高二物理竞赛机械振动和机械波课件.ppt

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1、第九章第九章 机械振动和机械波机械振动和机械波机械振动：机械振动：物体在某一位置附近所作的周期性往复运动。物体在某一位置附近所作的周期性往复运动。波动：波动：振动状态在空间或媒质中的传播过程。简称为波。振动状态在空间或媒质中的传播过程。简称为波。机械振动在弹性媒质中的传播称为机械振动在弹性媒质中的传播称为弹性波弹性波。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。振动振动: 描述物体状态的物理量在某一数值附近所作的周期描述物体状态的物理量在某一数值附近所作的周期性变化。性变化。 简谐振动简谐振动是最简单、最基本的振动，是研究各种复杂是最简单、最基本的振动，

2、是研究各种复杂振动的基础。振动的基础。 振动是波动产生的根源，波动是振动传播的过程。振动是波动产生的根源，波动是振动传播的过程。9.1.1简谐振动的特征和运动方程简谐振动的特征和运动方程:(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)1、受力特征：、受力特征： 物体在线性回复力作用下物体在线性回复力作用下 围绕平衡位置的周期运动围绕平衡位置的周期运动叫叫简谐振动。简谐振动。2、平衡位置平衡位置是物体是物体受力为零受力为零的位置。的位置。1、位移是相对平衡位置的。、位移是相对平衡位置的。平衡位置平衡位置Fxkxpmmo9.1简谐振动简谐振动kxf 说明说明 作用于质点的力总与质点相对平衡位置的位移成正

3、比、作用于质点的力总与质点相对平衡位置的位移成正比、且指向平衡位置，此作用力称为且指向平衡位置，此作用力称为线性回复力。线性回复力。2、动力学方程特征：、动力学方程特征：在水平方向上在水平方向上：xkf 由牛顿第二定律，有：由牛顿第二定律，有：22ddtxmxk 则有：则有：u 仅由系统本身决定，与振动情况无关。仅由系统本身决定，与振动情况无关。加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。fgmNxkxmo令：令：2mk 0dd222 xtx 注意注意xmka 简谐振动的动简谐振动的动力学微分方程力学微分方程 u若某系统的运动规律满足上述微分

4、方程，若某系统的运动规律满足上述微分方程，且且 由系由系统性质决定，统性质决定，则该系统做简谐振动。则该系统做简谐振动。 u较为广泛，不仅适用于机械振动。较为广泛，不仅适用于机械振动。3、运动学方程（振动表达式、运动学方程（振动表达式）由：由：0dd222 xtx 可解得：可解得：或：或：sin()xAt简谐振动是围绕平衡位置的简谐振动是围绕平衡位置的周期运动周期运动。A 振幅振幅（ 离开平衡位置的最大距离）离开平衡位置的最大距离） 角频率角频率（2秒内振动次数或单位时间相位改变）秒内振动次数或单位时间相位改变）cos()xAt 相位相位（ 描述运动状态的量描述运动状态的量 ） t)cos(

5、tAxAxOt 初相位初相位 利用上述判据判断是否做简谐振动的步骤：利用上述判据判断是否做简谐振动的步骤：(1)确定研究对象，分析受力。确定研究对象，分析受力。(2)找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回复找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回复 力矩）的表达式。力矩）的表达式。(3)写出动力学方程（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。写出动力学方程（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。4、简谐振动的判椐、简谐振动的判椐 如果质点所受的力如果质点所受的力可以可以表示为表示为Fkx 或质点的位移与时间的关系可以表示为或质点的位移与时间的关系可以表示为,xtx0dd22

6、2 )cos( tAx或或则质点做则质点做简简谐振动。谐振动。5、简谐振动的速度和加速度、简谐振动的速度和加速度由：由：)cos( tAx 1) v、a 与与 x 的的 相同。相同。2)Aa,Avmaxmax2 4) 三者相位依次差三者相位依次差/ 2 。)sin(dd tAtxv)cos(dd2 tAtva)2cos(/tAv )cos(2 tAa3) a 与与 x 方向相反，且成正比。方向相反，且成正比。xa2 说明说明对时间对时间 t 求一阶和二阶导数，得求一阶和二阶导数，得9.1.2 描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量 (1) 振幅振幅A(2) 角频率角频率 )cos( tAx)

7、cos( tAxTxAto描述物体振动强弱的物理量描述物体振动强弱的物理量 描述振动状态恢复的快慢。描述振动状态恢复的快慢。周期周期 T : 振动物体作一次完全振动（即一次往复运动）所经振动物体作一次完全振动（即一次往复运动）所经历的时间。单位：秒（历的时间。单位：秒（s） cos()cos ()AtAtT 2 T2T 频率频率：周期的倒数，即单位时间内物体振动的次数。：周期的倒数，即单位时间内物体振动的次数。 单位：赫兹（单位：赫兹（Hz） 21 T22T 则则称为角频率或圆频率，单位为称为角频率或圆频率，单位为 rad s1 对于弹簧振子，对于弹簧振子，kmT 22 mkT 211 mk

8、固有周期固有周期固有频率固有频率(3) 初相位、相位和相位差初相位、相位和相位差 t =0时的相位，时的相位，反映初始时刻振动物体的反映初始时刻振动物体的 运动状态。运动状态。 初相位初相位 描述物体振动状态的物理量描述物体振动状态的物理量 t 相位相位相位差：相位差： )cos(1111 tAx)cos(2222 tAx)()(1122 tt征量。征量。描述简谐振动的三个特描述简谐振动的三个特 ,A)cos( tAx同相同相 两振动步调相反。两振动步调相反。 同相和反相同相和反相2 (0 1 2.)kk 、 、两振动步调相同。两振动步调相同。(21) (0 1 2.)kk. 、 、反相反相

9、)(12 txoA1A2x1x2同相同相x2xox1t反相反相A1A2两个同频率的简谐振动：两个同频率的简谐振动： 超前和滞后超前和滞后超超前前。比比振振动动振振动动时时当当120, x2 比比 x1 较早达到正最大。较早达到正最大。超前超前比振动比振动振动振动121A2x1xtox2A落落后后。比比振振动动振振动动时时当当120, x1 比比 x2 较早达到正最大。较早达到正最大。1x1A2xtox2A落后落后比振动比振动振动振动12(4) 振幅和初相位的确定振幅和初相位的确定由：由：)cos( tAxsin()vAt 初始条件：初始条件：000vv,xxt 时时，)1cos0 Ax sin

10、0Av 写为：写为：）2sin0 Av 22020 vxA 00arctan()vx 联立联立1)和和2)式，得：式，得：b）仅由）仅由 中之一不能决定中之一不能决定 ，需由，需由 其中两个方程可求出。其中两个方程可求出。 cossintg, a） 尚需满足尚需满足1）和）和 2）所决定的状态。）所决定的状态。 注意注意例题例题1、单摆：质量单摆：质量m，摆长，摆长l，试分析单摆的运动规律，试分析单摆的运动规律。gmtF T解：解：单摆受力如图所示。单摆受力如图所示。取逆时针方向为角位取逆时针方向为角位移移的正方向，则重力沿摆球运动轨迹的切向的正方向，则重力沿摆球运动轨迹的切向分量为：分量为：

11、 sintm Fg负号表明力的方向与角位负号表明力的方向与角位移的方向相反。移的方向相反。 0dd22 lgt sindd22gtl 若若 很小，则有：很小，则有： sin即：即：摆球的切向运动方程为：摆球的切向运动方程为： sinmgmaFtt 22ddddtlltvat 因此，单摆在小角度下因此，单摆在小角度下的摆动是简谐振动。的摆动是简谐振动。 其中：其中：lg 0dd222 t22lTg 单摆的周期：单摆的周期： 例题例题2、 一长为一长为 l 的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，做的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，做成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？成一复摆。此摆作微小摆动的周

12、期为多少？ 解解：均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：取逆时针为正方向。取逆时针为正方向。sin2lMmg Jmgl sin2很小，则：很小，则：02dd31222 lgtl即：即：023dd22 lgtlg232 glT3222 由转动定律：由转动定律：22ddtJ 222dd31tml Ogml所以是简谐振动，其周期为：所以是简谐振动，其周期为：例题例题3、 一质点作简谐振动，其振动一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。求此简谐振动的表曲线如图所示。求此简谐振动的表达式。达式。x/m0.040.04 O/st0.5解：解：质点作简谐振动，其振动方程及质点作简

13、谐振动，其振动方程及速度表达式分别为速度表达式分别为 cos()xAt sin()vAt 由振动曲线可知由振动曲线可知 m0.04 A ss2 0.51 T 1rad s22 T 0t 00 x ，00v 时，时，由图可知，由图可知，即即0cos0 xA 0sin0vA 可以确定可以确定2 则该简谐振动的表达式为则该简谐振动的表达式为 m0.04cos(2) ()2xt 作业作业 P275：9-5，9-6，9-10u简谐振动的研究方法：简谐振动的研究方法：1、解析法：、解析法：已知表达式已知表达式 A、 、 2、曲线法：、曲线法：已知曲线已知曲线 A、 、 3、旋转矢量法：、旋转矢量法：已知已

14、知 A、 、 曲线曲线已知已知A、 、 表达式表达式TAxoA tAAx0 t toxtt )( tcosAx)( tcosAx9.1.3 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 振幅振幅A 作坐标轴作坐标轴 O x , 自自O 点作一矢量点作一矢量 OM ，用，用 表示表示 。AAA t 时刻时刻 与与x 轴的夹角轴的夹角 相位相位 t + A以恒定角速度以恒定角速度 绕绕O 点作逆时针转动点作逆时针转动 角频率角频率A 在在t = 0 时与时与x 轴的夹角轴的夹角 初相初相 A矢量矢量 的端点的端点M 在在x 轴上的投影点轴上的投影点P 的坐标为：的坐标为：A)cos( tAxp

15、AxoM 0 t tAP点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。旋转矢量在旋转矢量在 x 轴上的投影坐标轴上的投影坐标 作作 简谐振动。简谐振动。相位角相位角确定了确定了P点振动的运动状态。点振动的运动状态。简谐振动旋转矢量表示法的应用简谐振动旋转矢量表示法的应用应用应用: 可以方便地确定初相位可以方便地确定初相位和相位和相位0000 xv0000 xv0000 xv0000 xvxAAptxoM0t)cos()( tAtx v0 0 时，时， 在在3，4象限。象限。 v0 0 时，时， 在在1，4象限。象限。 x0 0 时，在时，在

16、2，3象限。象限。AA例题例题4、一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅 A = 0.12 m，周期，周期T = 2 s，当，当 t = 0 时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06m ，此时向此时向x 轴正向运动。求：轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。此振动的表达式。 (2)从初始从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间。时刻开始第一次通过平衡位置的时间。 利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位置，从而得到：的初始位置，从而得到：3 O20Ax 0vx)cos( tAx 解解 (

17、1)取平衡位置为坐标原点。取平衡位置为坐标原点。设振动方程为：设振动方程为： T20.12cos()3xt 由旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原点，由旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原点，旋转矢量转过的角度为：旋转矢量转过的角度为： A /t65 s830 . 2 t65 23 (2)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间。从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间。 例题例题5 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。示，试写出其运动方程。解解 设该简谐振动的运动方程为设该简谐振动的运动方程为)( tcos

18、Ax由图可知，由图可知，A = 2 cm ，当，当t = 0 时时120 cosx32/ 由由矢矢量量图图可可得得： t = 1s 时位移达到正的最大值时位移达到正的最大值,画出矢量图：知：画出矢量图：知： 34341 tst0121 2 )(st)(cmxs1A Ax 32342tcosxA Ax00 v9.1.4 简谐振动的能量简谐振动的能量 )(sin21212222 tmAmvEk2、简谐振动的势能简谐振动的势能 )(cos2121222 tkAkxEp)(sin2122 tkA1、简谐振动的动能简谐振动的动能)sin( tAv3、简谐振动的总能量、简谐振动的总能量221kAEEEpk

19、 kpEEE tOT2T4T34TEkEpE(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)振动能量曲线如右图振动能量曲线如右图) 0( Ep与与 Ek 振幅相同，振幅相同，变化规律相同，变化规律相同，周期相同，相位相反。周期相同，相位相反。系统总能量守恒，系统总能量守恒，与振幅的平方成正比，与振幅的平方成正比，动能与势能相互转动能与势能相互转换，系统与外界无能量交换（换，系统与外界无能量交换（无阻尼自由振动系统无阻尼自由振动系统）EA2，这是一切振动形式的共同性质。，这是一切振动形式的共同性质。说明说明将将222111222EmvkxkA 对时间求一阶导数，得对时间求一阶导数，得dd2211()022mvk

20、xt dddd 0mvkxtt vxdd vt x2dd2 0 xkxtm得得到到221sin ()2kEkAt 221cos ()2pEkAt 212EkA 能量观点分析能量观点分析9.2.1同方向同频率两个谐振动的合成同方向同频率两个谐振动的合成 （重点）（重点）)(222 tcosAx)(111 tcosAx)(21 tcosAxxx合振动的运动方程：合振动的运动方程：22112211 cosAcosAsinAsinAtg v 合成结果仍为简谐运动合成结果仍为简谐运动v 合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。9.2 简谐振动的合成简谐振动的合成)

21、(212212221 cosAAAAA2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA)cos(12212221AA2AAA 22112211AAAAarctg coscossinsin 旋转矢量法旋转矢量法讨论：讨论：(1) (2)同相，同相， 合振幅最大合振幅最大反相，反相， 合振幅最小合振幅最小当当A1 = A2 时，质点静止。时，质点静止。A 1A 2A 1212AAAA 时时，当当221212212cos()AAAA AA 1A 2A (3) 一般情况（相位差任意）一般情况（相位差任意）1212()AAAAA相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用相位差在同频率简谐

22、振动合成中起决定性作用 k 12A 1A 2A ,kk2 1 0212 ,kk2 1 0) 12(12 21AAA 12AAA 例例1 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为cm)cos( t24x1cm)/cos(2t23x2 求求: 1) 它们的合振动方程它们的合振动方程 2) 另有一同方向的简谐振动另有一同方向的简谐振动cm)cos(33t22x 当当 3 为何值时为何值时, x1 + x3 的振动为最大值？当的振动为最大值？当 3 为何值时为何值时, x1 + x3 的振动为最小值？的振动为最小值？解：解：1) 两个振动方向相同两个

23、振动方向相同, 频率相同的简谐振动合成后还是频率相同的简谐振动合成后还是 简谐振动简谐振动, 合振动方程为合振动方程为)cos(0t2Ax )cm(5AAA2221 43tan0 540 1AAx2Ao0 旋转矢量法旋转矢量法所求的振动方程为所求的振动方程为:)cm()/cos(54t25x 相位相同相位相同时时当当,),(210kk213 ，振幅最大，振幅最大即即),(210kk23 相位相反相位相反时时当当,),()(210k1k213 ，振幅最小，振幅最小即即),(210kk23 cm)cos(33t22x cm)cos( t24x1 2) 另有一同方向的简谐振动另有一同方向的简谐振动

24、当当 3 为何值时为何值时, x1 + x3 的振动为最大值？当的振动为最大值？当 3 为何值时为何值时, x1 + x3 的振动为最小值？的振动为最小值？cm)cos(33t22x 9.2.2 同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 v 两振动的相位差随时间变化。两振动的相位差随时间变化。 v一般情况下，合振动不再是简谐振动。一般情况下，合振动不再是简谐振动。合振动的运动方程为：合振动的运动方程为：212102cos 2)cos(2)22Att（)()()()(12121122 ttt1111cos()xAt 2222cos()xAt 21210()()2cos

25、cos22ttA 101cos()xAt 22cos()xAt 0102cos()cos()xAtAt 设两振动的振幅相同，都为设两振动的振幅相同，都为A0，初相相同为，初相相同为 。 两频率都较大，两频率都较大， 而频率差很小的情况。而频率差很小的情况。合振幅出现时大时小的现象合振幅出现时大时小的现象 拍现象拍现象:x1x2ttxt当当 都很大，且都很大，且相差甚微相差甚微时，可将时，可将 视为振幅变化部分，合成振动是以视为振幅变化部分，合成振动是以 为角频率的为角频率的周期振动。周期振动。12与与2102cos(2)2At 2122 212102cos 2)cos(2)22Att（x单位时

26、间内振动加强或减弱的次数叫单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频。拍频。拍现象的应用：拍现象的应用：v 用音叉振动校准乐器用音叉振动校准乐器v 测定超声波测定超声波v 测定无线电频率测定无线电频率v 调制高频振荡的振幅和频率等调制高频振荡的振幅和频率等21 拍拍)(txt9.2.3 同频率相互垂直的两个简谐振动的合成同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 )cos(22 tAy消去参数消去参数 t ，得轨迹方程。，得轨迹方程。)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx)cos(11 tAx椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差。椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差。运动

27、方程：运动方程：)cos(12221 tAAr轨迹：轨迹：xAAy12 012 1、两个分振动同相。两个分振动同相。合运动是简谐振动，角频率与初相不变。合运动是简谐振动，角频率与初相不变。0 运动方程：运动方程：)cos(12221 tAAs合运动是简谐振动，角频率与初相不变。合运动是简谐振动，角频率与初相不变。轨迹：轨迹：xAAy12 122、 两个分振动反相两个分振动反相1222212 AyAx轨迹：轨迹： y 比比x 相位超前相位超前 / 2， 椭圆轨道运动的方向是顺时椭圆轨道运动的方向是顺时针，针， 即右旋的。即右旋的。3、 212/ )2cos(12/tAy )cos(11 tAx

28、2 1222212 AyAx轨迹：轨迹： y 比比x 相位滞后相位滞后 / 2，椭圆轨道运动的方向是逆时针，椭圆轨道运动的方向是逆时针，即左旋的。即左旋的。4、2312/ )2cos(12/tAy )cos(11 tAx9.2.4 不同频率相互垂直的两个简谐振动的合成不同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 )cos(222 tAy)cos(111 tAx23 （1 1）若两分振动的频率差异很小，可近似看成同频率的合）若两分振动的频率差异很小，可近似看成同频率的合成，不过相位差不是定值而是在缓慢地变化，故合振动是不成，不过相位差不是定值而是在缓慢地变化，故合振动是不稳定的，由稳定的，由 直线直线

29、椭圆椭圆 直线，重复进行。直线，重复进行。xA1yo- A1A2-A23:2: yxTTA2xA1yo-A2- A12:1: yxTTA1yoA2x-A2- A14:3: yxTT（2 2）若两分振动的频率差别较大，但有简单的整数比，则）若两分振动的频率差别较大，但有简单的整数比，则合振动的轨迹是合振动的轨迹是稳定的封闭曲线（李萨如图形）稳定的封闭曲线（李萨如图形）。例：例：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一

30、个未知的频率。如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。9.3 阻尼振动、受迫振动和共振阻尼振动、受迫振动和共振 9.3.1 阻尼振动阻尼振动1、阻尼的分类、阻尼的分类a、摩擦阻尼：机械能转化为热能。、摩擦阻尼：机械能转化为热能。b、辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）。、辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、乐器等）。ddRxfvt 实验表明当速度不太大时：实验表明当速度不太大时： 为为阻尼系数阻尼系数 。动力学方程：动力学方程：振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。2、阻尼振动的动力学方程：、阻尼振动的动力学方程：粘滞阻力：粘滞阻力：m2 mk 2

31、0 令令txkxtxmdddd22 FxmopmxkRf mk 0 由系统本身的性质决定。由系统本身的性质决定。 固有角频率固有角频率由阻尼系数决定。由阻尼系数决定。m2 阻尼因子阻尼因子(1) 时，阻尼较小时，阻尼较小（欠阻尼）（欠阻尼），此方程的解：，此方程的解：0 00( )cos()tx tA et 220 式中：式中：3、 阻尼振动的动力学方程的解：阻尼振动的动力学方程的解：欠阻尼特点：欠阻尼特点：v 振幅随时间振幅随时间 t 作指数衰减。作指数衰减。v 近似为简谐振动。近似为简谐振动。v 阻尼振动周期比系统的固有周期长。阻尼振动周期比系统的固有周期长。0dd2dd2022 xtxt

32、x )cos(0 teAtteA 0 xo02200222TT 临界阻尼：物体不能往复运动的临界情况。临界阻尼：物体不能往复运动的临界情况。 从周期运动变为非周期振动从周期运动变为非周期振动 。 (3) 时，为时，为临界阻尼临界阻尼。0 应用：阻尼装置可应用于机器减振或仪器指针调节。应用：阻尼装置可应用于机器减振或仪器指针调节。0 (2) 时，阻尼较大时，阻尼较大（过阻尼）过阻尼）。无振动发生、无振动发生、非周期运动非周期运动欠阻尼欠阻尼临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼tox9.3.2 受迫振动受迫振动 系统在周期性外力持续作用下所作的等幅振动。系统在周期性外力持续作用下所作的等幅振动。1、受迫振

33、动的定义、受迫振动的定义阻尼力阻尼力:弹性力弹性力:v kx 2、受迫振动的运动微分方程、受迫振动的运动微分方程策动力：策动力：tFF cos0 tFtxkxtxm cosdddd022 mFhm;mk0202 ；令令 tFvkxtxm cosdd022 thxtxtx cosdd2dd2022 mkxfFx在在阻尼较小阻尼较小的情况下，的情况下，微分方程的解为：微分方程的解为：阻尼振动，随时间的推移而消失阻尼振动，随时间的推移而消失简谐振动，稳定解。简谐振动，稳定解。 经一段时间受迫振动变为经一段时间受迫振动变为以策动力的频率为振动频率以策动力的频率为振动频率的简谐振动。的简谐振动。其振幅为

34、：其振幅为：22000( )cos()cos()tx tA etAt 22000cos()tAet )cos( tA2222204)( hA初相位：初相位：2202arctan 稳态下：稳态下：9.3.3 共振共振 当策动力的角频率为某一定值时当策动力的角频率为某一定值时, , 受迫振动的振幅达到最受迫振动的振幅达到最大值的现象称为大值的现象称为位移位移共振共振。0dd A令令2222204)( hA由由2202 hAr共振的振幅共振的振幅2202 r共振的角频率共振的角频率 位移共振时，振幅最大，位移共振时，振幅最大，故故振动系统能量最大，振动系统能量最大，系统形系统形变最大。变最大。1、位

35、移共振：、位移共振：0 较较大大 大大 较较小小 0 2、速度共振：、速度共振：)sin(dd tAtxv22222004)( hAv0dd0 v令令 当策动力的角频率为某一定值时当策动力的角频率为某一定值时, , 受迫振动的速度振幅达受迫振动的速度振幅达到最大值的现象称为到最大值的现象称为速度共振速度共振。0 共振的角频率共振的角频率位移共振位移共振与与速度共振速度共振，条件不同。，条件不同。 速度共振时，速率最大，系统速度共振时，速率最大，系统动能最大。动能最大。也称也称能量共振。能量共振。 20hv 共振的速度振幅共振的速度振幅0 较较大大 大大 较较小小 mv0 速度振幅随阻尼的减小而

36、增大速度振幅随阻尼的减小而增大, ,但共振频率皆为但共振频率皆为.03、共振的危害及应用：、共振的危害及应用：利：利：乐器利用之可提高音效、乐器利用之可提高音效、电磁共振选台电磁共振选台(收音机收音机)、 核磁共振。核磁共振。害：害：桥梁、建筑物等。桥梁、建筑物等。1940年年11月月7日塔科玛海峡日塔科玛海峡大桥的共振断塌大桥的共振断塌作业作业 P275：9-9 ， 9-11，9-129.4 机械波的产生和传播机械波的产生和传播 9.4.1 机械波的产生机械波的产生 3、横波和纵波横波和纵波(1)横波横波: :传播方向与振动方向垂直传播方向与振动方向垂直（如：绳上波）（如：绳上波） 复杂波（

37、水波、地表波），都可看作由横波与纵波的叠加。复杂波（水波、地表波），都可看作由横波与纵波的叠加。2、机械波产生的条件机械波产生的条件: : (1)要有振源要有振源( (波源波源) )； (2)要有传播振动的弹性媒质。要有传播振动的弹性媒质。1、机械波机械波: :机械振动在机械振动在弹性媒质弹性媒质中的传播。中的传播。(2)纵波纵波: :传播方向与振动方向平行传播方向与振动方向平行（如：声波）（如：声波）横波有波峰和波谷；只能在固体中传播。横波有波峰和波谷；只能在固体中传播。纵波有疏部和密部；可在固体、液体和气体中传播。纵波有疏部和密部；可在固体、液体和气体中传播。由弹性力结合的连续媒质由弹性力

38、结合的连续媒质注意：注意：波在传播中，波在传播中，质元并未质元并未“随波逐流随波逐流”， 而是而是“上游上游”质质元依次带动元依次带动“下游下游”质元振动，即质元振动，即波的传播是振动状态的传播波的传播是振动状态的传播，也是振动相位的传播；是能量的传播，没有质量的迁移。，也是振动相位的传播；是能量的传播，没有质量的迁移。 (2)波前波前: :某时刻在某时刻在最前面的波面最前面的波面(3)波射线波射线: :沿波的传播方向作的射线沿波的传播方向作的射线, ,简称波线简称波线在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直. .(1)波面波面: :t 时刻时刻相位相同的点相位

39、相同的点组成的空间曲面组成的空间曲面( (波阵面波阵面) ) 平平面面波波平平面面球球面面波波球球面面4、波的几何描述波的几何描述波面、波线、波前波面、波线、波前 波面波面波线波线波线波线波面波面可用任意一条波线上的波动情况代表整个波的传播情况。可用任意一条波线上的波动情况代表整个波的传播情况。9.4.2 描写波动的物理量描写波动的物理量 v 横波横波: 相邻的两个波峰（或波谷）之间的距离相邻的两个波峰（或波谷）之间的距离;v 纵波纵波: 相邻的两个密部（或疏部）之间的距离。相邻的两个密部（或疏部）之间的距离。xyuO 波长反映了波的波长反映了波的空间周期性空间周期性。1、波长波长:同一波线上

40、相邻的、相位差为同一波线上相邻的、相位差为2的两质元间的距离的两质元间的距离。 即一个完整波形的长度即一个完整波形的长度.（ ） 2、周期周期：波前进一个波长的距离所需要的时间：波前进一个波长的距离所需要的时间 ，或一个完，或一个完 整的波通过波线上某一点所需要的时间（整的波通过波线上某一点所需要的时间（ T ）周期反映了波的周期反映了波的时间周期性时间周期性。振源振源波波TT 3、频率频率：单位时间内波前进距离中所包含的完整波的数单位时间内波前进距离中所包含的完整波的数 目目。（。（ ） 1T 4、波速波速：在波动过程中，某一振动状态：在波动过程中，某一振动状态( (或振动相位或振动相位)

41、)在单位在单位时间内传播的距离叫做波速，也称相速。（时间内传播的距离叫做波速，也称相速。（u ）uT 液体、气体中液体、气体中( (仅有纵波仅有纵波) ) Bu B液体或气体的容变弹性模量液体或气体的容变弹性模量媒质的密度媒质的密度固体中固体中横波横波: : Gu 纵波纵波: : Yu 其中其中: :G 切变弹性模量切变弹性模量Y 杨氏弹性模量杨氏弹性模量 固体媒质的密度固体媒质的密度 柔绳和弦线中横波柔绳和弦线中横波Fu 其中其中:F 张力张力质量线密度质量线密度Tu T1 说说 明：明：3）波长由波源和媒质共同决定）波长由波源和媒质共同决定。同一频率的波其波同一频率的波其波 长将随媒质的不

42、同而不同。长将随媒质的不同而不同。,T仅由波源决定，与媒质无关。仅由波源决定，与媒质无关。1 1）2）波速的大小取决于媒质，与波源无关。波速的大小取决于媒质，与波源无关。5、波程差对应的相位差、波程差对应的相位差 波线上相距为波线上相距为 的两点间的相位差的两点间的相位差 为为 x 2x 由于波线上单位长度对应的相位差为由于波线上单位长度对应的相位差为 ，所以：，所以： 2 9.5 平面简谐波平面简谐波 在平面波的传播过程中，若波源作简谐振动，媒质中各质元在平面波的传播过程中，若波源作简谐振动，媒质中各质元均按余弦（或正弦）规律振动，则此平面波称为均按余弦（或正弦）规律振动，则此平面波称为平面

43、简谐波平面简谐波。 9.5.1 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 1、平面简谐波、平面简谐波平面简谐波是一种最简单、最基本的波动过程。平面简谐波是一种最简单、最基本的波动过程。 2、波函数、波函数 波动过程中，各质元的位移波动过程中，各质元的位移 y 随时间随时间 t 和质元所在空间位和质元所在空间位置置 x 变化的函数关系称为变化的函数关系称为波函数波函数，又称为，又称为波的表示式波的表示式。),(txyy y 表示质元离开平衡位置的位移。表示质元离开平衡位置的位移。x 表示各质元平衡位置表示各质元平衡位置(x轴上轴上)的坐标。的坐标。3、平面简谐波波函数的建立、平面简谐波波函数的建立思

44、路：波线上任意点的振动表达式即为思路：波线上任意点的振动表达式即为平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数（无吸收的均匀无限大媒质中）（无吸收的均匀无限大媒质中）uxPAyox要写出波线上任意点的振动表达式要写出波线上任意点的振动表达式关键是关键是要求出任意点的相位。要求出任意点的相位。（1）由波程差求波函数）由波程差求波函数 点点 P 的相位落后于点的相位落后于点 O 的相位，的相位，落后的相位落后的相位为：为：2x 0cos()yAt设设O点质元的振动方程为点质元的振动方程为则则P点的振动方程为：点的振动方程为：P002cos()cos()yAtAtx 由于点由于点P是任取的一点，因此是任取的

45、一点，因此波动过程中任意一点的振动位波动过程中任意一点的振动位移随时间的变化规律为移随时间的变化规律为 02cos()yAtx 此即沿此即沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数。轴正向传播的平面简谐波的波函数。 u假设波沿假设波沿x正方向传播正方向传播沿波传播方向各点的振动状态沿波传播方向各点的振动状态（相位）依次落后（相位）依次落后（2）由时间差求波函数）由时间差求波函数 点点P的振动时间落后于原点的振动时间落后于原点O。振动从点振动从点O传到点传到点P所需的时间所需的时间为为 ：uxPAyoxxtu P点在点在 t 时刻重复的是时刻重复的是O点点 t -t 时刻的振动状态：时刻的振动状态：0c

46、os( ()PyAtt 0cos ()xyAtu02cos()Atx 0cos2 ()txAT 02cos()Autx 波函数的不同形式波函数的不同形式波函数：波函数：uxx 29.5.2波函数的物理意义：波函数的物理意义： x 确定时（确定时（x = x0）为该处质点的振动方程）为该处质点的振动方程, 对应曲线为该处对应曲线为该处质点振动曲线质点振动曲线; t 确定时（确定时（t = t0）为该时刻各质点位移分布）为该时刻各质点位移分布, 对应曲线为该时对应曲线为该时刻波形图刻波形图;xxuyopt 确定时确定时x 确定时确定时tyotp)(cos),(0uxtAtxy )(cos00uxt

47、Ay )cos( tA)(cos00uxtAy 即即y=y(x),表示表示t=t0时时刻的波形图刻的波形图ux00 研究对象是所有质点！研究对象是所有质点！研究对象是单个质点！研究对象是单个质点！ t, x 都变化时都变化时, 表示所有质元的位移随时间变化的整体表示所有质元的位移随时间变化的整体情况情况 行波。行波。 波形曲线波形曲线(波形图波形图)t + t x=u txuyot tt时刻时刻x2处质点振动位移，正好与处质点振动位移，正好与t时刻时刻x1处质点振处质点振 动位移相同。动位移相同。 在在t 时间内，整个波形以速度时间内，整个波形以速度 u 向前推进了向前推进了 xut 距离。即

48、距离。即波函数描述了波形波函数描述了波形(相位相位)的传播的传播。波函数的物理意义：波函数的物理意义：描述任意一点的振动方程；任意时刻的描述任意一点的振动方程；任意时刻的 波形方程；任意时刻任意一点的位移波形方程；任意时刻任意一点的位移。)(sin0uxtAtyv u波动中质点振动的速度和加速度：波动中质点振动的速度和加速度：)(cos0222uxtAtya 对确定的媒质波速是常数，而质点对确定的媒质波速是常数，而质点振动速度振动速度, 是位置和时间的函数。是位置和时间的函数。注意区分波速与质点振动速度：注意区分波速与质点振动速度：注意区分注意区分波形图与振动曲线波形图与振动曲线xxuyoty

49、otpq 例题例题1 如图，一平面波在介质中以速度如图，一平面波在介质中以速度u = 20 m / s 沿沿x 轴负方向传播，已知轴负方向传播，已知A 点振动方程为点振动方程为: y = 3 cos 4t ( SI ) (1)以以A点为坐标原点写出点为坐标原点写出 波函数。波函数。 (2)以距以距A点点5m 处的处的B 点为坐标原点点为坐标原点 , 写出波函数。写出波函数。解解 (1) 若以若以A点为原点，则有点为原点，则有:tcosy 430 x点点t 时刻的振动时刻的振动 , 与与 A点点t + x / u 时刻的振动相同时刻的振动相同, 因而因而 x 点点 t 时刻的振动方程，即波函数为

50、时刻的振动方程，即波函数为:)(43uxtcosy )SI(xtcos)20(43 uAxpx B (2) 以以B 点为坐标原点，设点为坐标原点，设 A 点坐标为点坐标为 xA ，t 时刻时刻A点振点振动方程为动方程为tcosyA 43 P 点质元的振动，与点质元的振动，与A 点点uxxtA 时刻的振动相同。时刻的振动相同。)(43uxxtcosyA )20520(43 xtcos )()20(43SIxtcos BuAxpx波函数为波函数为: 例题例题2一平面简谐波，各质元的振幅和角频率分别为一平面简谐波，各质元的振幅和角频率分别为A 和和，波沿波沿x 轴正向传播，波速为轴正向传播，波速为u