2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题~及~答案内容-北京卷.doc

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1、|2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷3 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 共 40 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，那么集合UR|23Ax |

2、14Bx或等于（ ）ABA B|24x |4x或 C D|1 |13 2若 ， ， ，则（ ）0.5alog3b2lsin5cA B C Dcacabbca3 “函数 存在反函数 ”是“函数 在 上为增函数”的（ ）()fxR()fxRA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 1，则点 的轨迹为（ ）P1x(20)， PA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5若实数 满足 则 的最小值是（ ）xy， 0， 23xyzA0 B1 C D96已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（ na*pqN， pqqa26a10a|）

3、A B C D16530217过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于yx2(5)()xy12l， 12l，对称时，它们之间的夹角为（ ）A B C D30456098如图，动点 在正方体 的对角线 上过点 作垂直于平面P1AB1P的直线，与正方体表面相交于 设 ， ，则函数1DMN， xNy的图象大致是（ ）()yfxA BCD MNPA1 B1C1D1 yxAOyxBOyxCOyxDO2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）第卷（共 110 分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共 6 小题

4、，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上9已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 2()aii a10已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为 b1204b(2)Ab11若 展开式的各项系数之和为 32，则 ，其展开式中的常数231nx n项为 （用数字作答）12如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为()fABC， ，则 ；(04)26， ， ， ， ， 0f2BCAyx1O 3 4 5 61234| （用数字作答）0(1)(limxff13已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：2()cosfxx2， 12x， ； ； 12x211其中能使 恒成立的条件序号是 2()f

5、fx14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植k在点 处，其中 ， ，当 时，()kkPxy， 11y2k1552kkTky，表示非负实数 的整数部分，例如 ， ()Taa(.6)2T(0.)按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题共 13 分）已知函数 （ ）的最小正周期为 2 ()sin3sin2fxx0（）求 的值；（）求函数 在区间 上的取值范围()fx03，16 （本小题共 14 分）如图，在三棱锥 中， ， ， ，

6、PABC290ACBPABC（）求证： ；（）求二面角 的大小；（）求点 到平面 的距离 ACBP|17 （本小题共 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗位至ABCD， ， ，少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数，求 的分布列 18 （本小题共 13 分）已知函数 ，求导函数 ，并确定 的单调区间2()1xbf()fx()fx19 （本小题共 14 分）已知菱形 的顶点 在椭圆 上，对角线 所在直线的斜率为 1ABCD， 234xyBD（）当直线

7、 过点 时，求直线 的方程；(01)， AC（）当 时，求菱形 面积的最大值6BD20 （本小题共 13 分）对于每项均是正整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列12nAa： ， ， ， 1TA1()TA： 12nna， ， ， ，对于每项均是非负整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 各项从大到12mBb： ， ， ， 2B小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 ；()T又定义 22121()mmSBbb 设 是每项均为正整数的有穷数列，令 0A21()0)kkA， ， ，（）如果数列 为 5，3，2，写出数列 ；0 ，（）对于每项均是正整数的有穷数列 ，证明 ；1()(STA（）证明：

8、对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 ，存在正整数 ，当0K|时， kK 1()(kkSA2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1 D 2A 3B 4D 5B 6C 7C 8B二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 10 115 10 120213 14 (1)， 2)，三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15 （共 13 分）解：（） 1cos23()sin2xfxx31sin2cos2xxsin26因为函数 的最小正周期为 ，且 ，()fx0所以 ，解

9、得 21（）由（）得 1()sin26fx因为 ，03 所以 ，7266x 所以 ，1sin1 因此 ，即 的取值范围为 30i262x ()fx302，16 （共 14 分）解法一：（）取 中点 ，连结 ABDPC，ACBDP|，APBD，C，平面 ABP平面 ，（） ， ，CAB 又 ，PB又 ，即 ，且 ，90ACP平面 C取 中点 连结 E， AP是 在平面 内的射影，B是二面角 的平面角C在 中， ， ， ，CE 902B36EAB6sin3B二面角 的大小为 APC6arcsin3（）由（）知 平面 ，D平面 平面 B过 作 ，垂足为 H平面 平面 ，APP平面 C的长即为点 到平

10、面 的距离AB由（）知 ，又 ，且 ，CAC平面 P平面 ，DC在 中， ， ，Rt 12AB36PDBACBEPACBDPH|2PCD3HA点 到平面 的距离为 PB2解法二：（） ， ，AC 又 ，PB，平面 平面 ，AC（）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz则 (0)(20)()B， ， ， ， ， ， ， ，设 Pt， ，BA， 2t(0)， ，取 中点 ，连结 PEC， ，CBP， A是二面角 的平面角B， ， ，(01)E， ， (01)， ， (21)E， ，3cos6CBA二面角 的大小为 Parcos3（） ，ACB在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平

11、面 的距APB HCAPB离如（）建立空间直角坐标系 CxyzA C BPzxyHE|，2BHE点 的坐标为 23， ，2C点 到平面 的距离为 APB2317 （共 13 分）解：（）记甲、乙两人同时参加 岗位服务为事件 ，那么 ，AAE32451()0APC即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 140（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 ，那么 ，4251()0A所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 9()1PE（）随机变量 可能取的值为 1，2 事件“ ”是指有两人同时参加 岗位服务，2则 2354()CAP所以 ， 的分布列是1()1 3P418 （共 13 分）解：24(

12、1)()(1)xbxfA32()bx31()|令 ，得 ()0fx1b当 ，即 时， 的变化情况如下表：1b2()fx1b， (1)b， ()，()fx0 当 ，即 时， 的变化情况如下表：1b2x(1)， ()b， 1()b，)f0 所以，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，2b(x)， ()，在 上单调递减(1)，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上()fx1)， (1)b， (1)b，单调递减当 ，即 时， ，所以函数 在 上单调递减，在1b22()fx()fx1)，上单调递减()，19 （共 14 分）解：（）由题意得直线 的方程为 BD1yx因为四边形 为菱

13、形，所以 ACAC于是可设直线 的方程为 n由 得 234xyn， 226340x因为 在椭圆上，AC，所以 ，解得 216403n设 两点坐标分别为 ， 12()xy， ， ，则 ， ， ， 123nx2141xn2yxn|所以 12ny所以 的中点坐标为 AC34n，由四边形 为菱形可知，点 在直线 上， BD， 1yx所以 ，解得 314n2n所以直线 的方程为 ，即 ACyx20y（）因为四边形 为菱形，且 ，BD6ABC所以 所以菱形 的面积 AC23S由（）可得 ，222112316()()nxy所以 2343(6)4Snn所以当 时，菱形 的面积取得最大值 0ABCD4320 （共 13 分）（）解： ，0532： ， ，10()4TA： ， ， ，；210： ， ， ，1()3： ， ， ， ，214AT： ， ， ，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列 为 ，A12na， ， ，则 为 ， ， ， ， ，1()n1a2 n从而 112()()3()(1)nSTAaa