003理论分布与抽样分布28.pptx

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1、第三章第三章 理论分布与抽样分布理论分布与抽样分布1、概率分布、概率分布 4、正态分布、正态分布2、二项分布、二项分布 5、抽样分布、抽样分布3、泊松分布、泊松分布1 1 概率分布概率分布 事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机随机试验的概率分布试验的概率分布(probability distribution)。为了深入。为了深入研究随机试验研究随机试验 ，我，我

2、 们们 先引入先引入随机变量随机变量(random variable)的概念。的概念。1.1 1.1 随机变量随机变量n作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量可用一个数来表示，把这些数作为变量 x 的取值范围，的取值范围，则试验结果可用变量则试验结果可用变量 x 来表示。来表示。n【例例3.3】 对对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是结果是“0头治愈头治愈”、“1头治愈头治愈”、“2头治愈头治愈”、“”、“100头治愈头治愈”。若用。若用 x 表示治愈头数，则表示治

3、愈头数，则x 的取值为的取值为0、1、2、100。1.1 1.1 随机变量随机变量n【例例3.4】 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“孵孵出小鸡出小鸡”与与“未孵出小鸡未孵出小鸡”。 若用变量若用变量 x 表示试验表示试验的两种结果，则可令的两种结果，则可令x=0表示表示“未孵出小鸡未孵出小鸡”，x=1表示表示“孵出小鸡孵出小鸡”。n【例例3.5】 测定某品种猪初生重，表示测定结果变量测定某品种猪初生重，表示测定结果变量 x 所取的值为一个特定范围所取的值为一个特定范围(a,b)，如，如0.51.5kg，x值值可以是这个范围内的任何实数。可以是这个范围内的任何实

4、数。1.1 1.1 随机变量随机变量n如果表示试验结果的变量如果表示试验结果的变量 x，其可能取值至多为可列其可能取值至多为可列个个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则，且以各种确定的概率取这些不同的值，则 称称 x 为为离散型随机变量离散型随机变量 ( discrete random variable)；n如果表示试验结果的变量如果表示试验结果的变量 x ，其可能取值为某范围内其可能取值为某范围内的任何数值的任何数值 ，且，且 x 在其取值范围内的任一区间中取在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称值时，其概率是确定的，则称 x 为为 连续型随机变量连续型随机变量 (cont

5、inuous random variable)。1.21.2离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布n要了解离散型随机变量要了解离散型随机变量 x 的统计规律，就必须知道它的统计规律，就必须知道它的一切可能值的一切可能值xi及取每种可能值的概率及取每种可能值的概率pi。n如果我们将离散型随机变量如果我们将离散型随机变量 x 的一切可能取值的一切可能取值xi ( i=1, 2 , )，及其对应的概率，及其对应的概率pi，记作，记作 P(x=xi)=pi i=1,2, n则称上式为则称上式为离散型随机变量离散型随机变量 x 的概率分布或分布的概率分布或分布。常。常用用分布列分布列 (dis

6、tribution series)来表示离散型随机变量：来表示离散型随机变量：1.21.2离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 x1 x2 xn . p1 p2 pn 显然，离散型随机变量的概率分布具有以下显然，离散型随机变量的概率分布具有以下两个基本性质：两个基本性质：1.pi02.pi=11.31.3连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量连续型随机变量 (如体长、体重、蛋重如体长、体重、蛋重)的概的概率分布不能用分布列来表示，因为其可能取率分布不能用分布列来表示，因为其可能取的值是不可数的。我们改用随机变量的值是不可数的。我们改用随机变量 x 在某在某

7、个区间内取值的概率个区间内取值的概率 P(axb) 来表示。下面来表示。下面通过频率分布密度曲线予以说明。通过频率分布密度曲线予以说明。1.31.3连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布126头基础母羊的体重的次数分布表头基础母羊的体重的次数分布表组组 别别组中值组中值次数（次数（f）36.0 37.5139.0 40.5142.0 43.5645.0 46.51848.0 49.52651.0 52.52754.0 55.52657.0 58.51260.0 61.5763.0 64.52合合 计计126图中纵坐标取频率与组距图中纵坐标取频率与组距的比值的比值 。可以设想。可以设想

8、 ，如，如果样本取得越来越大果样本取得越来越大(n+)，组分得越来越，组分得越来越细细(i0)，某一范围内的，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值频率将趋近于一个稳定值 概率。这时，频率分布概率。这时，频率分布直方图各个直方上端中点直方图各个直方上端中点的联线的联线 频率分布折线将频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线。逐渐趋向于一条曲线。1.31.3连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 换句话说，当换句话说，当n+、i0时，时，频率分布折频率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线线的极限是一条稳定的函数曲线。 对于样本对于样本是取自连续型随机变量的情况是取自连续型随机变量的情况 ，这条函数曲

9、，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误差，完全反映了基础母羊体重的变动规的误差，完全反映了基础母羊体重的变动规律。这条曲线叫律。这条曲线叫概率分布密度曲线概率分布密度曲线，相应的，相应的函数叫函数叫 概率分布密度函数概率分布密度函数 。1.31.3连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 若记体重概率分布密度函若记体重概率分布密度函数为数为f(x)，则，则x取值于区间取值于区间a,b）的概率为图中阴影）的概率为图中阴影部分的面积，即部分的面积，即 P(axb)= 上式为连续型随机变量上式为连续型随机变量 x 在在 区间区间a,b）上

10、取值概率）上取值概率的表达式。可见，连续型的表达式。可见，连续型随机变量的概率由概率分随机变量的概率由概率分布密度函数确定。布密度函数确定。badxxf)(1.31.3连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布n连续型随机变量概率分布的性质：连续型随机变量概率分布的性质：1、分布密度函数总是大于或等于、分布密度函数总是大于或等于0，即，即 f(x)0；2、当随机变量、当随机变量x取某一特定值时，其概率等于取某一特定值时，其概率等于0；即；即 (c为任意实数为任意实数)3、 在一次试验中在一次试验中 随机变量随机变量 x 之取值必在之取值必在-， + 范围内，为一必然事件。所以范围内，为一

11、必然事件。所以 上式表示分布密度曲线下、横轴上的全部面积为上式表示分布密度曲线下、横轴上的全部面积为1。 ccdxxfcxP0)()(1)()(dxxfxP2 2 二项分布二项分布2.1 2.1 贝努利试验及其概率公式贝努利试验及其概率公式n将某随机试验重复进行将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果次，若各次试验结果互不影响互不影响 ， 即每次试验结果出现的概率都不即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验次试验是独立的是独立的。2.12.1贝努力试验及其概率公式贝努力试验及其概率公式n对于对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现次独

12、立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件且只出现对立事件A与与 之一，在每次试验中之一，在每次试验中出现出现A的概率是常数的概率是常数 p (0p1) ， 因而出现对因而出现对立事件立事件 的概率是的概率是1-p=q，则称这一串重复的，则称这一串重复的独立试验为独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials )。AA2.12.1贝努力试验及其概率公式贝努力试验及其概率公式 在在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件 A 可能发生可能发生0，1，2，n次，现在我们来求事件次，现在我们来求事件 A 恰好发生恰好发生k (0kn) 次

13、的概率次的概率 Pn(k) 。 先取先取n=4，k=2来讨论。在来讨论。在4次试验中，事件次试验中，事件A发发生生2次的方式有以下次的方式有以下 种：种：24C4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA2.12.1贝努力试验及其概率公式贝努力试验及其概率公式 其中其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件表示事件A在第在第k次试验发生；次试验发生； (k=1,2,3,4)表示事件表示事件A在第在第k次试验不发生。次试验不发生。 由于试验是独立的，按由于试验是独立的，按概率的乘法法则概率的乘法法则，于，于是有是有 P( )=P( )= P( )

14、= P( )P( )P( )P( )= kA4321AAAA4321AAAA4321AAAA1A2A3A4A242qp2.12.1贝努力试验及其概率公式贝努力试验及其概率公式 又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按不相容的，按概率的加法法则概率的加法法则，在，在4 次试验中，次试验中，事件事件A恰好发生恰好发生2次的概率为次的概率为 P4(2) = P( ) + P( ) + + P( ) = 4321AAAA4321AAAA4321AAAA24224qpC2.12.1贝努力试验及其概率公式贝努力试验及其概率公式 一般，在一般，在n重贝努利

15、试验中，事件重贝努利试验中，事件A恰好发生恰好发生k (0kn) 次的概率为次的概率为 k=0,1,2，n 若把上式与二项展开式若把上式与二项展开式 相比较就可以发现，在相比较就可以发现，在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A发发生生k次的概率恰好等于展开式中的第次的概率恰好等于展开式中的第k+1项，所以也项，所以也把上式称作把上式称作二项概率公式二项概率公式 。knkkknqpCkP)(nkknkknnqpCpq0)(2.2 2.2 二项分布的意义及性质二项分布的意义及性质2.2.1 2.2.1 二项分布定义二项分布定义 设随机变量设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：所有可能取的

16、值为零和正整数：0,1,2,，n，且有，且有 = k=0,1,2，n 其中其中p0，q0，p+q=1，则称则称随机变量随机变量x服从服从参数为参数为 n 和和 p 的二项分布的二项分布 (binomial distribution),记记为为 xB(n,p)。)(kPnknCknkqp2.2.1 2.2.1 二项分布的定义二项分布的定义 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数参数 n 称为离散参数，只能取正整数；称为离散参数，只能取正整数； 参数参数 p 称为连续参数，它能取称为连续参数，它能取0与与1之间的任之间的任何数值何数值 (q由由p确定，

17、故不是另一个独立参数确定，故不是另一个独立参数)。2.2.2 2.2.2 二项分布的性质二项分布的性质二项分布具有概率分布的一切性质，即：二项分布具有概率分布的一切性质，即：1、P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,，n)2、二项分布的概率之和等于、二项分布的概率之和等于1，即，即3、4、5、 （m11)， (df2）t分布密度曲线如分布密度曲线如图图所示，其特点是：所示，其特点是：)2/(dfdft5.3 t5.3 t分布分布1、t分布受自由度的制约，每一个自由度都有分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条一条t分布密度曲线。分布密度曲线。2、t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，分布

18、密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在且在t0时，分布密度函数取得最大值。时，分布密度函数取得最大值。5.3 t5.3 t分布分布3、与标准正态分布曲线相比，、与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。低，两尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。越小这种趋势越明显。df越大，越大，t分布越趋近于标准正态分布。当分布越趋近于标准正态分布。当n 30时，时，t分布与标准正态分布的区别很小；分布与标准正态分布的区别很小；n 100时，时，t分布基本与标准正态分布相同；分布基本与标准正态分布相同；n时，时，t 分布与标准正态分布完全一致。分布与标准正态分布完全一致。5.3 t5.3 t分布分布 t分布的概率分布函数为：分布的概率分布函数为： 因而因而t在区间（在区间（t1，+）取值的概率右尾概）取值的概率右尾概率为率为1-F t (df)。由于。由于t分布左右对称，分布左右对称，t在区间（在区间（-，-t1）取值的概率也为）取值的概率也为1-F t df)。1)()(1)(tdftdttfttPF