阶常系数齐次线性微分方程.ppt

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1、一、二阶常系数齐次线性方程一、二阶常系数齐次线性方程二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法四、小结及作业四、小结及作业1二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程一、二阶常系数齐次线性方程一、二阶常系数齐次线性方程2将它代入方程将它代入方程(2)(2)得得31.当当时时,特征方程有两个相异实根特征方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解则微分方程有两个线性无关的特解因此方程的通解为因此方程的通解为42.当当时时,特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根则微分方程

2、有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解(u(x)待定待定),代入方程代入方程特征方程特征方程:则则因为因为是特征方程的重根是特征方程的重根,故故不防取不防取 u=x,则得则得因此原方程的通解为因此原方程的通解为53.当当时时,特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个解这时原方程有两个解 为了得到实数解为了得到实数解,利用解的叠加原理利用解的叠加原理,得原方程的线得原方程的线性无关特解性无关特解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为6二、二阶常系数齐次线性方程解法：二、二阶常系数齐次线性方程解法：为常数为常数)特征方程特征方程根根实根实根 特特 征征 根根通通 解

3、解7例例1 求方程求方程的通解的通解.解解 特征方程特征方程有根有根因此原方程的通解为因此原方程的通解为例例2 求解初值问题求解初值问题解解 特征方程特征方程有重根有重根因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为8解解 特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3910三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项11注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应

4、着通解中的一项,且每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.12特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例6 613例例7 求方程求方程的通解的通解.解解 特征方程特征方程解得解得因此原方程通解为因此原方程通解为例例5 解方程解方程解解 特征方特征方程程解得解得原方程通解原方程通解(不难看出不难看出,原方程有特解原方程有特解14例例8 解方程解方程解解 特征方程特征方程即即其根为其根为方程通解为方程通解为15四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)161718思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.19思考题解答思考题解答令令则则特征根特征根通解通解20练练 习习 题题21练习题答案练习题答案22