《无穷小与无穷》PPT课件.ppt

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1、 第一章（二）、（二）、无穷大无穷大（三）（三）、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系（一）、（一）、无穷小无穷小 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小与无穷大1当（一）、（一）、无穷小无穷小定义定义1.若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小.时为无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2说明说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然 C 只能是 0!CC时,函数(或 )则称函数为定义定义1.若(或 )则时的无穷小无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3其中 为时的无穷小量.定理定理 1.(无穷小

2、与函数极限的关系)证证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 4（二）、（二）、无穷大无穷大定义定义2.若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 5注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数当但所以时,不是无穷大!机动 目录 上页 下页 返回 结束 6（三）、无穷小与无穷大的关系（三）、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定

3、理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2.在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 7（四）、极限的运算法则（四）、极限的运算法则都存在，则时极限也存在，且特别有.在定理定理3.若极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 求极限方法举例例例1 1解解9解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 210解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)11例例4 4解解12小结小结:13小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分

4、式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷大之比求极限法无穷大之比求极限法;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.14思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？15思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误16 第一章 都是无穷小,第二节引例引例.但 可见无穷小趋于 0

5、 的速度是多样的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、无穷小的比较17定义定义.若则称 是比 高阶高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 18例如例如,当时又如又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 19例例5.证明:当时,证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 20定理定理1.证证:即即例如例如,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 21定理定理2.设且存在,则证证:例如例

6、如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 22例例6.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 23常用的等价无穷小，当常用的等价无穷小，当机动 目录 上页 下页 返回 结束 24时，当时 第一章 一、极限存在定理第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在定理与两个重要极限二、两个重要极限25（一）、夹逼定理（一）、夹逼定理 如果对于如果对于证证:当时，有,又因故必存在正数时,有取于是故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的某个领域内的一切则，当则当26例例7.证明证证:利用夹逼准则.且由机动 目录 上页 下页 返回 结束 26（二）（二）.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(

7、准则2)(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 27准则准则21.单调增有上界数列必有极限。2.单调减有下界数列必有极限。第五节 目录 上页 下页 返回 结束 35二、二、两个重要极限两个重要极限重要极限重要极限1 其中的两个等号只在其中的两个等号只在x=0时成立时成立.证证设圆心角设圆心角 过点过点A作圆的切线与作圆的切线与OB的延的延长线交于点长线交于点C，又作，又作则则sin x=BD，tan x=AC，BODACx当当 时时首先证明不等式首先证明不等式28当当 时有时有即当即当 时时BODACx而当而当 时有时有 ,从而从而即当即当 时有时有这就证明了不等式这就证明了不等式 .2

8、9从而有从而有由夹逼准则，即得由夹逼准则，即得再由夹逼准则，即得再由夹逼准则，即得30例例8解解1coslim0此题中用到此题中用到xx=例例9解解例例10解解31这是重要极限这是重要极限2常用的另一种形式常用的另一种形式.重要极限重要极限2例例11解解 令令 ,则当则当 时时,因此因此32例例1212解解例例1313解解33重要极限重要极限2证明：证明：34内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系4、无穷小的比较 作业作业P23、9、（8）（10）（14）(18);第五节 目录 上页 下页 返回 结束 5、两个重要极限35小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.：36一、填空题一、填空题:练练 习习 题一题一37二、求下列各极限二、求下列各极限:38练习题答案练习题答案39练习练习解解先变形再求极限先变形再求极限.40练习练习解解41练习练习解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,42一、填空题一、填空题:练练 习习 题二题二43二、求下列各极限二、求下列各极限:444、45练习题二答案：一、1、-5；2、3；3、2；4、1/5;5、0；6、0；7、1/2;二、1、2；2、2x；3、-1；4、0；