完整第八章.doc

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1、三、模模范题剖析例1 求，此中剖析在上非负，如图81所示，其对应图形是以原点为核心、为半径的上半球面；是以面上原点为核心、为半径的圆域在第一象限的局部依照被积函数跟积分地区的特点，可思索用多少多何意思或极坐标进展计划解法1依照二重积分的多少多何意思，的确是以原点为核心、为半径的球体在第一卦限局部的体积，因而图81解法2采纳极坐标单刀直入进展计划令那么例2设积分地区由圆所围成，且，那么ABCD剖析要比拟二重积分值的巨细，依照性子4，是要对差别的被积函数在积分地区长进展比拟解选B如图82所示，事先，因而，故有由二重积分的性子即得图82例3设试计划极限剖析此题假设先求二重积分，再求极限比拟艰苦，能够

2、思索借助积分中值定理来求解解地区的面积为因为在闭地区上延续，由积分中值定理可知，至多存在一点使得令，那么，故=例4应用重积分的性子估量积分的值，此中剖析依照二重积分的性子对被积函数在积分地区长进展估量解法1应用被积函数在积分地区上的枯燥性估值积分地区如图83所示因为，故有因而图83，地区的面积依照二重积分的性子可知解法2应用二重积分的中值定理估值因为被积函数在地区上延续，故在上至多存在一点，使得，又因为因而例5将二重积分化为二次积分，此中地区：1由抛物线及直线所围成；2由与曲线以及所围成解1地区如图84所示上面用两种办法来求解解法1假设将地区看作型地区，即先对积分，再对积分，起首将地区向轴投影

3、，得轴上的区间那么变量满意过区间上的任一点作平行于轴的直线由下往上穿过地区，穿入时经过的界限曲线方程为，穿出时经过的界限曲线方程为那么满意，即，图84因而解法2假设将地区看作型地区，即先对积分，再对积分，用上述“穿线法时留意到当在中变更时，穿出时经过的界限曲线有两条，因而需求把分不为两局部那么有，因而2地区如图85所示上面用两种办法求解解法1假设将地区看作型地区，那么有因而解法2假设将地区看作型地区，那么，此中图85那么注化二重积分为二次积分是计划二重积分的要害，难点在于断定二次积分的上、上限，平日采纳“穿线法：假设地区是型地区，那么要先对积分后对积分，即先将积分地区投影在轴上，丢掉丢掉落的变

4、更范畴，在其上任取点作平行于轴的直线，由下向上穿过地区，那么能够丢掉丢掉落的变更范畴，从而丢掉丢掉落二次积分的上、上限假设地区是型地区，那么要先对积分后对积分，即先将积分地区投影在轴上，丢掉丢掉落的变更范畴，在其上任取点作平行于轴的直线，由左向右穿过地区，那么能够丢掉丢掉落的变更范畴假设既不是型地区，又不是型地区，那么需求增加辅佐线，将分红一些型地区跟型地区分不计划，而后应用积分地区可加性即可化二重积分为二次积分，普通而言，内层积分的上、上限是外层积分变量的函数或许常数，而外层积分的上、上限确信为常数例6交流以下二重积分的次第：101研；23解1由已经清楚的二次积分可知，积分地区为，如图86暗

5、影局部所示依照新的积分次第，即先对后对积分，由穿线法可得，因而图862由已经清楚的二次积分可知，积分地区为画出积分地区，如图87所示，依照新的积分次第，即先对后对积分，由穿线法可得图87因而3由已经清楚的二次积分可知，积分地区画出积分地区如图88所示，依照新的积分次第，即先对后对积分，由穿线法可得图88因而注交流二次积分的积分次第的普通步调为：1依照已经清楚的二次积分的上、上限画出积分地区的草图；2交流积分次第，应用“穿线法丢掉丢掉落积分地区的新的描绘办法；3写出交流次第后的二次积分例7求剖析这是一个先对后对的二次积分，因为不克不及用初等函数表现，因而无奈单刀直入计划可思索先交流积分次第再计划

6、解法1积分地区，如图89所示交流积分次第，那么，从而图89解法2应用分部积分法注假设先被积的函数为等办法时，确信要交流积分次第例8设函数在区间上延续，并设，求解法1，此中，如图810所示，设对于对称的地区为，那么对调，被积函数动摇，那么有图810故，因而解法2应用分部积分法例9计划二重积分此中为直线所围成的地区解法1积分地区如图811所示假设将视为型地区，那么因而，图811解法2将视为型地区，因而，解法3应用奇偶对称性将被积地区分红三局部，如图811所示被积函数是对于的偶函数，对于的奇函数，因而注比拟解法1跟解法2，虽然两种分不积分地区的办法都丢掉丢掉落一个二次积分，然而显然解法2要庞杂得多，

7、由此可见积分次第选择的要紧性因而计划二重积分时，要同时思索到被积函数跟积分地区的特点，追求一种较庞杂的计划办法，假设有奇偶对称性可用，那么将大年夜大年夜简化计划例1002研计划二重积分，此中剖析被积函数实际上是分段函数，在地区中，事先，；事先，因而需求将分为两局部计划解设，如图812所示，那么，图812从而例11计划此中积分地区为剖析假设被积函数表白式中含有相对值，起主要思索去丢掉落相对值标记，把被积函数写要素段函数的办法，用相似例10的办法来计划解如图813所示，将积分地区分不为两局部：图813，那么，从而例12设，且，那么ABCD图814剖析被积函数与积分地区的表白式中均含有相对值标记，应

8、先将积分地区表白式中的相对值标记去丢掉落，画出积分地区，而后用相似例10、11中的办法来计划，但此题依照积分地区的特点应思索用奇偶对称性那么更庞杂解选D积分地区如图814所示因为被积函数是对于跟的偶函数，同时是对于轴都对称的地区，偏偏是位于第一象限的地区，故准确谜底为D例13计划此中剖析积分地区既对于轴对称，又对于轴对称，而被积函数对于或都不存在奇偶性，因而不克不及应用奇偶对称性计划解积分地区如图815所示轴将地区分为两局部，分不记为跟那么图815错曲解答记积分地区在第一象限的局部为那么错解剖析此解法留意到了积分地区对于轴对称，想应用对称性简化计划，然而被积函数却既非奇函数也非偶函数，因而注应

9、用对称性简化计划时确信要统筹积分地区的对称性跟被积函数的奇偶性例14设地区，那么剖析假设二重积分的被积函数中含有，或许积分地区是圆形、扇形、环形等外形，平日采纳极坐标的办法进展计划较庞杂此题积分地区为圆域，宜采纳极坐标计划解法1解法2留意到地区的对称性，对调被积函数中的地位积分值动摇，因而注应用极坐标计划二重积分最好是能同时简化积分地区跟被积函数，假设二者不克不及统筹，平日选择能简化积分地区的办法也有些积分，虽然用直角坐标能够更庞杂的描绘积分地区，然而因为被积函数的特不性如积分不克不及计划，那么只要经过变更坐标来计划，比方上面的例15例15计划二重积分此中由围成剖析积分地区如图816所示不美不

10、雅看此被积函数的特点，假设采纳直角坐标单刀直入进展计划，虽然随意化为二次积分，然而二次积分中的定积分难以计划出来能够思索用极坐标来计划解用极坐标来计划图816错曲解答由，得错解剖析这是微积分初学者常犯的过掉，将二重积分与曲线积分相混杂对于二重积分被积函数是界说在全部平面地区上的，而不只仅是界说在的界限曲线此题为上，因而不克不及将界限曲线满意的关联单刀直入代入被积函数的表白式中注假设二重积分的被积函数能够写成的办法，那么能够用极坐标将被积函数不离变量，即普通状况下，如此能够使积分的计划变得随意一些例1605研计划二重积分，此中，表现不跨越的最大年夜整数剖析积分地区为扇形域，如图817所示采纳极坐

11、标计划为宜被积函数实际上是分段函数，应将积分地区离开思索图817解法1解法2可先将积分地区离开，再作极坐标变更记，那么事先，；事先，因而例17用二重积分求曲线所围成地区的面积剖析由二重积分的多少多何意思可知，当被积函数为1时，曲顶柱体的体积在数值上即是积分地区的面积即又因为曲线方程中含有项，能够思索在极坐标系下计划此二重积分解令并代入曲线方程，得画出曲线所围成的地区，如图818所示应用对称性只要计划第一象限内的地区的面积即可，此中图818即例18设半径为的球面的球心在定球面上咨询当取何值时，球面在定球面外部的那局部的面积最大年夜？剖析此题为调查二重积分与极值的综合题应用二重积分求出球面在定球内

12、的局部的面积它是的函数再应用求极值的办法求出极值点不丢掉普通性，球面的球心无妨选在轴上解设球面的方程为，那么两球面交线方程为消去可得，两球面的交线在面上的投影为记此投影地区为球面在定球面内的方程为，那么这局部球面的面积为，对上式两头对于求导得令，求得独一驻点因为，因而事先，球面在定球面外部的局部的面积最大年夜注1求曲面面积是二重积分的一个应用解题步调是先写出曲面方程，比方求出在照应坐标面上的投影地区以及曲面微元公式那么可得曲面面积为注2求曲面在坐标面上的投影地区，普通的确是求曲面的界限限在坐标面上的投影曲线所围成的地区例19求球体与的大年夜众局部的体积剖析设该平面为，其图形如图819所示，设在

13、坐标面上的投影地区为，那么其体积可视为认为底，分不以跟为顶的两个曲顶柱体的体积之差，依照二重积分的多少多何意思可得；还能够依照三重积分的多少多何意思，平面体积即是被积函数为1，积分地区为该平面所围的空间地区所对应的三重积分图819解法1采纳二重积分计划起首求地区依照平面多少多何的常识，将与联破并消去，就丢掉丢掉落此平面在平面上的投影地区为，显然为一圆域故所求平面体积解法2采纳三重积分，再将三重积分用“先一后二的办法来计划注在用重积分求平面的体积时，假设用三重积分来计划，那么将三重积分用“先一后二的办法来计划时，当把此中的“一次积分计划出来后，丢掉丢掉落的确实是解法1中的二重积分，可见两种办法虽

14、然意思差别，但计的确是相通的例20计划三重积分此中是由平面及三个坐标面围成的四周体剖析积分地区如图820所示，它由空间中的平面围成，宜选用直角坐标来描绘而后思索将三重积分化为二重积分或定积分来计划，平日有两种办法：“先一后二法跟“先二后一法解法1采纳“先一后二法先断定将投影到某个坐标平面，再用“穿线法将二重积分化为二次积分积分地区为，将投影到坐图820标面上，丢掉丢掉落投影地区为，在内任取一点过此点作平行于轴的直线穿过地区，它从平面穿入，从平面穿出，因而解法2采纳“先二后一法先断定将投影到某个坐标轴上，再用“截面法空间地区在轴上的投影区间为在此区间内任取一点，过该点作平面垂直于轴，所得截面为这

15、里把看作定值，那么注计划重积分，起主要选择适宜的坐标系，将重积分化为累次积分进展计划对于三重积分，有直角坐标、柱面坐标跟球面坐标三种坐标系能够选择：1当积分地区是由较多平面或不存在对称性的曲面围成时，平日选用直角坐标进展计划；2当积分地区含有项，或能够看作是以空间中某曲线为母线、绕某坐标轴改动而丢掉丢掉落的平面地区时，平日选用柱面坐标系较为庞杂；3当积分地区含有项时，平日选用球面坐标计划因而，选用哪种坐标系不只要思索积分地区的特点，还要统筹被积函数的特点例21计划三重积分此中是由曲面及平面围成剖析积分地区如图821示依照的特点，宜采纳直角坐标系留意到在内任取一点用“穿线法，易揣摸穿入点跟穿出点

16、分不为跟因而采纳“先一后二的办法较庞杂解法1用“先一后二法在平面上的投影地区为，再由“穿线法得因而图821解法2用“先二后一法将向轴投影得，再用垂直于轴的平面截得，那么例22证实：此中是由球体所断定，是上的可积函数剖析此被积函数只是对于变量的函数同时用垂直于轴的平面截积分地区如图822所示丢掉丢掉落的截面为圆域与有关，无妨记为，截面圆的面积易求，假设采纳“先二后一的方图822法来计划，那么二重积分的积分地区即为上述圆域，而因为被积函数是1，那么二重积分的值即为圆的面积，再求一次定积分即得后果证有效“先二后一法在轴的投影区间为，用垂直于轴的平面去截丢掉丢掉落的圆域为，记为，那么证毕注假设被积函数

17、只是对于变量的函数，而用垂直于轴的平面截丢掉丢掉落的截面面积随意求如本例中截面为圆时，采纳“先二后一的办法较庞杂例23计划三重积分此中是由曲面及围成剖析留意到积分地区的表白式中含有项，能够思索采纳柱坐标计划；或许假设留意到被积函数只含有，垂直于轴的平面截积分地区如图823所示丢掉丢掉落的截面为圆，还能够采纳“先二后一的办法解法1用柱坐标变更那么图823解法2用“先二后一法此中为垂直于轴的平面截曲面所得的半径为的圆域，为垂直于轴的平面截曲面所得的半径为的圆域，因而注当积分地区为圆柱体、扇形柱体、环形柱体，或被积函数含有项时，平日选用柱坐标系较为庞杂应用柱面坐标计划三重积分，能够看作是对三重积分的

18、“先一后二法中的二重积分应用极坐标计划例2497研计划，此中为平面曲线绕轴改动一周构成的曲面与平面所围成的地区剖析起主要将的界限曲面弄清晰，它由两局部构成，一是改动抛物面的一局部，另一局部是平面的一局部因为被积函数与的界限表白式中均含有，故可思索用柱面坐标或用“先二后一解法1曲线绕轴改动一周天生的改动抛物面为，它与平面围成，在平面上的投影地区为选用柱坐标变更，因为被积函数与有关，可拔取先后、的积分次第，那么可表现为，故解法2用“先二后一法，截面方程为，因而例25计划此中是由球体构成剖析因为被积函数跟积分地区都含有项，适宜用球面坐标系来解解积分地区如图824所示，采纳球面坐标，那么由可得，此球体

19、的球心为，半径为，因而，故能够表现为，图824错曲解答错解剖析此解法之过掉在于将三重积分计划与曲面积分计划相混杂对于三重积分而言，被积函数是界说在全部空间地区上的在此题中的确是球体，而不只仅是的外表在此题中的确是球面，因而不克不及将被积函数单刀直入换成例26计划三重积分此中是球体剖析被积函数中含有项，可思索采纳球面坐标计划；留意到被积函数是对于的奇函数，且积分地区是对于对称的，那么可应用奇偶对称性简化计划解法1采纳球面坐标计划令那么解法2因为被积函数是对于的奇函数，同时积分地区是对于平面即面对称的，因而例27计划三重积分，此中是锥面跟球面所围的空间地区剖析积分地区如图825由锥面跟球面围成，宜

20、采纳球面坐标计划；假设留意到被积函数是对于的奇函数，且积分地区对于平面临称，那么而只是对于的函数，用垂直于轴的平面截，截面为圆域，面积易求，故可采纳“先二后一法解法1采纳球面坐标随意看出锥面的母线对应的角即与轴正向的夹角，因而从而积分地区能够表现为因而图825解法2先应用被积函数的奇偶性跟积分地区的对称性，而后采纳“先二后一法因为中被积函数是对于的奇函数，同时积分地区是对于平面临称的，故因而注计划三重积分，假设能够应用被积函数的奇偶性跟积分地区的对称性，计划量将会大年夜大年夜减小例2803研设函数延续且恒大年夜于零，此中1探讨在区间内的枯燥性2证实事先，剖析1要探讨在区间内的枯燥性，能够探讨的

21、正负号，为此需求先求出的表白式，即需求将分子的三重积分与分母的二重积分先计划出来；2要证实不等式，能够先探讨的枯燥性，为此需求先求出的表白式，即要将分子的二重积分计划出来，因为，要证时，即证，亦即解1分不作球坐标变更：与极坐标变更：因而，因而在区间枯燥增加2上面用两种办法来证实不等式证法1结构函数，应用函数枯燥性证实令，那么，故在内枯燥增加因为在处延续且，因而事先，有，因而事先，不等式成破证毕证法2应用柯西不等式的积分办法即许瓦兹不等式证实柯西不等式的积分办法为：假设在上延续可放宽为可积，那么有，此中等号当且仅当存在常数，使时成破差别时为零因而，即不等式成破证毕例29计划三重积分此中是球体，被

22、积函数剖析被积函数是分段函数，因而需将积分地区分红三个局部地区如图826所示来计划解依照被积函数的表白式及积分地区的特点，采纳球面坐标进展计划，并将积分地区分为三局部：，那么图826注与二重积分相似，假设三重积分的被积函数含有相对值，起主要思索去丢掉落相对值标记，破刻积分地区分为多少多局部，使得在每一局部地区上，被积函数都坚持动摇号实际上的确是将含有相对值的被积函数化为分段函数来计划例30设平面薄片所占的闭地区由直线及轴所围成，面密度函数，求该薄片的品质解设所求薄片的品质为，地区如图827所示，那么图827例31设有一球心在原点，半径为的球体，在其上恣意一点的密度的巨细与这点到球心的间隔成反比

23、，求那个球体的品质解由题意可得，该球体的密度函数为为一常数，那么所求品质为例32设有一个等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度即是该点到直角极点的间隔的平方，求这薄片的重心解树破坐标系如图828所示，那么平面薄片所占的地区面密度函数为，那么此薄片的品质为图828此薄片对轴的静距为，由对称性可知此薄片对轴的静距，故重心坐标为例3300研设有一半径为的球体，是此球的外表上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到间隔的平方成反比比例常数，求球体的重心地位剖析起首树破坐标系，以球心为坐标原点，取在某个轴上，比方可取在轴上，即的坐标为也能够认为坐标原点，球心在某个坐标轴上，比方以点为球心单刀直入应用重

24、心坐标的计划公式，采纳球面坐标计划三重积分即可得重心坐标解法1记球体为，以的核心为坐标原点，射线为轴树破空间直角坐标系，那么球面方程为，点的坐标为，球体的密度函数为设的重心地位为由对称性知而采纳球面坐标来计划上式中的三重积分，并应用奇偶对称性，得，即得因而，在此坐标系下球体的重心地位为解法2取为坐标原点，球心在，那么球面方程为，球体的密度函数为，设的重心地位为，那么由对称性知，而，采纳球面坐标来计划式中的三重积分，球面方程为，由奇偶对称性可得即得因而，在此坐标系下球体的重心地位为注求重心是三重积分的应用之一，要记着求重心的公式在计划公式中的重积分时，留意应用奇偶对称性例34设平面薄片所占的闭地区由曲线及围成，且其面密度函数求该薄片对轴、轴以及原点的滚动惯量解地区如图829所示，那么图829例35设有一半径为的球体，球体在动点处的密度的与该点到球心的间隔成反比，且在与球心间隔为1处的密度为求此球体对直径的滚动惯量解以球心为坐标原点树破空间直角坐标系，那么由题意可得该球体的密度函数为且满意时，因而得，即，那么所求滚动惯量为例36求一高为1，顶角为的平均正圆锥体设密度为1对其极点品质为1的引力解以圆锥的定点为坐标原点，圆锥的核心轴为轴树破空间直角坐标系，如图830所示由正圆锥体的对称性可知，引力沿轴以及轴偏向的分力互相均衡，即，而沿轴偏向的分力为图830因而引力为