D55有理函数的积分(备用).ppt

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1、二、二、三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三、三、简单无理函数的积分简单无理函数的积分一、一、有理函数的积分有理函数的积分第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理函数的积分 第五章 有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称为两个多项式的商表示的函数称为有理函数有理函数。一、有理函数的积分一、有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 假设分子与分母之间没有公因式假设分子与分母之间没有公因式称有理函数是称有理函数是真分式真分式；称有理函数是称有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和

2、一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.机动 目录 上页 下页 返回 结束（1 1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为机动 目录 上页 下页 返回 结束（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为机动 目录 上页 下页 返回 结束 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法:例例1 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入特殊值来确定系数

3、代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3整理得整理得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 求积分求积分 解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 求积分求积分 解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6 求积分求积分解解令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则记记机动 目录 上页 下页

4、返回 结束 这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令（万能置换公式）（万能置换公式）机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）机动 目录 上页 下页 返回 结束 解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法,故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12 12 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 9 求积分求积分解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例10 10 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 11 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.机动 目录 上页 下页 返回 结束