(完整word版)高中数学压轴题系列——导数专题——双变量问题(2).pdf

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1、高中数学压轴题系列导数专题双变量问题（2）1.（2010?辽宁）已知函数 f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）设 a1如果对任意 x1，x2（0，+），|f（x1）f（x2）|4|x1x2|，求 a 的取值范围解：（）f（x）的定义域为（0，+）.当 a0 时，f（x）0，故 f（x）在（0，+）单调递增；当 a1 时，f（x）0，故 f（x）在（0，+）单调递减；当1a0 时，令 f（x）=0，解得则当时，f（x）0；时，f（x）0故 f（x）在单调递增，在单调递减（）不妨假设 x1x2，而 a1，由（）知在（0，+）单调递减，从而?x1，x2（0，

2、+），|f（x1）f（x2）|4|x1x2|等价于?x1，x2（0，+），f（x2）+4x2f（x1）+4x1令 g（x）=f（x）+4x，则等价于 g（x）在（0，+）单调递减，即从而故 a的取值范围为（，2 （12 分）2（2018?呼和浩特一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=bx（b 为常数）（）当 b=4 时，讨论函数 h（x）=f（x）+g（x）的单调性；（）b2 时，如果对于?x1，x2（1，2，且 x1x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求实数 b 的取值范围解：（1）h（x）=lnx+x2bx 的定义域为（0，+），当 b=4时，h（x）=lnx

3、+x24x，h（x）=+x4=，令 h（x）=0，解得 x1=2，x2=2+，当 x（2，2+）时，h（x）0，当 x（0，2），或（2+，+）时，h（x）0，所以，h（x）在（0，2），或（2+，+）单调递增；在（2，2+）单调递减；（）因为 f（x）=lnx 在区间（1，2 上单调递增，当 b2 时，g（x）=x2bx 在区间（1，2 上单调递减，不妨设 x1x2，则|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|等价化为 f（x1）+g（x1）f（x2）+g（x2），令 （x）=f（x）+g（x），则问题等价于函数（x）在区间（1，2 上单调递减，即等价于（x）=+xb0 在区间（1，2

4、上恒成立，所以得b+x，因为 y=+x 在（1，2 上单调递增，所以ymax=+2=所以得 b3（2018?乐山二模）已知 f（x）=（1）求 f（x）的单调区间；（2）令 g（x）=ax22lnx，则 g（x）=1 时有两个不同的根，求a 的取值范围；（3）存在 x1，x2（1，+）且 x1x2，使|f（x1）f（x2）|k|lnx1lnx2|成立，求 k 的取值范围解：（1）f（x）=，f（x）=，故 x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，故 f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；（2）g（x）=ax22lnx=1，a=f（x），作函数 f（x）的图象如

5、下，f（1）=1，结合图象可知，a 的取值范围为（0，1）；（3）不妨设 x1x21，f（x）在（1，+）上单调递减，y=lnx 在（1，+）上单调递增；|f（x1）f（x2）|k|lnx1lnx2|可化为 f（x2）f（x1）k（lnx1lnx2），f（x2）+klnx2f（x1）+klnx1，即函数 h（x）=f（x）+klnx 在（1，+）上存在单调减区间，即 h（x）=f（x）+=+=0 在（1，+）上有解，即 m（x）=kx24lnx0 在（1，+）上有解，即k在（1，+）上有解，（）=，当 x=时，=0；故（）max=；k4（2018?衡阳三模）已知函数f（x）=lnxax2+x（

6、aR），函数 g（x）=2x+3（）判断函数 F（x）=f（x）+ag（x）的单调性；（）若 2a1 时，对任意x1，x2 1，2，不等式|f（x1）f（x2）|t|g（x1）g（x2）|文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I1

7、0Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档

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13、E5J3I10Y10恒成立，求实数t 的最小值解：（I），其定义域为为（0，+），=（1）当 a0 时，F（x）0，函数 y=F（x）在（0，+）上单调递增；（2）当 a0 时，令 F（x）0，解得；令 F（x）0，解得故函数 y=F（x）在上单调递增，在上单调递减（II）由题意知 t0.，当2a1 时，函数 y=f（x）单调递增，不妨设1x1x22，又函数 y=g（x）单调递减，所以原问题等价于：当2a1 时，对任意 1x1x22，不等式 f（x2）f（x1）t g（x1）g（x2）恒成立，即 f（x2）+tg（x2）f（x1）+tg（x1）对任意 2a1，1x1x22 恒成立记 h（x）=

14、f（x）+tg（x）=lnx+（12t）x+3t，则 h（x）在 1，2 上单调递减 得对任意 a 2，1，x 1，2 恒成立令，a 2，1，则2t0 在 x（0，+）上恒成立则 2t1（2x+）max，而 y=2x+在 1，2 上单调递增，所以函数 y=2x+在 1，2 上的最大值为由 2t1，解得 t故实数 t 的最小值为5（2018?河南模拟）已知函数（1）若 m0，曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线在两坐标轴上的截距之和为2，求 m 的值；（2）若对于任意的及任意的 x1，x2 2，e，x1x2，总有成立，求 t 的取值范围解：（1）因为，所以，f（1）=m1又因为切点坐标为

15、，所以切线方程为令 x=0，得；令 y=0，得由，化简得 2m2+m6=0，解得 m=2 或，又 m0，所以 m=2（2）不妨设 x1x2，由（1）知，文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9

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22、，f（x）为增函数，从而f（x1）f（x2）所以等价于，即，所以设，则 g（x1）g（x2），所以 g（x）在 2，e 上为单调递增函数，因此 g（x）0，对于恒成立，所以，即对于 x 2，e 恒成立设 h（x）=x32x2，则=，所以 h（x）在 2，e 上单调递增，h（x）min=h（2）=1，因此，t1，即 t（，1 文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V4I9U9 HP5J5I2P6Q1 ZH1E5J3I10Y10文档编码:CX1L4V

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