【质量管理精品文档】中心极限定理.pptx

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1、及 定理一 设随机变量X1 , X2 , Xn , 相互独立,且 具有相同的数学期望和方差: E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,) 作前 n 个随机变量的算术平均nkknXnY11|limnnYP(1.1) . 1|1|lim1nknnXnP 频率具有稳定性，大量测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景。则对于任意正数有：当n很大时X1,X2 , Xn的算术平均值.)()()(1211knkkXEXEXEXn接近于这种接近是在概率意义下的接近. 通俗地讲, 在定理的条件下, n个随机变量的算术平均,当n无限增大时将几乎变成一个常数。 设Y1 , Y2 , , Y

2、n是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意0有, 1|limaYPnn则称序列Y1 , Y2 , , Yn依概率收敛于依概率收敛于a,记为aYPn则连续在点又设函数设,),(),(,bayxgbYaXPnPn).,(),(bagYXgPnn故上述定理一又可叙述为： 定理一定理一 设随机变量 X1,X2 , Xn,相互独立,且具有相同的数学期望和方差: E(Xk) =, D(Xk)=2 (k=1,2,)则序列.11依概率收敛于nkknXnY 定理二定理二 (贝努利定理)设nA是n次独立重复试验中事事件A发生的次数 , p是事件A在每次试验中发生的概率，依概率收敛的序列还有以下的性质则对于任意

3、正数 0,有1| limpnnPAn或(1.2)证证 引入随机变量. 0| limpnnPAn.1,2,k 1 , 0，发生次试验中若在第，不发生，次试验中若在第AkAkXk显然 nA=X1+X2+Xn .由于Xk只依赖于第k次试验，而各次试验是独立的.于是X1 , X2 ,是相互独立的;又由于Xk服从(0-1)分布，故有 E(Xk)=p , D(Xk ) = p(1-p), k=1, 2, , n , . 由定理一有, 1|)(1| lim21pXXXnPnn. 1|limpnnPAn即贝努利定理表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件的概率p，且以严格的数学形式表达了频率的稳定性。n很

4、大时，事件发生的频率与概率的偏差很小, 故可用频率代替概率。 定理一中要求X1 ,X2 的方差存在。 但服从相同分布的场合，并不需要这一要求，故有以下定理。(辛钦定理) 设随机变量 X1,X2 , Xn,相互独立, 服从同一分布,且具有相同的数学期望 E(Xk)= (k=1,2,),则对于任意正数，有. 1|1| lim1nkknXnP(1.3) 有些随机变量,它们是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起作用都是很微小的。这种随机变量往往近似服从正态分布。证略。易见贝努利定理是辛钦定理的特殊情况 定理四定理四(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1,

5、X2 , Xn,相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望和方差：E(Xk), D(Xk)20(k1, 2,),则随机变量)()(111nkknkknkknXDXEXY的分布函数Fn(x)对于任意x满足lim)(lim1xnnXPxFnkknnnxtdte2221nnXnkk1(2.1)证略。)(xYPxFnn1xnnXPnkk 例例1 1：据以往经验，某种电子元件的寿命服从均值为：据以往经验，某种电子元件的寿命服从均值为100100小时的指数分布，现随机的取小时的指数分布，现随机的取1616只，设它们的寿命是只，设它们的寿命是相互独立的，求这相互独立的，求这16 16 只元件的寿命的总和大于只

6、元件的寿命的总和大于19201920小时小时的概率的概率? ?解：设解：设 X Xk k 表示表示第第k k只元件的寿命只元件的寿命 （k=1,2,3,.16)k=1,2,3,.16) 则则 X Xk k 服从指数分布，服从指数分布，E(E(X Xk k)=100)=100， D( D(X Xk k)=10000 )=10000 设设 Z= XZ= X1 1+X+X2 2+X+X1616 则所求概率为：则所求概率为：16119201920kkxPZP1920P 161nnnnxkk由于：由于：E(E(x xk k)=100, D()=100, D(x xk k)=100)=1002 2 则则1

7、920P1920161nnnnxZPkk10016100161920P161nnxkk8.0P161nnxkk8.0P1161nnxkk7881.01 2119.0)8.0(1 定理五定理五(李雅普诺夫Liapunov定理) 设随机变量X1,X2 , Xn,相互独立, 且它们具有数学期望和方差：. 1,2,.,k )D(X ,)E(X 1222kkknkknkB记 若存在正数d,使得当n时，, 0|1122nkkknXEBdd则随机变量)()(111nkknkknkknXDXEXZnnkknkkBX11的分布函数Fn(x)对于任意x,满足lim)(lim11xBXPxFnnkknkknnnxt

8、dte2221 证明略。定理五表明，在定理的条件下，随机变量Zn ,当n很大时，服从正态分布N(0,1)。由此，当n很大时nkknnnkkZBX11近似服从正态分布). ,(21nnkkBN 即就是说,无论各个Xk具有怎样的分布, 只要满足定理的条件, 那么其和Xk ,当n很大时, 近似地服从正态分布. 例如城市耗电量是大量用户耗电的总和。物理实验误差是由许多观察不到的、可加的小误差构成，故服从正态分布。 (德莫佛 -拉普拉斯De moiver-Laplace定理) 设随机变量hn(n=1, 2, )服从参数为n , p(0p105的近似值。 解解 易知 E(Vk)=5, D(Vk)=100/

9、12 (k=1, 2, , 20), 由定理四，随机变量2012/100520201kkVZ2012/100520V近似服从正态分布N(0, 1), 于是105VP.20)12/10(52010520)12/10(520VP387. 020)12/10(100VP387. 020)12/10(1001VP.348. 0)387. 0(1211387. 022dtet即有 PV1050.387. 例例3 设一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击, 纵摇角大于3o 的概率为 p=1/3, 若船舶遭受了90000次波浪的冲击, 问其中有 2950030500 次纵摇角大于3o的概率是多少？ 解

10、解 设X为在90000次波浪中纵摇角大于3o的次数,则 Xb(90000, 1/3) 其分布律为 kXP所求的概率为3050029500 XP由定理六，得305002950190000)32()31(90000kkk3050029500 XP)1 ()1 (29500pnpnpXpnpnpP)1 (30500pnpnp.90000, 1 , 0 ,)32()31(9000090000kkkk其中n=90000, p=1/3. 即有P29500120 X120 发生时，就要亏本。发生时，就要亏本。 PX120=1-PX120PX120=1-PX12064.596012064.59601XP)769.7(10（2 2）利润不少于）利润不少于 40000 40000 元，即支出要少于元，即支出要少于 120000-40000=80000 120000-40000=80000元元 因此因此 死亡人数不能多于死亡人数不能多于80000/1000 80000/1000 人人 设利润不少于设利润不少于4000040000元的概率为元的概率为p,p,则则600Xpp64.59608064.596064.59600Xp)769. 7()5898. 2(9952.0