《初等函数的导数》PPT课件.ppt

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1、医用高等数学医用高等数学医用高等数学医用高等数学第二节第二节 初等函数的导数初等函数的导数一、按定义求导数一、按定义求导数三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则四、复合函数的导数四、复合函数的导数二、函数四则运算的求导法则二、函数四则运算的求导法则五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则六、对数求导法六、对数求导法七、初等函数的导数七、初等函数的导数八、高阶导数八、高阶导数医用高等数学一、按定义求导数一、按定义求导数常数的导数常数的导数2幂函数的导数幂函数的导数所以所以医用高等数学3.3.正弦函数和余弦函数的导数正弦函数和余弦函数的导数即即即即同理同理=医用高等数学4对数函数的导数对数函数的

2、导数即即特别地，特别地，时时医用高等数学二、函数四则运算的求导法则二、函数四则运算的求导法则医用高等数学证证(1)(1)医用高等数学证证(3)(3)医用高等数学医用高等数学推论推论医用高等数学例例2-5 已知函数已知函数 ,求求例例2-6 已知函数已知函数 ,求求解解解解医用高等数学解解例例2-7 已知函数已知函数 ,求求同理可得同理可得即即医用高等数学解解同理可得同理可得即即例例2-8 已知函数已知函数 ,求求医用高等数学例例2-9 已知函数已知函数 ,求求解解医用高等数学三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则定理定理2-1即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数即：反函数的导数等于直接函数

3、导数的倒数.医用高等数学于是有于是有证明证明即即医用高等数学例例2-10解解即即特别地特别地,当当 时时,医用高等数学解解同理可得同理可得例例2-11即即医用高等数学四、复合函数的导数四、复合函数的导数定理定理2-2 即即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导求导，乘以中间变量对自变量求导.(.(锁链法则锁链法则)或或证明证明则有则有医用高等数学推广推广则复合函数则复合函数 的导数为的导数为或或医用高等数学解解解解例例2-12 已知函数已知函数 ,求求例例2-13 已知函数已知函数 ,求求医用高等数学例例2-14 已知函

4、数已知函数 ,求求 比较熟练后比较熟练后,中间变量不必写出来中间变量不必写出来,直接按锁链法则对直接按锁链法则对复合函数求导复合函数求导.解解医用高等数学 例例2-15 证明幂函数的求导公式证明幂函数的求导公式 对任意实对任意实数指数数指数 成立成立.证明证明 将将 化为化为 ,则则例如例如,医用高等数学例例2-16 已知函数已知函数 ,求求解解 为幂指函数为幂指函数,将其将其化为化为 ,则则例例2-17 已知函数已知函数 ,求求解解医用高等数学解解 由上可知由上可知 ,这表明碘的减少速率与它当时所这表明碘的减少速率与它当时所存在的量成正比存在的量成正比.例例2-18 放射性同位素碘放射性同位

5、素碘 广泛用来研究甲状腺的功广泛用来研究甲状腺的功能能.现将含量为现将含量为 的碘的碘 通过静脉推入病人的血液中通过静脉推入病人的血液中,血液血液中中 时刻碘的含量为时刻碘的含量为 (其中其中 为正常数为正常数),试求血试求血液中碘的减少速率液中碘的减少速率 .医用高等数学解解例例2-19医用高等数学五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则 如果联系两个变量如果联系两个变量 和和 的函数式是由方程的函数式是由方程 来确定的，这样的函数称为来确定的，这样的函数称为隐函数隐函数.隐函数的显化隐函数的显化例如例如（显化）（显化）（不能显化）（不能显化）问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数

6、不易显化或不能显化如何求导?直接从方程直接从方程 两边来求导两边来求导,称为隐函数的求称为隐函数的求导法则导法则.医用高等数学解得解得 解解 方程两边分别关于方程两边分别关于 求导求导,由复合函数求导法则由复合函数求导法则和四则运算法则有和四则运算法则有 例例2-20 已知函数已知函数 是由椭圆方程是由椭圆方程 所确定所确定的的,求求 医用高等数学 例例2-21 已知函数已知函数 是由方程是由方程 确定的确定的.求求 和和 解解 方程两边分别关于方程两边分别关于 求导求导,由复合函数求导法则由复合函数求导法则和四则运算法则有和四则运算法则有解得解得所以所以医用高等数学 例例2-22 设生物群体

7、总数的生长规律为设生物群体总数的生长规律为 其中其中 均为常数均为常数,且且 .试求生长率试求生长率解解 将将 写成如下形式写成如下形式两边对两边对 求导得求导得整理得整理得医用高等数学六、对数求导法六、对数求导法 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.适用范围适用范围:解解 两边取对数，得两边取对数，得两边对两边对 求导，得求导，得例例2-23 已知函数已知函数 ,求求医用高等数学所以所以解解 两边取对数，得两边取对数，得例例2-24 已知函数已知函数 ,求求医用高等数学1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公

8、式七、初等函数的导数七、初等函数的导数医用高等数学2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则或或3.复合函数的导数复合函数的导数设设可导，则可导，则(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)医用高等数学八、高阶导数八、高阶导数记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,医用高等数学二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.例例2-25 已知指数函数已知指数函数 (为常数为常数),求求解解例例2-26 已知已知 次多项式次多项式 求求 的各阶导数的各阶导数.解解医用高等数学例例2-27解解:医用高等数学解解:同理可得同理可得例例2-28医用高等数学主主 要要 内内 容容 1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 2.函数四则运算的求导法则函数四则运算的求导法则 3.复合函数的导数复合函数的导数 4.隐函数的导数隐函数的导数 5.对数求导方法对数求导方法 6.高阶导数高阶导数作业：作业：思考与练习思考与练习 1.2.3.4.