胡适耕实变函数内容答案第一章(B).doc

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1、|第一章习题 B36若 AB =A C，则 B=C证一：（反证）不妨设， x0 B,且 x0 C1) x0 A,则 x0 A B，x 0 AC 这与 AB =AC 矛盾2) x0 A，则 x0 AB ，x 0 A C 这与 AB=AC 矛盾所以假设不成立，即 B=C证二： B同理 ，现在已知 故上两式左边相等，从而 C37集列A n收敛 An的任何子列收敛证 由习题 8 集列 收敛 特征函数列 收敛，由数分知识得数列nA收敛 的任一子列 均收敛，又由习题 8 可得 收敛nAnAjnAjn38设 ,则 =Z， =Q)21(:/Zmlimnlin证 显然有 lilinnQ1） 假设 使x,QZxl

2、inA N0,当 nN 时，有 ，特别地， ，nnx1nA m1,m2 Z,使 x= ,x= =12m12m从而 这与 m2 Z 矛盾，所以假设不成立，即： =Z12,n lin2） x Q,则 m,n Z,使得 x= nx= = = =n21knx ,(k=1,2),从而 x =QAlimnAlin|39设 0N 时，有 N 时， , (01linab2) 假设 1,使 ，则 属于集列 中的无限多个ylim,ny,n集合又因为 1, ，故 当 nN 时，有 N 时，y1nb0Nb,nab从而 只会属于集列 中的有限多个集合y,na这与 会属于集列 中的无限多个集合矛盾所以假设不成立，即 ,有

3、 y(1)ylim,nab显然， 有 ,故 .y(0， lin 1,0(,lin综上所述， = lim,nab(,140设 ： （ ）, ( ),求 nfRXnfAlim(1/2)nXf解 1） ， ( n )，故 ( 0xAnf 0x0An ) 当 nN 时，有 ,N0)nfx1/2当 nN 时， ，从而 0(xX0li(1/2)nXf2） ， ( n )，故 ( n )cAnfA0)x0A 当 nN 时，有 ,0x3/1 =0lim(1/2)nxXflim(2)nXf41设 为升列， ，对任何无限集 ,存在 使 为无nBnBn|限集，则 含于某个 An证 假设 不含于任何 中,又 为升列，

4、An则对 ， ，由于 ，故 ，使 ，即1n1xN11nAx；对 ， ，又 故 使x22xn2于是可取 使 因此对 ，1222n 122xi， ii iixi令 =x1, x2, xi ，则 且 为无限集，BBA但 , Ani=x1, x2, xi 为有限集，这与已知条件矛盾i假设不成立，即 含于某个 中n42.设 :2x 2x，当 时 (A) (B)，则存在 使 ( )=fXffAXf证 因为 ，故子集族 非空，令f fPX:20，下证：XBAP0，即要证 首先由定义 对每个1fXA0BA成立，那么由已知就有 对一切 成立，从而0 ff XP0XPBXPBff 00再证 为此，由 的定义，只要

5、能证 就可2Af Af0以了但从 已证的 ，又由已知 的单调性应有1f0，故确定 0ffXPA043.设 是无限集， : ，则有 的非空真子集 ，使 ( ) XfXf证 x1 X，若 x1 x2， 令 x2= ( x1f)若 x2 x3 ，令 = ( )f若 ，令 1n1n1）若存在 ，则令 =x1,x2,xi ，显然 ( ) iixAfA2）若不存在 ,则令 =x1,x2,xi,，显然 ( ) 1 44.设| |1,则有双射 : ,使得 x : ( ) ；当| |=偶数或| |AffxA|时可要求 ( ( )= ( )fxA证 （1）| |=2n+1, n N,则 =x1,x2,x2n+1

6、，作映射:A，显然 ( )是双射，且 ，有 ( ) 12ii ifxfAfx（2）| |=2n，n N, 则 =x1,x2,x2n，作映射:， 显然 是双射，且 ，mixfii ,)(1 fx有 且 ffx(3) | | 由 0,1 知，存在一双射AA:0,1hA令 ,01h12h又 及 为双射， 0,知 且 ， ，01AA12A21 A21故 可划分为两个互不相交等势的子集 A1 和 A2。 在 A1 和 A2 之间存在一双射，记为 , : ，12 ()gx21作映射： ，112gxfx容易验证 ( )是双射，且 . f ,xAfxfx且45设| | | |=| | , | | ,则| |=

7、| |BABA证 因为 ，所以 为无限集，任取 中不同的两点 ， 12,a则有 所以 12,a46.设| |=c，则 :| |=c1AnnA|证 令 ，则 ,21,21iRxxRin cR由于| |=c，故存在双射 ： ,记 ，1An1AnBA则 , Bn,对 =( x1,x2,) ，令 Pnx= xn, 则 Pn 是 到 R1 的一个映射R如果存在某个 n，使 PnBn= ，则由 c | |=|Bn| | R1|= c，可得| |= 1nc否则，若对一切 n 均有 PnBn R1，且 PnBn 那么对每个 n，取R1PnBn ,记 ，则 a,21a但因为 Pn = PnBn ，故 Bn(n=

8、1,2,)，这与 = 相矛盾1B因此必存在 n，使得| |=cA47|C0,1|=c证 首先，因为0,1上的常数函数都是0,1上的连续函数，故 R 与 C0,1中的一个子集对等，即 0,1Cc其次，将 中的有理数全体排成 则任何一个连续函数， ,21 nr都由它在 上的值 完全决定事实上，xf ,21nr ff对任何 ，存在上述有理数列的子数列 ，由 f的连续性0jxjn若 ， ，则必有jnjrfxflim0,1gxCfg , 2121rrf否则将导致在一切点 上均有 ，因此 与实数列全体的xxf0,1C一个子集对等又实数列全体基数为 c，故 ，综上所,c述 0,1Cc48| |=2C, 是函

9、数 ：R R 之全体Rf证 （1） 且|D| 1,|Dc| 1，2D|由 44 题结论， 上的一双射 ： Rf1fxD其中， 为 D 到 D 的双射且 D,有 ( ) xf1f且|D c|=1，由 44 题结论及条件 ,容易找到两个不同的双射，2R， 有 ，hi: xhi2,1i作 上的双射：h( )和 g( )xh( )= ，g( )= ，x1)D2(xD由 ( ),g( )及 h( )定义知， fxRc（2）显然， :RrGf其中 ,:,RrGfxff2RrGf :2RRcrf 综上所述，有 c49设 T 是 1 维开集之全体，则 |T|=c证 设 为任意正数 则 A,0，故 c，又 ，A

10、a, TA故 ；另一方面，对任何一组开集 作单射ciibaG,，则由实数列集的全体的势为 ，知 ，于是,21baGf cTcT50设|X| ,B 是双射 ： X X 之全体，求|B| f证 （1） 且|D| 1,|Dc| 12D|由 44 题结论， 一双射 ： f1fxD其中， 为 D 到 D 的双射且 D,有 ( )xf1f且|D c|=1由 44 题结论及条件 ,容易找到两个不同的双射，2XX， 有 ， ，xhi:xxhi21i作 上的双射：h( )和 g( )h( )= ，g( )= ，1)xD2(xD由 ( ),g( )及 h( )定义知， f XB（2）显然， 其中 ，fGr: Xx

11、ffr:,又 ，故 XrfG22X综上所述，有 B51不存在集族 ,使对任何集 有某个 ：| |=| |AAB证 （反证法）若 ,使 有某个 ：| |=| |B那么对 =2 由 Th1.3.4 显然有 | |0: 可数，则 可数AnRnrA()rBxA证 由已知条件知存在 的一开覆盖 ，满足 ，有 可数，B由 68 题结论， 存在一无限可数子集 1 满足， 1， ，| 1|=nR于是 ( 1)由 Th1.3.7 得 可数n55设 可数，则有 使 ( + )= ,其中 + = + : ARxnRAxAxa证 可数，故 也可数而 是不可数的，因此可以nba,| nR取到 假设 ( + ) ，不妨设

12、 ( + ),xba,| xx则 ，且 + ，即 b 使得 =b+ 于是 = ，这与 的取aAxAxba法矛盾，因此 ,使 ( + )= nR56设 可数，则有分解 = , = ,使每条直线 = 只含E2EBx中有限个点，每条直线 = 只含 中有限个点y证 （1）当 是有限点集时，显然成立（2）当 是可数无限点集时，先就特殊情形： ，整点（也称格NE点）集证明以平分第一象限的直线 为分界线，考虑这条直线的下方图形xy与 的交集，设为 ，即：xRyF,0:,2 A1nAE其中 是单点集,1|是两点集2,12A 是 个点的集nn,再令 ，则容易验证 ， EB BANE（3）对 是一般可数无限点集情

13、况，可以不宜深究他因 2R转化为 的情况，从而证毕NN注：作为点集可数性练习，应该说上述解答基本完整但若深究起来，还是比较复杂的故严格地说上述解答的（3）部分是不严格（或不完全的） 例如，圆盘内有理点取为 时，显然这时 和 仍有一个一一对应，但二者确乎不能E视为等同：在需要考虑拓扑性质时，前者处处稠密于全圆盘，而后者无处稠密（疏） 要完成严格证明就要说明存在一个一一对应的映射 ，使得穿过圆盘的每条横（或纵）线 在 下的像 与（2）中 的交集至多xf:yfA是有限点集这已是拓扑同伦问题，超出实变范围57设 是 中如下直线 L 之全体：当（ , ） L 且 Q 时， Q,求|2Rxxy|解 1）

14、=0 时， = Qkyb= = , Q显然 中每条直线均满足条件，|A|= 显然成立AybA2） = 时， = ， = = , Q，显然 中每条直线均满足条件，xBxB|B|=c3) 0， 时， =kybkC= = , 0, , Q，显然 C 中每条直线均满足条件，|C|= ，ybx易证 = 从而| |=cAC58设 , 是互不相交的闭集，则有互不相交的开集 , 使 , BnRGHAH证 令 ， ，则易知BxdxG,|BxdxH,|， 且 又 ,故 ayax )(infif, ayaAA因此 ，即 dAd, xydx,|同理可证 yxAdy,故 ，因此 是连续函数xd, Axdf,故 也是连续

15、函数BxdF,故 与 为开集0|G0|FH59设 是可数稠集，则 不是 型集AnRG证明：设 = 1， 2,，假设 是 型集，则有 中的开集 使得，xAnRiG= 又记 为只含有 的单点集，1i ii则 =（ ） =（ ） ( )= ( )nRAnR1kKx1)(iin1kKx 与 均是闭集，显然， 不含内点，ixiGi又 ，而 为可数稠集，inn 不可能包含任何开区间，即无内点则 可表示为可数个无内点的闭集的并集，这是不可能的 不是 型nR AG集60不存在0,1上的实函数，使在有理点连续而在无理点间断证 设 是定义于0,1的函数， 记 = |对 的任一邻域 ，存f nEx(,)在 1 , 2 ，使得 x(,)fxf121又记 = 由连续的定义知 就是 的不连续点全体，E1nf今证明每个 均是闭集设 , 的邻域 , , 由nx()x(,)nExn 中能取到两点 1, 2,使得 (,)xff121x 是闭集如果 的不连续点为0,1 中的无理数全体，nEn由 = ,可知0,1中的无理数全体能表为可数个闭集的并，1