(完整word版)全国初中数学联赛金牌教练讲座：第二十讲飞跃-从全等到相似.pdf

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1、第1页（共 9页）兰州第十中学数学组2013 年最新八年级数学竞赛讲座第二十讲飞跃-从全等到相似全等三角形是相似三角形的相似比等于1 的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三

2、角形例题求解【例 1】如图，ABC中，ABC=60，点P是 ABC内一点，使得APB=BPC=CPA，且 PA=8，PC=6，则 PB=(全国初中数学竞赛题)思路点拨 PA、PB、PC分别是 ABP、BCP的边，从判定这两个三角形的关系入手注相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式”在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比这里蕴含的思想方法就是类比【例 2】a、b、c 分别是 ABC的三边的

3、长，且cbababa，则它的内角A、B的关系是()精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 1 页，共 9 页 -第2页（共 9页）A B2A B B=2A C BAE)(1)AEF与 EFC是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由；(2)设kBCAB，是否存在这样的k 值，使 AEF 与BFC 相似?若存在，证明你的结论并求出k 的值：若不存在，说明理由(重庆市中考题)思路点拨本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则RtAEF与 RtBFC中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出k 的值【例 5】如图，ABC和 AlBlC1均为正三角形

4、，BC和 B1C1的中点均为D求证：AA1CC1(重庆市竞赛题)精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 2 页，共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D

5、3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK

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7、0Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文

8、档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ

9、3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R

10、7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2第3页（共 9页）思路点拨作出等边三角

11、形最基本的辅助线，并延长 AAl交 CCl于 E，寻找相似三角形，证明 A=90注 比例 线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型基本证法有：(1)从相似三角形入手；(2)利用平行截割定理有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，若题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论学力训练 1 如图，由边长为1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC，在网格上，画出一个与ABC相 似 且 面 积 最 大 的

12、 A1BlC1，使 它 的 三 个 顶 点 都 落 在 小 正 方 形 的 顶 点 上，则 A1BlC1的 面 积是 (泰州市中考题)2如图，在ABC中，AB=15cm，AC=12cm，AD是BAC的外角平分线，DE AB交 AC的延长线于点C，那么 CE=cm (重庆市中考题)3如图，正方形ABCD的边长为2，AE=BE，MN=1，线段 MN 的两端点在CB、CD上滑动，当CM=时，AED与以 M、N、C为顶点的三角形相似 (桂林市中考题)4如图，在正方形ABCD 中，E 是 BC的中点，F 是 CD上一点，AE EF，有下列结论：BAE=30；CE2=ABCF；CF=31CD；ABE AE

13、F 其中正确结论的序号是 (黄冈市中考题)5如图，在ABC中，BAC=90，D是 BC中点，AEAD交 CB延长线于点E，则结论正确的是()A AEDt ACD B AEB ACD C BAE ACE D AEC DAC(江苏省竞赛题)精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 3 页，共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T

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20、HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2第4页（共 9页）6如图，梯形ABCD 中，AD BC，ABC=90，对角线ACBD于 P，若43BCAD，则ACBD的值是（）A23 B32 C 33 D 43 (2000年绍兴市中考题)7如图，将 ADE绕正方形ABCD 的顶点 A顺时针旋转90，得 ABF，连结 EF交 AB于 H，则下列结论错误的是()AAEAF B EF：AF=1:2 C AF2=FH FE DECHBFCBF(黑龙江省中考题)8如图，在等边ABC中，P 为 BC上一点，D 为 AC上

21、一点，且 APD=60，BP=1，CD 32，则 ABC的边长为()A3 B4 C5 D 6 (黑龙江省中考题)9已知：正方形的边长为1 (1)如图，可以算出一个正方形的对角线长为2，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜想出 n 个正方形并排拼成的矩形的对角线长 (2)根据图，求证：BCK BED (3)由图，在下列所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明：BEC+BDE=45；BEC+BED=45；BEC+DFE=45 精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 4 页，共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ

22、3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R

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29、CBCQSS时，求ABCBPQSS的值；(3)APQ能否与 CQB相似?若能，求出AP的长；若不能，请说明理由 (金华市中考题)11如图，设P是等边 ABC的一边 BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC于 M、N两点，求证：BP PC=BM CN (安徽省竞赛题)12已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及 CD的延长线相交于点E、F、G，若 BE=5，EF=2，则 FG的长是 (“弘晟杯”上海市竞赛题)13如图，ABCD 是正方形，E、F 是 AB、BC的中点，连结 CC交 DB、DF于 G、H，则 EG：GH：=(重庆市竞赛题)精品资料-欢迎下载-欢迎下载

30、名师归纳-第 5 页，共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 Z

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33、文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:C

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35、R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 H

36、Y9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2第6页（共 9页）14如图，在梯形ABCD 中，AB CD，ABCD，一直线交BA延长线于 E，交 DC延长线于 J，交 AD于 F

37、，BD于 G，AC于 H，BC于 I，已知 EF=FG=GH=HI=IJ，则ABDC (“祖冲之杯”邀请赛试题)15已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为41，那么两底的比为()A21 B41 C 81 D 161 (江苏省竞赛题)16如图，若PA=PB，APB=2 ACB，AC与 PB交于点 D，且 PB=4，PD=3，则 ADDC等于()A6 B 7 C 12 D16 (TI杯全国初中数学竞赛试题)17如图，在ABC中，D是边 AC上一点，下面4 种情况中，ABD ACB不一定成立的情况是()AADBC=AB BD B AB2=AD AC CABD=ACB DAB BC

38、=AC BD(全国初中数学联赛题)18如图，正方形ABCD 中，M为 AD中点，以M为顶点作 BMN=MBC，MN 交 CD于 N，求证：DN=2NC 19如图，梯形ABCD 中，AB CD，AB CD，K、M分别是 AD、BC上的点，已知 DAM=CBK，求证：DMA=CKB (“祖冲之杯”邀请赛试题)20如图，ABC中，ACB=2 ABC，求证：AB2=AC2+AC BC 21如图，AB是等腰直角三角形的斜边，若点M在边 AC上，点 N在边 BC上，沿直线MN将 MCN 翻折，精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 6 页，共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9

39、D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 Z

40、K10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q

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44、R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 H

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46、武区中考题)22如图，若W UEFVWCDUVAB，求证：ZXFAYZDEXYBC(武汉市选拔赛试题)精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 7 页，共 9 页 -文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:C

47、J3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3

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50、D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 ZK10U5Q10Q4V2文档编码:CJ3J5H3R7G8 HY9B8T9D3A1 Z