微分和积分是特定过程特定形式的极限。17 世纪后半叶，英国数学家 I.牛顿和德国数学家 G.W.莱布尼兹，总结和发展了几百年间前人的工作，建立了微积分，但他们的出发点是直观的无穷小量，因此尚缺乏严密的理论基础。19 世纪 A.L.柯西和 K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上；加之 19 世纪后半叶实数理论的建立，又使极限理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善。极限的思想方法可追溯到

17、古代，3 世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率 的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥少 ，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣” 。刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现 。数列极限是函数极限的基础， 一个数列 an 如果当 n 无限增大时，an 与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，a 为数列的极限，记作例如，数列的极限为 0。微分学的基本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。导数作为一个数学工具无论在理论上还是

18、实际应用中，都起着基础而重要的作用。例如在求极大、极小值问题中的应用。积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。如果对每一 xI ，有 f(x)F（x） ，则称 F(x)为 f(x)的一个原函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，则F(x)C，其中 C 为任意常数。定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域a，b进行划分后，构造一

19、个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设 f(x)为定义在a，b上的函数，任意分划区间a，b:ax0 x1xnb，记， ，任取 xi xi，如果有一实数 I，有下式成立 ： ，则称 I 为f(x)在a ，b上的定积分，记为 If(x)dx 。当 f(x) 0 时，定积分的几何意义是表示由 xa， xb，y 0 和 yf(x) 所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和” 。联系微分学和积分学的基本公式是：若 f(x)在a ，b上连续，F(x)是 f(x)的原函数，则 f(x)dxF(b) F(a)。通常称之为牛顿-莱布

20、尼兹公式。因此，计算定积分实际上就是求原函数，也即求不定积分。但即使 f(x)为初等函数，计算不.定积分的问题也不能完全得到解决，所以要考虑定积分的近似计算，常用的方法有梯形法和抛物线法。微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥

21、细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。 ”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；

22、德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题） ，一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在 1671 年写了流数法和无穷级数

23、 ，这本书直到 1736 年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法） ；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分.法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算 。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代

24、的微分符号和基本微分法则。1686 年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了

25、一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早 10 年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从 1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个

26、问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到 19 世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布贝努利和他的兄弟约翰贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西.欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积

27、分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。微积分历史积分的起源很早，古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；用的是穷尽的方法。阿基米德（Archimedes ）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积；这些都是穷尽法的古典例子。文艺复兴之后，基于实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便，杰拉杜斯麦卡托（Gerardus Mercator）发明了所谓的麦氏投影法，使得地图上的直线就是

28、航海时保持定向的斜驶线。17 世纪的前半，是微积分学的酝酿时期。确实划分微积分学这门学科是在17 世纪由戈特弗里德威廉莱布尼茨和艾萨克牛顿几乎同时创立的，对此学界曾有极大的争论，两人曾为争夺微积分的发明权诉诸皇家学会仲裁。 在他们创立微积分以前，人们把微分和积分视为独立的学科。而微积分之名与其符号之使用则是莱布尼茨所创。虽说微积分是莱布尼茨和牛顿发明的，但是指的是他们两人使微积分观念成熟，澄清微、积分之间的关系，使计算系统化，并且把微积分大规模使用到几何与物理上。在他们之前，微积分是萌芽时期，观念在摸索中，计算是个别的，应用也是个别的。在牛顿、莱布尼茨以前，对微分、积分最有贡献的大概要算皮埃尔

29、德费马了，可惜他未能体会两者之间的密切关系。而牛顿的老师伊萨克巴罗（I. Barrow, 16301677）虽然知道两者之间有互逆的关系，但他不能体会此种关系的意义，其原因之一就是求导数还没有一套有系统的计算方法。古希腊平面几何的成功，予西方数学非常深远的影响，一般认为，唯有几何的论证方法才是严格的，才是真正的数学，代数也不过是辅助的工具而已。直到笛卡儿及费马倡导以代数的方法研究几何的问题。这种态度才渐有转变。可是一方面几何思维方式深植人心，而另一方面代数方法仍然未臻成熟，实数系统迟迟未能建立，所以许多数学家仍然固守几何阵营而不能有有效的计算方法，如巴娄就是。牛顿虽然背叛了他老师的纯几何观点，发展了有效的微分方法，可是他的方法迟迟未敢发展。虽然他用了微积分的技巧，由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系，但因害怕当时人的批评，在他 1687 年的巨著自