数值稳定性验证实验报告.docx

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1、实验课程：实验课程：数值计算方法数值计算方法专专业：业：数学与应用数学数学与应用数学班班级：级：0807014108070141学学号：号：3737姓姓名：名：汪鹏飞汪鹏飞中北大学理学院实验实验 1 1 赛德尔迭代法赛德尔迭代法【实验目的】熟悉用塞德尔迭代法解线性方程组【实验内容】1.了解 MATLAB 语言的用法2.用塞德尔迭代法解下列线性方程组1234123412341234541012581034xxxxxxxxxxxxxxxx【实验所使用的仪器设备与软件平台】计算机，MATLAB7.0【实验方法与步骤】1.先找出系数矩阵A，将前面没有算过的xj分别和矩阵的(,)A i j相乘,然 后

2、将 累 加 的 和 赋 值 给sum，即,jsumsumA i jx.算 出()/(,)iixbsumA i i,依次循环,算出所有的ix。2.若ix前后两次之差的绝对值小于所给的误差限，则输出ix.否则重复以上过程，直到满足误差条件为止.【实验结果】(A 是系数矩阵，b 是右边向量，x 是迭代初值，ep 是误差限)function y=seidel(A,b,x,ep)n=length(b);er=1;k=0;while er=epk=k+1;for i=1:1:nq=x(i);sum=0;for j=1:1:nif j=isum=sum+A(i,j)*x(j);endendx(i)=(b(i

3、)-sum)/A(i,i);er=abs(q-x(i);endendfprintf(迭代次数 k=%dn,k)disp(x)【结果分析与讨论】A=5-1-1-1;-1 10-1-1;-1-1 5-1;-1-1-1 10;b=-4 12 8 34;seidel(A,b,0 0 0 0,1e-3)迭代次数 k=60.998978494300021.999584568676492.999531397434353.99980944604109实验课程：实验课程：数值计算方法数值计算方法专专业：业：数学与应用数学数学与应用数学班班级：级：0807014108070141学学号：号：3737姓姓名：名：汪

4、鹏飞汪鹏飞中北大学理学院实验 2 2最小二乘法的拟合【实验目的】熟悉最小二乘法的拟合方法【实验内容】1.了解 MATLAB 语言的用法2.给出数据x-1.00-0.75-0.50-0.2500.250.500.751.00y-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836希望用一次，二次多项式利用最小二乘法拟合这些数据，试写出正规方程组，并求出最小平方逼近多项式。【实验所使用的仪器设备与软件平台】计算机，MATLAB7.0，【实验方法与步骤】1.先算出1njjiilx，再算出(1)1njjiiibxy2.在正规方程组20121111

5、231012111111201211111nnnnmiimiiiiiinnnnnmiiimiiiiiiiinnnnnmmmm mmiiimiiiiiiiia naxaxaxyaxaxaxaxx yaxaxaxaxx y中令1njjiilx，(1)1njjiiibxy3.令正规方程组的系数矩阵为 A，当jm时，将jl的值赋给(1,1)Aj，当jm 时，将jl的值赋给(1,1)A jm m，再将矩阵 A 的其他元素写出来，于是正规矩阵可写成Aab,最后用1aA b即可算出向量 a,向量 a 的元素依次是常数项,一次项的系数,二次项的系数m 次项的系数.4.由系数即可写出拟合的多项式曲线.【实验结果

6、】（x，y 为给定的对应值，m 是要求的拟合次数)function a=zxecf(x,y,m)n=length(x);A(1,1)=n;for j=1:1:2*ml(j)=0;for i=1:1:nl(j)=l(j)+x(i)j;endif jx=-1.00-0.75-0.50-0.25 0 0.25 0.50 0.75 1.00;y=-0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7061 4.2836;a1=zxecf(x,y,1)a1=2.013144444444442.25164666666667 a2=zxecf(x,y,2)

7、a2=2.000100432900432.251646666666670.03130562770563拟合的一次多项式是()2.01312.2516y xx拟合的二次多项式是2()2.00012.25160.0313y xxx优缺点优缺点:该方法可以通过改变 m 的值来将数据拟合成任意次数的多项式函数。实验课程：实验课程：数值计算方法数值计算方法专专业：业：数学与应用数学数学与应用数学班班级：级：0807014108070141学学号：号：3737姓姓名：名：汪鹏飞汪鹏飞中北大学理学院实验实验 3 3 龙贝格算法求积分龙贝格算法求积分【实验目的】熟悉龙贝格方法求积分【实验内容】1.了解 MAT

8、LAB 语言的用法2.用龙贝格方法求积分21-502(10)xIedx要求误差不超过【实验所使用的仪器设备与软件平台】计算机，MATLAB7.0【实验方法与步骤】1.计算 f a和 f b，算出1T.2.将区间,a b分半，计算2abf，算出2T和1S.3.再将子区间分半，计算4bafa，34bafa，算出4T,2S和1C.4.再将子区间分半，计算8bafa,38bafa,58bafa,78bafa，算出8T,4S,2C和1R.5.再将子区间分半,算出16T,8S,4C和2R,不断将子区间分半，重复以上过程，算出4R,8R,16R，一直到相邻两个R值之差的绝对值不超过给定的误差为止，最后一次算

9、出的 R 值即为所求。【实验结果】(a 是下限，b 是上限，eps 是误差限)定义函数function y=intf(x)y=2*(exp(-x2)/(pi0.5);主程序function J=romberg(a,b,eps)er=1;k=3;h=b-a;T(1)=h*(intf(a)+intf(b)/2;h1=h/2;T(2)=T(1)/2+h1*intf(a+h1);S(1)=4/(4-1)*T(2)-1/(4-1)*T(1);h2=h1/2;T(4)=T(2)/2+h2*(intf(a+h2)+intf(a+3*h2);S(2)=4/(4-1)*T(4)-1/(4-1)*T(2);C(1

10、)=42/(42-1)*S(2)-1/(42-1)*S(1);h3=h2/2;T(8)=T(4)/2+h3*(intf(a+h3)+intf(a+3*h3)+intf(a+5*h3)+intf(a+7*h3);S(4)=4/(4-1)*T(8)-1/(4-1)*T(4);C(2)=42/(42-1)*S(4)-1/(42-1)*S(2);R(1)=43/(43-1)*C(2)-1/(43-1)*C(1);while er=epsH=0;k=k+1;u=h/2k;x=a+u;i=0;while x romberg(0,1,1e-4)I=0.84270079实验课程：实验课程：数值计算方法数值计算

11、方法专专业：业：数学与应用数学数学与应用数学班班级：级：0807014108070141学学号：号：3737姓姓名：名：汪鹏飞汪鹏飞中北大学理学院实验实验 4 4标准四阶标准四阶 R-KR-K 方法方法【实验目的】熟悉四阶 R-K 方法【实验内容】1.了解 MATLAB 语言的用法2.取步长0.2h，用标准四阶 R-K 方法解初值问题3,011(0)1yyxxy【实验所使用的仪器设备与软件平台】计算机，MATLAB7.0【实验方法与步骤】1.先将积分区除以步长确定分点个数banh.2.利用标准四阶 R-K 公式，算出1,nnkh f xy，12,22nnkhkh fxy;23,22nnkhkh

12、 fxy，43,nnkh f xh yk.3.利用112341226nnyykkkk算出下一个节点处的y值.4.重复以上步骤，算出每个分点处y的值.5.输出每个分点处 y 的值.【实验结果】(a是下限，b 是上限，h 是步长，y0 是初值)定义函数function f=func(x,y)f=(3*y)/(1+x);主程序function q=LK(a,b,h,y0)n=(b-a)/h;fprintf(a=%6.4f,y0=%10.8fn,a,y0)for i=0:1:n-1k1=h*func(a,y0);k2=h*func(a+h/2,y0+k1/2);k3=h*func(a+h/2,y0+k2/2);k4=h*func(a+h,y0+k3);y0=y0+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);fprintf(a=%6.4f,y0=%10.8fn,a+h,y0)a=a+h;end【结果分析与讨论】LK(0,1,0.2,1)a=0.0000,y0=1.00000000a=0.2000,y0=1.72754821a=0.4000,y0=2.74295130a=0.6000,y0=4.09418136a=0.8000,y0=5.82921073a=1.0000,y0=7.99601214