正弦函数余弦函数的图象与性质.doc

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1、科目数学课题4.8正弦函数、余弦函数的图象与性质教材分析重点正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）难点1 利用正弦线画出函数y=sinx,x0,2的图象；2 利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线；3 周期函数与（最小正）周期的意义。关键点充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象性质。教学目标知识目标1 用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3 正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系；4 正弦函数和余弦函数的性质；5

2、 周期函数的定义、周期函数的周期和最小正周期的定义，正弦函数和余弦函数的周期的求法。能力目标1 了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；2 理解周期函数与（最小正）周期的意义，并通过正弦曲线、余弦曲线了解正弦函数、余弦函数的性质；3 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间0，2上的简图。情感目标使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辨证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。课时安排4课时教法多媒体教学教学设备教与学过程设计具体见下教学后

3、记教与学过程设计第一课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）（一）引入课题电脑演示一次函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数的图象，并指出研究一种函数，我们都会去研究它的性质，如：定义域、值域、奇偶性、单调性等，而研究这些性质有一个很好的工具就是函数图象。那么，三角函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性又是如何的呢？今天，我们就一起来学习这部分内容。（二）复习旧知在此之前我们先复习一些必要的知识。1电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP的长度就是这个角度的正弦值。2电脑演示作出点（），为作正弦函数图象作铺垫。（6分钟）（三）新课一、 正

4、弦函数的图象下面我们一起来画正弦函数的图象。（边操作边讲解）说明：1、这里将单位圆12等分，如果分得越细，则图象越精确，就像描点法作函数图象，点描得越多，图象越精确；2、描点；3、作图。提问：我们作出了正弦函数在区间上的图象，但正弦函数对任意角均有值，即定义域为？（实数集R）如何作在其他区间上的函数图象呢？由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间上其函数图象与在上是一样的，在上也一样，在其他区间上也是一样。每隔2正弦函数的图象就出现一次重复，如此充满整个实数轴。可以想象，正弦函数的图象是怎样的？（电脑演示完整的正弦函数图象）说明：正弦函数的图象叫做正弦曲线。二、 五点法作正弦函数图象可以看出这

5、种方法作三角函数图象是比较精确的，我们称之为：几何法。虽然几何法作图精确，但太麻烦，不容易操作。有没有简单点的方法作三角函数的图象呢？请同学们观察在0，2上正弦函数的图象，它上面哪几个点对函数图象的确定起关键作用？为什么？（基本确定图象的形状）电脑显示这五个点，以示突出所以我们只要画出这五个点，这个图形就基本确定了。因此，在精确度要求不太高时（画草图），我们一般可采用这种方法来画三角函数图象帮助我们分析。这种方法要比我们刚才的几何法简单得多，我们称之为：五点法。三、 余弦函数的图象正弦函数的图象已经得到了，那我们当然急切地知道，余弦函数的图象是怎样的？别急，我们马上来研究。我们知道，正余弦函数

6、有着十分密切的关系，正弦可以通过一些诱导公式转化为余弦，因此我们猜想它们的图象也应该有着某种联系。下面先设法找到函数y=cosx与正弦函数y=sinx之间的关系。，由此可见：函数y=cosx与函数是同一个函数，因此它们的图象应该是一样的。也就是说，余弦函数的图象可以由正弦曲线向左平移个单位得到。（电脑演示，将正弦曲线进行平移）余弦函数的图象叫做余弦曲线。同样在0，2上的余弦曲线上哪几个点起关键作用？为什么？练习：在同一直角坐标系内，用五点法分别画出函数，的简图。说明：1、学生练习，教师稍后电脑演示（注意指出哪五点）；2、提问：这两条曲线有何关系？四、 正弦函数、余弦函数的主要性质（计算机显示正

7、余弦函数的图象）请同学们观察正余弦函数的图象，讨论解决以下几个问题，稍后请两组各推选一名代表作总结。（1） 这两个函数的定义域分别是什么？（2） 它们的值域分别是什么？最大值、最小值是多少，此时自变量x等于什么？（3） 它们的奇偶性如何？为什么？（4） 它们的单调性如何？它有什么特殊的地方？为什么会有这种周期性？（图象本身或者说函数本身就存在周期性）（5） 这两个函数还有没有与其他函数不一样的性质？（提示：我们一直在强调的；或从图象上看？）教师引导出周期性（先感性认识，不深入）说明：1、学生总结后，各小组派代表阐述结论，其他同学补充；2、教师归纳；（电脑显示正弦函数的性质）（五）作业1 复习P

8、48-52；2 课件上的补充题。第二课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）（一）复习与引入上节课，我们学习了两种作正余弦函数的图象的方法，其中我们经常要用到的是五点法作图。（一图了事）教师在黑板上用五点法画出函数y=sinx，y=cosx的图象（列表、描点、连线），同时说明五个关键点的坐标。强调作正余弦函数要抓住五个关键点。（二）新课一、正余弦函数作图例1 画出下列函数的简图（1）y=1+sinx,x0,2;(2)y=-cosx,x0,2.说明：1、第（1）题由教师演示（列表，描点，作图），第（2）题由学生自行完成，教师校对；2、作正弦、余弦函数的图象必须抓住五个关键点；3、第（1）题中的函

9、数与函数y=sinx,x0,2的图象之间有何关系？（由函数y=sinx,x0,2上的每一点向上平移一个单位长度或图象向上平移一个单位长度）第（2）题中的函数与函数y=cosx,x0,2的图象之间有何关系？（关于x轴对称）4、口答：请根据函数y=sinx，y=cosx的图象，画出函数y=sinx-1，y=1-cosx的图象。5、推广并归纳：y=sinx+m，y=cosx+n可由y=sinx，y=cosx经过怎样的变换而得到？（在y轴上平行移动）若在自变量x上加上某个实数则在x轴上作平行移动，如；y=-sinx+m，y=-cosx+n呢？6、学生练习：P56练习3，学生板演，教师讲评。二、正余弦函

10、数的周期性函数y=sinx，y=cosx的周期（最小正周期）均为2，换句话说，自变量x只要并且至少要增加到x+2，正余弦函数的值才能重复取得。1、周期性是三角函数的一个特殊性质，正是由于这个特殊性质的存在，使得正弦、余弦函数的图象、性质呈现出一种不断重复的特性。正是由于周期性，对三角函数的某些性质的解释也就顺理成章了。（极值、单调性的反复出现）2、正余弦函数的周期性（突破重点与难点）正余弦函数的这种特性可由诱导公式sin(x+2k)=sinx,cos(x+2k)=cosx(kZ)来解释，正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复取得的，我们作图也是按此性质画出的。像正弦、余弦这种函数我们称为

11、周期函数。若记f（x）=sinx，上式如何表达？（f（x+2k）=f（x），其中2k就是周期）同学们能不能用一条数学式子将周期函数表达出来？教师引导：对于任一个函数f（x），若它是周期函数，周期为T。则它在定义域内的任一点x上的函数值与它在此基础上过了一个周期的函数值是相等的，即f(x)=f(x+T)。下面请同学们给出周期函数的定义：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T就叫做这个函数的周期。例如，2，4，-2，-4等都是正弦函数和余弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k(kZ

12、且k0)都是这两个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。例如正余弦函数的最小正周期就是2。今后如不加特别说明，周期即指最小正周期。周期函数的定义与奇函数、偶函数的定义有类似的地方：函数对于定义域内的每一个值，都有：f（-x）=-f（x），则为奇函数；f（-x）=f（x），则为偶函数；f（x+T）=f（x），则为周期函数。例3判断下列语句的正误，并说明理由：（1），函数y=sinx的周期为；（错，对定义域内的每一个值x都要满足f(x+T) =f(x)，只个别满足不能说T是它的周期，如）（2）任何周期函数均有最小正周期；

13、（错，反例：常数函数f(x)=c）（3）若T（T0）是函数f(x)的周期，则nT（nZ且n0）也是它的周期。（对，简证：f(x+T) =f(x)，f(x+2T) =f(x+T)+T= f(x+T) =f(x)，同样f(x+3T)= f(x+2T)+T= f(x+2T)= f(x)，以此类推f(x+nT)= f(x)，所以nT也是它的周期）例4求下列函数的周期：（1） y=3cosx，xR；（2） y=sin2x，xR；（3）处理：1、利用换元思想，令整个式子为z，当z只要并且至少要增加到z+2时，自变量x只要并且至少要增加到多少；2、最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小的

14、正数，这个最小的正数是相对x来讲的；3、由此可知，这些函数的周期只与自变量x的系数有关，一般地，对于函数与令z=，当z只要并且至少要增加到z+2，而此时z+2=（）+2=，即自变量x只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式及成立的最小正数。从而函数及的周期。根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。如，例3中（1）（2）（3）的周期分别为。学生练习：P56练习5说明：1、学生练习后校对，进一步说明三角函数的周期只与自变量x的系数有关；2、补充题：已知函数是周期为2的周期函数，且，求的值。（2n）（三）作业1 复习课本2 P57-58习题4.8第1、3题3 每课一

15、练（一）第三课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（三）（一）新课作出正余弦函数在0，2上的图象，从图中我们可以得到正弦函数、余弦函数的许多性质：1定义域：y=sinx，xR，y=cosx，xR；（板书）2值域：函数y=sinx，y=cosx的值域都是-1，1；（板书）说明：1、函数y=sinx，y=cosx何时取到最大值，最小值？（板书）2、y=3sinx，y=1-2cosx的值域呢？3、例1求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？（1）y=cosx+1，xR；（2）y=sin2x，xR；（3）y=-2sin2x+1，xR.说明：三角函数的最值与相位无关（图象说明是左右平移）

16、，与振幅、后系数有关（图象说明是伸缩与上下平移）学生练习：P56练习4（口答）3奇偶性：从图象看，正弦函数关于原点对称，故正弦函数是奇函数；余弦函数关于y轴对称，故余弦函数是偶函数。根据诱导公式sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx也可得出相同结论。学生练习：判断下列函数的奇偶性：（1）；（奇）（2）（奇）4单调性：由正余弦曲线可以看出各自的单调性。口答（判断正误）：正弦函数在第一象限是单调递增的。（反例：）说明：单调性只能在区间上说明，而不能说在某象限此函数的单调性。例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：（1）；（2）.说明：1、此题实质是根据函数的单调性比较函数值的大

17、小，也可以通过图象来判断；2、在角度（自变量）比较简单时，可以直接找单调区间；若比较复杂，则可以通过诱导公式将角度化得简单后再比较。3、进一步：比较下列各数的大小：sin2，sin3，sin4（sin2sin3sin4，图象来解）（二）解题训练1、P56-57第1、2、4、6、7、8题2、P57-58第2、3、4、6题（三）作业1、解题训练剩下的例题2、每课一练（打勾的题）第四课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（四）（一）例题解析例1求函数（xR）的值域。说明：1、教师引导解决，再给出 （xR）让学生求值域；2、归纳函数（xR）的值域为3、求函数的值域，指出求函数值域要注意定义域的限制。4、学

18、生练习：求函数的最大值、最小值；进一步，加限制条件；5、求例1中的函数的最值，取得最值时x的取值范围；再求函数（）取得最值时x的取值范围。例2求下列函数的周期（1）；（2）；（3）；（4）说明：1、求三角函数周期根据公式，对于比较复杂的函数要化简成熟悉的；2、将第（2）题进一步改写成求周期；3、第（3）题用图象来说明（x轴下方的翻到上方），进一步变为，并说明周期只跟x的系数有关；4、作为巩固。例3求函数的定义域。答案：说明：利用函数图象来解会使问题直观、明了，利用数形结合思想来解题在三角函数这一章中有广泛的应用；三角函数特有的周期性使其许多性质也出现周期性变化，这一点特别要引起同学们的注意。例4已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）确定函数f（x）的递增区间。