第一章随机事件与~概率.doc

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1、|第一章 随机事件与概率在现实生活中，有的过程产生的结果是确定的，例如在标准大气压下水加热到 100一定会沸腾，到 0一定会结冰；火箭速度超过第一宇宙速度火箭就会摆脱地球引力而飞出地球，这些都是确定性现象，亦称必然现象。微积分学、线性代数等研究的对象就是“确定性对象” 。 有的过程会产生多种可能的结果，但究竟会出现哪个结果却是不确定的，称这种现象为随机现象。譬如掷一枚硬币，结果有可能正面向上，也可能反面向上，这一结果纯属偶然，是随机现象。有 5 位数组成彩票的号码，彩票开出某个号码为中奖号码也是随机现象，因为在相同条件下任何一个号码都有可能被选中。记录某网站一分钟内受到的点击次数；在一批灯泡中

2、任取一只，测其寿命；这些结果都不是确定的。概率论将对随机现象的观察或为观察随机现象而进行的试验称作随机试验。在现实生活中存在大量随机试验的例子，抛掷硬币的过程、工厂生产零件的过程可以看成是在进行随机试验，靠碰运气决定胜负的游戏也是一种随机试验，因为在游戏前并不知道游戏的结果。发射火箭和举办销售活动等也都是随机试验的例子，因为发射火箭是否成功、商品销售的数量都是不确定的。妇女怀孕后生男孩还是女孩，也是不确定的。虽然随机现象“纯属偶然” ，但大量重复相同的试验会发现其结果还是有一定的规律可循，概率论与数理统计正是研究与揭示随机现象的定量规律性的一门数学分支。本章将介绍概率论的一系列最基础的概念，并

3、讨论一些特殊场合下的概率计算问题，使读者对概率有一个初步但又准确的认识，为学习下面的章节打好基础。1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母 。称试验的每个可能E结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母 和 表示样本点及样本空间。必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地

4、取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间 。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间 就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面- 正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有 3 种结果的

5、样本空间内是不对的。例 1.1.1 ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验1E中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格” ；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边” ；在这些情况下样本空间 简|化为： =正面 ,反面。：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现2E的点数。样本空间为： 。1,2345,6: 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品） ，可以得到3=（正面，正面） 、 （反面，反面） 、 （正面，反面） 、 （反面，正面) 读者可以将其推广到掷 n 个硬币，样本空间里有多少样本点

6、呢？：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进4E行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为，1,23,n 其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为 。,0：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用5E这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取.2,0,也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常

7、会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是。 12(,)()0,2.5高 度 ,重 量 ，在大多数应用中可以将样本空间分为三类。(a) 样本空间只可能包含有限个结果。和试验相关的样本空间是有限样本空间。如在投掷一个硬币的实验中只有二个可能的结果，掷一颗骰子，观察出现的点数，只有 6 种可能的结果。(b) 如上述试验 ，射手首中目标所需的射击次数，一次销售活动的结果就出售商品的数4E量而言，可以理想化地认为样本空间是由全部非负的整数组成。可以把这些试验的结果与可以计数的整数一一对应，因此，称这样的样本空间可以说是可数无穷的。如上述试验的情形。4(c) 制造零件和测量它的强度

8、的随机试验、测量人体身高或体重的试验中，可以想象试验结果落在一个充分大的实数区间里，实数区间是不能按顺序一一列举的（甚至是无穷序列） ，称这样理想化的样本空间是不可数无穷的，或连续的。在许多情况，不必要区分有限样本空间和可数无穷的样本空间。因此，如果样本空间是有限的或是可数无穷的，称它是可数的样本空间。习惯上，把可数样本空间当做离散的样本空间而不可数样本空间当做连续的样本空间。|此外要注意的是，即使看似相同的试验，不同的试验目的要求的样本空间可能不一样，见下例。例 1.1.2 假设生产线上下来 5 个产品，编号为 1，2，3，4，5，现从中抽取三个进行检查，如果不计抽取的次序，抽到产品的编号组

9、成的样本空间包括以下 10 个可能的结果（为什么？）：123,124,125,134,135,145,234,235,245,345.如果考虑抽取的次序，将会有 60 个可能的结果（为什么？） 。比如，包括产品 1，2和 3 的样本可有以下六种顺序被抽中：123,132,213,312,231,321.应该使用哪个样本空间取决于试验方法和评价，如果在没有限制的条件下连续地检验产品，但只选取包含两个及两个以上不合格品的样本，则显然应该使用第二个样本空间。在这种情况下要注意的是，如果选择和被测试的前两件产品被发现都合格或都不合格，为了做出决定而去选择第三件产品是不必要的。 1.1.2 随机事件随机

10、试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母 记之。例,ABCD如上述例 1.1.1 的试验 中，若以 表示“掷出正面”的结果，则 是一个事件，它含有1EA一个样本点正面；令 表示“掷出反面”,则 亦是试验 的一种结果，从而亦是一个BB1E事件。在试验 中若以 表示“掷出两个正面”的结果，则 是一个事件，它含有一个3CC样本点（正，正） ；令 表示“至少掷出一个反面”,显然 含有个样本点（反，反） ，DD（正，反）,（反，正） 。又例如，在例 1.1.1 的试验 中，若以 表示结果“掷出奇数点”2F，则 是一个事件。由于当且仅当掷出 1、3、5 三种点数的任何一种时，事件 发生，所F以

11、含有 3 个样本点“1” ， “3”， “5”。再如，在 中，若以 表示“至少射击 3 次才会4EG命中目标”这一结果，则 是一个事件。这一结果意味着该试验的射击次数是G3，4，5，这表明事件 含有的样本点是“3” ， “4”， “5”，。上述分析表明，描述试验结果的事件，就是试验的样本空间的子集，上述这 6 个事件都是相应样本空间的子集。,ABCDF=(正面), =反面, =（正，正）, =(反，反） ， （正，反） （反，正）,CD=1,3,5, .,543G事实上，对于含有有限个或可数个样本点的样本空间，可以将其任意一个子集称作事件。而对于含有不可数个样本点的试验而言，作为试验结果的事件

12、，同样是试验的样本空间的子集。例如上述 中，若令 表示“身高在 1.50 至 1.80 米之间”这一集合，则 显5EF F然也是 的一个子集： .81,5.,但对于具有不可数个样本点的样本空间,其子集要比通常想象的复杂，因此不能够将其任意子集都称作事件，对这一问题的深入讨论要用到测度论的知识，这里不再探讨。|1.1.3 事件与集合的对应以及它们的运算通常用希腊字母 表示样本空间, 表示样本点。称“ 是 的成员”或者“ 属于”，或者“ 是 的元素” ，记为 .如果 不是试验的一个可能结果，那么 不是 的元素，则记为 .一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元

13、素（即样本点）在试验中出现。用 表示事件 是 的子集。事件的相互关系A与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合 等都是 的子集，而不再每次申12, , nB 明。1. 事件的包含集合的包含集合 即“ 包含于 ”，意为 中元素都在 中，或说，如果 ，必有ABAA。对应于事件，表示 的样本点都在 中，即当 的样本点出现于试验结果 之 B中，即 发生时， 当然也就发生了，或说“ 的发生必导致 的发生” 。B图 1.1 的文氏图AB2. 事件的相等集合的相等称集合 A 和 B 相等，并记为 ，是说“ 且 ”。对应于事件，称 AA和

14、 B 相等，记为 ，就是“如果 发生，则 必然发生，同样如果 发生，则 必 B然发生” 。相等的事件含有相同的样本点。3. 事件的并（和）并集集合 A 和 B 的并集记为 ,它的元素或者属于 ，或者属于 （当然有的可能同时属于 A 和 B） ，即 。对应事件的并 表示“ 或 至:AB或 AB少有一个发生” 。图 1.2 的文氏图AB并的概念可以推广到 个事件和可数个事件, 的并n12, , nA|表示“ 中至少有一个发生” ；可数个事件12ni nA (1,2)iAn的并 表示“ 中至少有, , i A1 (1,2,)in 一个发生” 。4. 事件的交（积）交集两个集合 A 和 B 的交集记为

15、 ，它是由既属于 A 又属于 B 的元素构成的集合，即B:且对应于事件的交 表示“A 和 B 同时发生” 。 常简记作 。图 1.3 的文氏图AB类似地，交得概念也可以推广到 个事件的交, 表示“ 个事n12ni nA件 同时发生” ，可数个事件的交 表示“可数 (1,2)iAn 1i 个事件 同时发生” 。,i 5. 逆事件（对立事件）补集的子集 A 的补集记为 ，它是由属于 但不属于 A 的元素构成的集合，因为仅牵涉到属于 （样本空间）的点，集合 就是由那些不属于 A 元素组成的。记为A:且图 1.4 的文氏图A对应于事件， 发生当且仅当 不发生时发生，称作事件 的逆事件。利用上述事件AA

16、的并和交的运算符号，有及 6. 事件的差差集集合 与 的差集 由 中那些不属于 的元素全体组成。对应地，事件的差BB|表示“ 发生而 不发生”即 。ABBAB图 1.5 的文氏图AB7. 互斥（或不相容）事件不交集在集合论中,若 ,则表明 , 没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若AB，则表明 ， 不同时发生，称 与 互斥（或不相容） 。图 1.6 的文氏图AB8. 必然事件和不可能事件样本空间和空集有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出是它自身的子集，从包含关系 的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此 。又假设存在集合 ，该集合不包含任

17、何元素（空的集合） ， 必定是每一个集合的子集，对任何子集 ，要从 中找到一个元素不在 中，显然是不可能AA的，因为 没有元素，因此， 成立。对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件。例如，例 1.1.1 的 中“点数小2E于 7”应是一种结果，其发生是必然的。显然，必然事件含有样本空间的全部样本点，因此用样本空间的字母 表示必然事件是很自然的。此外，将不可能出现的结果称作不可能事件，记作 ，它对应于集合论中的空集。如 中“射击次数小于 0”就是一个不可能事4E件。显然，不可能事件不含有样本点。注意到以下等式总是成立的 ,.AAA 上述事件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。与集合

18、运算一样，事件的运算亦有如下的运算律：|1交换律： ， ；ABAB2结合律： ， ；()()C()()CAB3分配律： ， ； ()C4对偶律： ， 。ABAB上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对 个事件n有分配律(1,2)iBn，11nni iiABA11nni iiBA对偶律留给读者自行写出。图 1.7 个事件的关系图n对可列个事件 的分配律也留给读者，此处给出有对偶律(1,2,)iA 1iiA及 1ii为帮助读者熟悉事件的运算。以三个集合为例，A、B 和 C 的并集，如图 1.8 的文氏图是有用的。根据图 1.8，请读者检验这些等式： ,BCABA()()()()(

19、)()1B23B654BA|图 1.8 三个事件的关系图例 1.1.3 设 是 1 到 20 二十个数字组成的集合, 表示 中全体1,20 O奇数的集合, 表示 中偶数的集合,令 表示” 中能被 3 整除的数” ， 表示” EAB中能被 5 整除的数”, 表示” 中能被 15 整除的数”, 则C, ,3, A69,585,02B15C于是 , , , ，OEOE68， , , B1AB3,5A69,02580, ,2B例 1.1.4 已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令 分别,ABC表示其第一、二、三次所抽到的螺钉是次品的事件。试用 及其运算表示下列事件：,ABC（1）第三次

20、抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到两个次品） ；（6）没有抽到次品。解 （1） （2） （3）.C.ABC.（4） （5） （6） . AB.CBA1.2 概 率概率是定量地来描述随机事件发生的可能性的数值度量。然而在概率论发展过程中，对概率的定义足足经历了三百余年的探索，在经历了古典概率、几何概率、统计概率等版本的概率定义之后，人们最终接受了前苏联数学家柯尔莫戈洛夫于 1933 年建立的概率公理化体系。目前多数概率论教科书都采用概率的公理化定义，这要从随机事件的频率谈起。1.2.1 频率与概率如前所述，概率

21、是事件发生可能性大小的度量，那么什么样的数能够准确地描述事件发生可能性的大小呢？考虑一系列在相同条件下重复做的相同实验。在实验的最初 n 次重复试验中，假设表示事件 发生的次数。那么 的比值则给出了在最初 n 次试验中事件 发生的比AnnA/ A|例。例如，如果是投掷硬币的实验，如果事件 A 相对应“正面（即头像那面） ”，那么给出了在最初 n 次投掷中正面的次数。直观上感觉随着 n 的增加， 的比值应该nA/ nA/稳定且接近某些可以测量事件 发生可能性的固定数值。这样，可以用下面的方式来指定事件的概率：()limAnP（1.2.1）当然可能无法验证（1.2.1）式中极限的存在性，现实试验可

22、能没有无穷大序列。尽管如此，直觉上希望能有一个数学模型来支持这个公式的正确性。继续观测重复投掷一枚硬币的试验，发现如果硬币是均匀的，只要掷币次数足够多，那么出现正面的频率会接近 . 这样由（1.2.1）式，指定 P(正面) 的值为 。事实上，可以21 21在 情况下定义掷一枚硬币“出现正面”的概率。图 1.9 给出了一个 可lim(/)An nA/能的图形，其中 n 是 100 次的投掷。尽管这个图形既没有证明 极限的存在，也没有nA/保证即使这个极限存在，它的值就是 。它只是用图形说明，从一个相对频率序列中期望21得到的结果。00.10.20.30.40.50.60.70.80.911.10

23、 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95nA/n图 1.9 在 100 次投掷中出现正面的比例无疑地，至少在概念上可以模拟重复试验，例如硬币投掷、玩扑克牌游戏等。此外，还可以对更复杂的随机试验用概率模拟，例如，通过使用测量工具，对制造过程某一部分的强度测量来进行概率模拟。因此在工程和科学应用中，这个相对频率的概率解释给出一个概率测量的适当模型。这就是说，对于许多工程问题，可以想象许多次地重复一个试验，并可以测量“试验可能出现的某个结果”的次数。因此，一个概率测量的任何数学解释，必须解释在这个相对频率意义下的概率。尽管在许多

24、工程应用和游戏中，可以用相对频率逼近概率，但在另外一些场合还是不|恰当的。一个概率测量的数学解释必须独立于任何预想的应用。迄今为止的现代概率论开始于一系列的概率公理化的解释，并没有提到概率实际上是怎么得到的。如何决定一个强烈依赖于随机试验的给定事件的实际概率是受客观条件限制的，因此一个真实概率的确定是一个超数学问题。从概率应当满足后面的概率公理的前提开始，不论这些概率是由一个随机试验的重复性来决定还是基于个人的判断，或是采纳了专家的意见，这些与对概率论的学习是不相关的。定义 1.2.1 称在相同条件下所做的 次试验中事件 发生的次数 为 发生的频数，nAAn并称比值 为事件 发生的频率，记作A

25、n().Anf借助这一术语，可以说，事件发生的频率在一定程度上反映了事件发生的可能性的大小。为什么要加上“在一定程度上”这一限定语呢？因为频率不是一成不变的。例如，若将上述试验重新再做 10 次，则 不一定仍然发生 7 次，或许结果是 发生了 4 次，这是AA完全有可能的。如此说来，频率还能够真实地反映事件发生的可能性的大小吗？回答依然是肯定的。条件是试验次数 要足够大。这里要指出一个重要的事实。这就是，尽管 次试验中事件n n发生的频数 不是一个固定的数，从而频率 也不是一个固定的数，但当试验的次AA ()nfA数 较大时，频率 会趋于稳定。()nf人们从大量的实践中观察到的频率的稳定性令人

26、们推测，应该有一个由事件 自身所A决定的常数 存在，使 十分稳定地在其上下做窄幅变动。将这样一个客观存在的数p()nf称作事件 的概率应当是合乎逻辑的。A定义 1.2.2 在相同条件下所做的 次试验中，当 时，事件 发生的频率nn稳定在某个常数 附近。称此常数 为事件 发生的概率，记作()nf pA().P定义 1.2.2 是建立在试验及其统计数据的基础上的，故称之为概率的统计定义。它有相当直观的试验背景，易被人们接受。不足之处是，定义中数 的存在只是人们经过大量观p察之后的推断。从传统数学惯有的严格性角度看，似乎应对其客观性给出严格的证明才能令人信服。此外，定义中对频率与概率的关系的描述是定性的，非数学化的，从而容易造成误解。例如，依照定义 1.2.2 中的描述容易使人猜想，是否概率就是频率的极限。(1.2.2)lim()nfAP在本书第五章中将看到， 的确是频率 的某种极限，但并非由(1.2.2)式所()Pnf表达的极限，而是另外定义下的极限，眼下尚无法对其加以描述。由于定义 1.2.2 的上述不足，人们有理由寻找更好的定义概率的方式，于是，概率的公理化定义应运而生。