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1、第七章 参数估计注意: 这是第一稿(存在一些错误) 1、 解 由,可得的矩估计量为,这时,。3、 解 由,得的矩估计量为:。建立关于的似然函数:令,得到的极大似然估计值:4、解:矩估计:,,故解得为所求矩估计。极大似然估计:,解得即为所求。5、 解 由,所以得到的矩估计量为建立关于的似然函数:令,求得到的极大似然估计值:6、解:(1),由得为的矩估计量。令得,所以的极大似然估计为。(2),令得为的矩估计量。,令得为的极大似然估计。(3) ,令得为的矩估计量。令得,为的极大似然估计。(4) ,令得为的矩估计量。,因,要使最大,则应取最大。又不能大于,故的极大似然估计为(5) ,故。,由和得为的矩
2、估计量。则令得为的极大似然估计。7、 解 (1)记,由题意有根据极大似然估计的不变性可得概率的极大似然估计为:(2) 由题意得:,于是经查表可求得的极大似然估计为8、(1),(2)则即为所求。9、 解 由题意得及所以和都是的无偏估计量又:以及有,说明更有效。10、(1)依题,与相互独立,故是的无偏估计的充要条件为(2) 记个样本的方差为,则,故,故要使为最有效估计,只须使在的条件下取最小值即可。令由得即为所求。11、 解 由题意可以求出:。建立建立关于的似然函数:,于是有:令,得到的极大似然估计值:。又:,无偏的。12、,故为的矩估计量,且为无偏估计。显然关于单调递减。故取最小值时最大。又不小
3、于,故为的极大似然估计。又,故即故为的有偏估计。13、 解 ,于是得的矩估计量为:。建立建立关于的似然函数:,若使其似然函数最大,于是可以求出的极大似然估计值:。(2)由,可计算。设,那么,当时,于是从而:因此和都是的无偏估计量。又由于,所以比更有效。14、(1),为的单调递增函数,故取最大值时取最大值。又不大于,故为的极大似然估计。因易知所以,即是的有偏估计。是的无偏估计。(2) ,则是的矩估计量且为无偏估计。(3),故比更有效。(4) 由切比雪夫不等式知,故与为的相合估计。15、解 由于 ,可求出的矩估计量为:又根据的似然函数:,令,得到的极大似然估计量:因此既是的矩估计量,也是极大似然估
4、计量。(2) ,以及。用作为的估计量,其均方误差为:于是,取时,在均方误差准则下,比更有效。16、(1),故为的矩估计量,且为无偏估计。故,故为的相合估计。(2)易知为的单调递减函数,故取最小值时,取最大值。又不小于,故为的极大似然估计。故,故为的有偏估计。所以故为的相合估计。17、 解 (1)只对X做一次观察。由题意得:X的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为:,从而的条件概率密度函数为,于是的贝叶斯估计为:(2)对X做三次观察。由题意得:的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为:,从而的条件概率密度函数为:,于是的贝叶斯估计为:18、(1)因与参数无关,故可取为关于的
5、区间估计问题的枢轴量。(2) 设常数,满足,即此时,区间的平均长度为,易知,取,时,区间的长度最短,从而的置信水平为的置信区间为。19、 解 由题意得:,由题意得:的矩估计量为:。由题意得:,设存在两个数和,使得:,即,经查表得到,于是的置信水平为80%的双侧置信区间为:(20、易知的置信水平为95%的置信区间为将,代入得的置信水平为95%的置信区间为。21、 解设, 由题意得,由给定的置信水平95%,利用Excel得到,所以的置信水平为95%的置信区间为:22、 的置信水平为99%的置信区间为将,及的值代人得的置信水平为99%的置信区间为。23、 解 由题意得,于是的置信水平为90%的置信区
6、间为:24 、已知,(1) 的置信水平为95%的置信区间为其中,查EXCEL表得的值,将各值代人得的置信水平为95%的置信区间为(2) 依题,故可认为无显著差异。25、 解 (1)设和分别是第一种和第二种机器的平均分钟,取的无偏估计为,由于两个总体的方差相等,所以有,根据已知条件知,可以求得于是,的置信水平为95%的置信区间为:(2) 从第一问的结果可以看出有显著差异。26、,(1) 的置信水平为95%的置信区间为查EXCEL表得和的值,将各值代人得的置信水平为95%的置信区间为(2) 这些资料不足于说明不同于。28易知置信水平为的置信区间为由已知资料计算得,故所求的置信区间为。27、解 (1)设和分别是郊区A和郊区B的居民收入方差,则:,根据已知条件知,于是,的置信水平为95%的置信区间为:可见两郊区居民收入的方差有显著差异,郊区B居民的贫富差距程度比郊区A居民严重。(2)设和分别是郊区A和郊区B的居民平均收入,取的无偏估计为,由于两个总体的方差相等,所以有,可以求得于是,的置信水平为95%的置信区间为:,可见,两郊区居民的平均收入方差有显著差异,郊区A居民平均收入比郊区B居民低。