《同济大学数学系》PPT课件.ppt

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1、Graduate Engineering Mathematics同济大学数学系同济大学数学系 2009-3-222009-3-22工科研究生数学工科研究生数学-矩阵论矩阵论第第 4 章章 内积空间内积空间吴吴 群群同济大学数学系同济大学数学系G E MG E M4.1 实内积空间实内积空间定定义义.设设V 是一个实线性空间，是一个实线性空间，R为实数域，为实数域，2若若 a a,b b V,存在唯一的存在唯一的 r R与之对应，与之对应，记作记作(a a,b b)=r,并且满足并且满足(1)(a a,b b)=(b b,a a)(2)(a a+b b,g g)=(a a,g g)+(b b,g

2、 g)(3)(ka a,b b)=k(a a,b b)(4)(a a,a a)0,(a a,a a)=0 a a=0则称则称 (a a,b b)为为a a 与与b b 的内积，的内积，V 为为实实内积空间。内积空间。实实内积空间也称欧几里得内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性G E MG E M3定义内积定义内积例例.线性线性空间空间称为内积称为内积空间空间 的标准内积。的标准内积。G E MG E M4定义内积定义内积A为为 n 阶实正定矩阵，阶实正定矩阵，例例.线性线性空间空间G E MG E M5定义内积定义内积例例.线性线性空间空间Ca,

3、b，f,gCa,bG E MG E M6由定义知由定义知(5)(a a,b b+g g)=(a a,b b)+(a a,g g)(6)(a a,kb b)=k(a a,b b)G E MG E M向量长度向量长度,Cauchy-Schwarz不等式不等式定义定义.设设V 为为实实内积空间，称内积空间，称 为向量为向量a a 的长度，的长度，记作记作|a a|。定理定理.设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a,b b V,k R，则，则等号成立当且仅当等号成立当且仅当a a,b b 线性相关；线性相关；Cauchy-Schwarz不等式不等式三角不等式三角不等式正定性正定性齐次性齐次性G E

4、 MG E M8例：利用例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明不等式证明G E MG E M向量的夹角向量的夹角由由Cauchy-Schwaz不等式可知不等式可知G E MG E M向量的正交向量的正交定义定义.设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a,b b V,若若(a a,b b)=0=0,则称则称 a a 与与b b 正交，记作正交，记作 a a b b。a a 与与b b 正交正交这就是实这就是实内积空间中的勾股定理。内积空间中的勾股定理。G E MG E M11向量向量a a 与与b b 在该基下的坐标为在该基下的坐标为G E MG E M12G E MG E M度量矩阵度

5、量矩阵矩阵矩阵 A 称为基的度量矩阵。称为基的度量矩阵。即即 A 为实对称矩阵。为实对称矩阵。即即 A 为实正定矩阵。为实正定矩阵。G E MG E M定理：设内积空间定理：设内积空间V 的两个基是：的两个基是：它们的度量矩阵它们的度量矩阵分别分别为为A与与B，则，则A与与B是合同的，是合同的，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P，使得，使得其中可逆矩阵其中可逆矩阵P 是由前组基到后组基的过渡矩阵。是由前组基到后组基的过渡矩阵。G E MG E M4.2 标准正交基标准正交基若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。定理：正交向量

6、组必是线性无关的。G E MG E M16且其中每个向量的长度都是且其中每个向量的长度都是 1 1，注意：注意：(1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即(2)向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即基向量上的正投影，即G E MG E MGram-Schmidt 正交化过程正交化过程Gram-Schmidt 正交化过程：正交化过程：设设是内积空间是内积空间V 中线性无关中线性无关的向量组的向量组，使得，使得则则V 中存在正交向量组中存在正交向量组G E MG E MGram-Schmidt 正交化过程

7、正交化过程 图解图解G E MG E M19令令是是正交向量组，并且正交向量组，并且则则G E MG E M记记G E MG E M或或注意到注意到K是可逆矩阵，因此是可逆矩阵，因此G E MG E M是正交向量组是正交向量组下面用归纳法说明下面用归纳法说明由归纳法假设可知由归纳法假设可知是正交向量组。是正交向量组。即即G E MG E M矩阵矩阵A的的QR分解分解推论推论1：n 维实内积空间维实内积空间V 必存在标准正交基。必存在标准正交基。推论推论2：n 维实内积空间维实内积空间V 中任一中任一正交向量组都可扩充成正交向量组都可扩充成V 的一个正交基。的一个正交基。推论推论3:设设A为可逆

8、阵，则存在为可逆阵，则存在正交阵正交阵Q和可逆上三角阵和可逆上三角阵R使得使得 A=QR，称为矩阵，称为矩阵A的的QR分解。分解。G E MG E M24设设A为为 n 阶可逆阵，则利用阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，正交化过程，G E MG E M25G E MG E M26例例:求求矩阵矩阵A的的QR分解，分解，G E MG E M4.3 正交子空间正交子空间定义定义:设设W,U是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，(1)a a V,若若 b b W,都有都有(a,b a,b)=0,则称则称a a 与与W 正交，记作正交，记作a a W;(2)若若 a a W

9、,b b U,都有都有(a,b a,b)=0,则称则称W 与与U 正交，记作正交，记作W U;(3)若若W U，并且，并且W +U=V,则称则称U 为为W 的正交补。的正交补。注意：若注意：若W U，则则 W与与U 的和必是直和。的和必是直和。G E MG E M正交补的存在唯一性正交补的存在唯一性定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，则的子空间，则W 的正交补的正交补存在且唯一，记该存在且唯一，记该正交补为正交补为 ，并且，并且G E MG E M向量的正投影向量的正投影定义定义:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，则称向量则称向量b b 为向量为向量a

10、 a 在在W上的正投影，上的正投影，称向量长度称向量长度|g g|为向量为向量a a 到到W 的距离。的距离。Wd db bOa ag gG E MG E M垂线最短定理垂线最短定理定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，a a V,b b 为为a a 在在W上的正投影，则上的正投影，则 d d W,有有并且等号成立当且仅当并且等号成立当且仅当 b b=d d。Wd db ba aG E MG E M4.4 正交变换正交变换定义定义:设设T 是实内积空间是实内积空间V 的线性变换，若的线性变换，若 a a V 有有则称则称T 为为V 的正交变换。的正交变换。G E M

11、G E M正交变换的特征刻画正交变换的特征刻画定理定理:设设T 是实内积空间是实内积空间V 的线性变换，的线性变换，a a,b b V，则下列命题等价，则下列命题等价，G E MG E M33推论推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；两个正交变换的积仍是正交变换；(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。正交变换的逆变换仍是正交变换。G E MG E MHouseholder 变换变换构造构造 的正交变换的正交变换讨论正交变换讨论正交变换H 的几何意义。的几何意义。G E MG E M故故H(a a)是是a a关于子空间的反射，关于子空间的反射，d da ag gb bw wO-g-g矩阵矩阵H

12、 称为称为Householder矩阵，矩阵，变换变换H 称为称为Householder变换，变换，变换变换H 也称初等反射也称初等反射变换。变换。G E MG E M36求一个求一个初等反射初等反射变换变换H，使，使H(a a)=b b。只需求一个只需求一个w w 使得使得b b 是是a a 关于子空间关于子空间 的反射，的反射，于是于是w w 与与a-b a-b 平行，故可取平行，故可取G E MG E M4.5 复内积空间复内积空间定定义义.设设V 是一个是一个复复线性空间，线性空间，C 为复数域，为复数域，37若若 a a,b b V,存在唯一的存在唯一的 c C与之对应，与之对应，记作

13、记作(a a,b b)=c,并且满足并且满足(2)(a a+b b,g g)=(a a,g g)+(b b,g g)(3)(ka a,b b)=k(a a,b b)(4)(a a,a a)0,(a a,a a)=0 a a=0则称则称 (a a,b b)为为a a 与与b b 的内积，的内积，V 为为复复内积空间。内积空间。复复内积空间也称酉空间。内积空间也称酉空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性(1)(a a,b b)=(b b,a a)G E MG E M38定义内积定义内积例例.线性线性空间空间称为复内积称为复内积空间空间 的标准内积。的标准内积。G E MG E M39在复内积空

14、间中还有在复内积空间中还有(5)(a a,b b+g g)=(a a,b b)+(a a,g g)(6)(a a,kb b)=k(a a,b b)(8)Cauchy-Schwaz不等式不等式且且(a a,b b)=0=0 a a 与与b b 正交正交(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组正交化过程把线性无关的向量组变成正交组G E MG E M40向量向量a a 与与b b 在该基下的坐标为在该基下的坐标为G E MG E M41G E MG E M度量矩阵度量矩阵矩阵矩阵 A 称为基的称为基的度量矩阵度量矩阵。，即，即 A 为复正定矩阵。为复正定矩阵。，则称，则称 A

15、为为Hermite矩阵。矩阵。，即，即A 为为Hermite矩阵。矩阵。称称 A 为复正定矩阵。为复正定矩阵。G E MG E M设设T 是复内积空间是复内积空间V 的线性变换，若的线性变换，若 a a V 有有则称则称T 为为V 的酉变换。的酉变换。G E MG E M定理定理:设设T 是复内积空间是复内积空间V 的线性变换，的线性变换，a a,b b V，则下列命题等价，则下列命题等价，G E MG E M4.6 正规矩阵正规矩阵例如，对角阵，酉矩阵，例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。阵都是正规阵。定义定义2：设：设 A,B是复方阵，若存在酉矩阵是复方阵，若存在酉矩阵U，使

16、，使则称则称A与与B酉相似。酉相似。G E MG E M定理定理1：任意复方阵必与上三角阵：任意复方阵必与上三角阵酉相似酉相似。对复方阵的阶数用归纳法。对复方阵的阶数用归纳法。引理引理1：正规的三角阵必是对角阵。：正规的三角阵必是对角阵。定理定理2：复方阵：复方阵A与对角阵与对角阵酉相似的充分必要条件是酉相似的充分必要条件是A是正规阵。是正规阵。推论：实对称推论：实对称阵必与对角阵相似的阵必与对角阵相似的。G E MG E MeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYn

17、VkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G

18、5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6Ex*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWk

19、ThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E

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22、C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZn

23、VkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D

24、1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*tmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkSh

25、PdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A

26、+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQ

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32、lTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)