1995考研数一真题及解释分析.doc

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1、|1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1) _.2sin0lim13)xx(2) _.2codt(3) 设 ,则 _.()ab()()abca(4) 幂级数 的收敛半径 _.211(3)nnxR(5) 设三阶方阵 、 满足关系式： ,且 ,则AB16AB1034107AB_.二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1) 设有直线 及平面 ,则直线 ( )3210:xyzL:4230xyzL(A) 平行于 (B) 在 上 (C) 垂直于 (D) 与 斜交 (2) 设在 上 ,则 、 、 或

2、 的大小顺序是0,1()0fx()f1f()0f()1f( )(A) (B) ()(1)ff(1)(0)ff (C) (D) 100 1(3) 设 可导, ,则 是 在 处可导的 ( )()fx()(|sin|)Ffx(0f()Fx(A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4) 设 ,则级数 ( )1()lnnu|(A) 与 都收敛 (B) 与 都发散 1nu21n 1nu21n(C) 收敛而 发散 (D) 发散而 收敛 1n21n 1n21n(5) 设 , , ,2313aA212231133aaB10P,则必有 (

3、 )201P(A) (B) 2AB21APB(C) (D) 1三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.)(1) 设 ,其中 、 都具有一阶连续偏导数,且2()()0,sinyufxyzezxf,求 .0zd(2) 设函数 在区间 上连续,并设 ,求 .()fx110()fxdA10()xdfyd四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.)(1) 计算曲面积分 ,其中 为锥面 在柱体 内的部分.zdS2zxy2y(2) 将函数 展开成周期为 4 的余弦级数.()1(02)fxx五、(本题满分 7 分)设曲线 位于 平面的第一象限内, 上任一点 处的切线与 轴总相交,

4、交点记LxOyLMy为 .已知 ,且 过点 ,求 的方程.AMA32六、(本题满分 8 分)设函数 在 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分 与(,QxyO2(,)LxydQy路径无关,并且对任意 恒有t|,(,1) (1,)0 02(,)2()t txydQyxdQy求 .(,)Qxy七、(本题满分 8 分)假设函数 和 在 上存在二阶倒数,并且(fgxab, ,试证：()0gx)()a(1) 在开区间 内 ；(,0x(2) 在开区间 内至少存在一点 ,使 .,)ab()ffg八、(本题满分 7 分)设三阶实对称矩阵 的特征值为 , ,对应于 的特征向量为A12311,求 .1(0)T九、(本

5、题满分 6 分)设 是 阶矩阵,满足 ( 是 阶单位阵, 是 的转置矩阵), ,求AnTAEnTA0A.E十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.)(1) 设 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则 的数X 2X学期望 _.()E(2) 设 和 为两个随机变量,且Y, ,30,7PY4(0)()7PXY则 _.max(,)X十一、(本题满分 6 分)设随机变量 的概率密度为 求随机变量 的概率密度, 0,()xXefXYe.()Yfy|1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分

6、 15 分.)(1)【答案】 6e【解析】这是 型未定式求极限,1,2123sinsin00lim(13)l()xxx 令 ,则当 时, ,所以3xtt,11300li()li()xtxte故 .0266limli6sinsinsnsn0li(13)xxxe(2)【答案】 224coscotd【解析】 2 200scosxxdtt2 2x.204cscsxtd【相关知识点】积分上限函数的求导公式：.xdftffx(3)【答案】 4【解析】利用向量运算律有 ()()abca()bca(其中 )()(c 0b)()abac()()c.4(4)【答案】 3|【解析】令 ,则当 时,有21(3)nna

7、x2(1)112 2111()limli32()li ,33nnnnnnnnnxax x 而当 时,幂级数收敛,即 时,此幂级数收敛,当 时,即 时,此213x|x2x|x幂级数发散,因此收敛半径为 .3R(5)【答案】021【解析】在已知等式 两边右乘以 ,得 ,即6AB1A6BE.1()6AEB因为 ,所以13047= .16()6BAE120302二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线 的方向向量与平面 的法向量的相互关系问题.L直线 的方向向量L,1328147(42)0ijkl ijkijk|平面 的法向量 , ,

8、.应选(C).42nijklnAL(2)【答案】(B) 【解析】由 可知 在区间 上为严格单调递增函数,故()0fx()fx011()fx由微分中值定理, .所以()(),ff,0()0ff (1)故应选择(B).(3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为 ,所以(0)f,0000()1sin)()()limlilimli(0)xx xxfFfff 由此可得 在 处可导.()必要性:设 在 处可导,则 在 处可导,由可导的充要条件知x()sinfx. 00()silimlixxfx根据重要极限 ,可得0sinl1x,

9、, 00isinll1xx00sinsillm1xx结合,我们有 ,故 .应选(A).()ff()f(4)【答案】(C)【解析】这是讨论 与 敛散性的问题.1nu21n是交错级数,显然 单调下降趋于零,由莱布尼11()lnnu1ln()兹判别法知,该级数收敛.正项级数 中, .2211lnn22 1l1nun|根据正项级数的比较判别法以及 发散, 发散.因此,应选(C).1n21nu【相关知识点】正项级数的比较判别法：设 和 都是正项级数,且 则1nu1nvlim,nvAu1 当 时, 和 同时收敛或同时发散；0A1n1n2 当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散；1nu1nv1nv1

10、nu3 当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散.A1nv1nu1n1nv(5)【答案】(C)【解析】 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵, 是将单位矩阵的第一行加到1P2P第三行所得初等矩阵；而 是由 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此 BA,故应选(C).12三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式 ,其中 确定 ,并求 .2(,)0yxezsinyx()zxdz将方程两边对 求导得 ,123co0yxe解得 . 123

11、sydzx现再将 对 求导,其中 , ,(,)ufxysiny()z可得 .123coddfxf将式代入得 .21321scosyffxxex【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 都在点 具(,)(,)uv(,)y|有对 及对 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数xy(,)zfuv()uv在点 的两个偏导数存在,且有()()zfxy；12zzffuxvx.12uvffyyy(2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分 表成二重积分10()xIdfd,Dy其中 如右图所示.交换积分次序.10()yIdfxd由于定积分与积分变量无关,改写成.10()xIfy102()x

12、xddfyd1 120 0() .fyA.2IA方法二：用分部积分法.注意 ,将累次积分 写成1()()xdfyfxd I11110 0220()()().xxxxxIyfydfyfdA四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分.)(1)【解析】将曲面积分 化为二重积分 .I(,)xyDIfdy首先确定被积函数 ,22(,)1xyfzzx对锥面 而言, .2zxy222xyxOD1y|其次确定积分区域即 在 平面的投影区域xOyxyD(见右图),按题意：,即 .2:xyD2(1).2xyIdxy作极坐标变换 ,则cos,inrr,:022xyD因此 .2coscos 3002 12

13、9Idrrd(2)【解析】这就是将 作偶延拓后再作周期为 4 的周期延拓.于是得 的傅氏系数：()fx ()fx0(1,23)nb 20 022202cos(1)cos()inin44cos(1)8,(1),23lxafdlxxdnxnkk.2220001()()()afxddx由于(延拓后) 在 分段单调、连续且 .于是 有展开式()f,f()fx.2218(1)cos,02()nnfxx 五、(本题满分 7 分)【解析】设点 的坐标为 ,则 处的切线方程为 .M()xy()YyXx令 ,得 ,切线与 轴的交点为 .由 ,有0XY(0,)AxMAOOyx1xyD|.22()xyx化简后得伯努

14、利方程 .1,y21y令 ,方程化为一阶线性方程 .2zyzx解得 ,即 ,亦即 .()xc22ycx2yc又由 ,得 , 的方程为 .32y3L3(03)x六、(本题满分 8 分)【解析】在平面上 与路径无关(其中 有连续偏导数),LPdxQy,PQ,即 .y2x对 积分得 ,其中 待定.代入另一等式得对 ,x2(,)()xy()t. ,1 1,(0) (0)2()t tddxydy下面由此等式求 .y方法一：易求得原函数 02202()()( () ).y yxddyxdsxsd于是由式得 .(,1) (1,)22000, 0,t ty yxdsxd即 ,亦即 .120()()tt s21()tstd求导得 ,即 .t1t因此 .2(,)Qxy方法二：取特殊的积分路径：对式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示. OxOyxt(,1)t 1(,)t