2015年广东省高考数学试卷(理科)含解析(共19页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015广东）若集合M=x|（x+4）（x+1）=0，N=x|（x4）（x1）=0，则MN=（）A1，4B1，4C0D2（5分）（2015广东）若复数z=i（32i）（i是虚数单位），则=（）A23iB2+3iC3+2iD32i3（5分）（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ay=By=x+Cy=2x+Dy=x+ex4（5分）（2015广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，

2、5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）ABCD15（5分）（2015广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=06（5分）（2015广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A4BC6D7（5分）（2015广东）已知双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=18（5分）（2015广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取

3、值（）A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（1113题）9（5分）（2015广东）在（1）4的展开式中，x的系数为10（5分）（2015广东）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=11（5分）（2015广东）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=，sinB=，C=，则b=12（5分）（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答）13（5分）（2015广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若

4、E（X）=30，D（X）=20，则P=14（5分）（2015广东）已知直线l的极坐标方程为2sin（）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为15（2015广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=三、解答题16（12分）（2015广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值17（12分）（2015广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄12345

5、6789404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18（14分）（2015广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=

6、PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB（1）证明：PEFG；（2）求二面角PADC的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值19（14分）（2015广东）设a1，函数f（x）=（1+x2）exa（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（，+）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m120（14分）（2015广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）

7、求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由21（14分）（2015广东）数列an满足：a1+2a2+nan=4，nN+（1）求a3的值；（2）求数列an的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+）an（n2），证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn2+2lnn2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015广东）若集合M=x|（x+4）（x+1）=0

8、，N=x|（x4）（x1）=0，则MN=（）A1，4B1，4C0D考点：交集及其运算菁优网版权所有专题：集合分析：求出两个集合，然后求解交集即可解答：解：集合M=x|（x+4）（x+1）=0=1，4，N=x|（x4）（x1）=0=1，4，则MN=故选：D点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力2（5分）（2015广东）若复数z=i（32i）（i是虚数单位），则=（）A23iB2+3iC3+2iD32i考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可解答：解：复数z=i（32i）=2+3i，则=23i，故选：A点评：本题开

9、采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力3（5分）（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ay=By=x+Cy=2x+Dy=x+ex考点：函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可解答：解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是奇函数，所以C不正确；对于D，不满足f（x）=f（x）也不满足f（x）=f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确故选：D点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查4（5分）（2015广东）袋中共有15个

10、除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）ABCD1考点：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可解答：解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为

11、事件A；则A包含的基本事件个数为=50；P（A）=故选：B点评：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理5（5分）（2015广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A2x+y+5=0或2x+y5=0B2x+y+=0或2x+y=0C2xy+5=0或2xy5=0D2xy+=0或2xy=0考点：圆的切线方程菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆分析：设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程解答：解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=5，所以所求直线方程为：2xy+5=0或

12、2x+y5=0故选：A点评：本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题6（5分）（2015广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A4BC6D考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=x+，平移直线y=x+，则由图象可知当直线y=x+，经过点A时直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=31+2=，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决

13、本题的关键7（5分）（2015广东）已知双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=1考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程解答：解：双曲线C：=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，a=4，b=3，所求双曲线方程为：=1故选：C点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8（5分）（2015广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5考点

14、：棱锥的结构特征菁优网版权所有专题：创新题型；空间位置关系与距离分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理n5，不成立故选：B点评：本题考查空间几何体的特征，

15、主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（1113题）9（5分）（2015广东）在（1）4的展开式中，x的系数为6考点：二项式定理的应用菁优网版权所有专题：计算题；二项式定理分析：根据题意二项式（1）4的展开式的通项公式为Tr+1=（1）r，分析可得，r=1时，有x的项，将r=1代入可得答案解答：解：二项式（1）4的展开式的通项公式为Tr+1=（1）r，令2=1，求得r=2，二项式（1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6点评：本题主要考查二项式定理的应用

16、，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10（5分）（2015广东）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10考点：等差数列的通项公式菁优网版权所有专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值解答：解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10故答案为：10点评：本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题11（5分）（2015广东）设ABC的内角

17、A，B，C的对边分别为a，b，c若a=，sinB=，C=，则b=1考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有专题：计算题；解三角形分析：由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b解答：解：sinB=，B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为矛盾故答案为：1点评：本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12（5分）（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用菁优网版权所有专题：排列组合分析

18、：通过题意，列出排列关系式，求解即可解答：解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=4039=1560条故答案为：1560点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键13（5分）（2015广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=考点：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可解答：解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：点评：本题考查离散型随机

19、变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力14（5分）（2015广东）已知直线l的极坐标方程为2sin（）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为考点：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可解答：解：直线l的极坐标方程为2sin（）=，对应的直角坐标方程为：yx=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，2）点A到直线l的距离为：=故答案为：点评：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力15（2015广东）如图，已知AB是圆O

20、的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=8考点：相似三角形的判定菁优网版权所有专题：选作题；创新题型；推理和证明分析：连接OC，确定OPAC，OP=BC=，RtOCD中，由射影定理可得OC2=OPOD，即可得出结论解答：解：连接OC，则OCCD，AB是圆O的直径，BCAC，OPBC，OPAC，OP=BC=，RtOCD中，由射影定理可得OC2=OPOD，4=OD，OD=8故答案为：8点评：本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题16（12分）（2015广东）在平面直角坐标系xOy中

21、，已知向量=（，），=（sinx，cosx），x（0，）（1）若，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：（1）若，则=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值解答：解：（1）若，则=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）|=1，|=1，=（，）（sinx，cosx）=sinxcosx，若与的夹角为，则=|cos=，即sinxcosx=，则sin（x）=，

22、x（0，）x（，）则x=即x=+=点评：本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础17（12分）（2015广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄123456789404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本

23、的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？考点：极差、方差与标准差；分层抽样方法菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论解答：解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，所有样本数据的编号为：4n2，（n=1，2，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37（2）由平均值公式得=（44+40+36+43

24、+36+37+44+43+37）=40由方差公式得s2=（4440）2+（4040）2+（3740）2=（3）s2=s=（3，4），36名工人中年龄在s和+s之间的人数等于区间37，43的人数，即40，40，41，39，共23人36名工人中年龄在s和+s之间所占百分比为63.89%点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础18（14分）（2015广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB（1）证明：PEFG；（2）求二面角PADC的正切值；（3）求直线

25、PA与直线FG所成角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）通过POC为等腰三角形可得PECD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PGAD，则PDC为二面角PADC的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FGAC，在PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角PAC的余弦值解答：（1）证明：在POC中PO=PC且E为CD中点，PECD，又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCD=CD，P

26、E平面PCD，PE平面ABCD，又FG平面ABCD，PEFG；（2）解：由（1）知PE平面ABCD，PEAD，又CDAD且PECD=E，AD平面PDC，又PD平面PDC，ADPD，又ADCD，PDC为二面角PADC的平面角，在RtPDE中，由勾股定理可得：PE=，tanPDC=；（3）解：连结AC，则AC=3，在RtADP中，AP=5，AF=2FB，CG=2GB，FGAC，直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角PAC，在PAC中，由余弦定理得cosPAC=点评：本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题19（

27、14分）（2015广东）设a1，函数f（x）=（1+x2）exa（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（，+）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m1考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：常规题型；导数的综合应用分析：（1）利用f（x）0，求出函数单调增区间（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调；函数有零点（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂解答：解：（1）f（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）22分f（x）0，f

28、（x）=（1+x2）exa在（，+）上为增函数3分（2）证明：由（1）问可知函数在（，+）上为增函数又f（0）=1a，a11a05分f（0）0当x+时，f（x）0成立f（x）在（，+）上有且只有一个零点7分（3）证明：f（x）=ex（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f（x）=ex0（x0+1）2，y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，f（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，x0=19分将x0=1代入y=f（x）得y0=，10分令；g（m）=em（m+1）g（m）=em（m+1），则g（m）=em1，由g（m）=0得m=0当m（0，+）时，g（m）0当m（，0）时，g（m）0g（m）的

29、最小值为g（0）=012分g（m）=em（m+1）0emm+1em（m+1）2（m+1）3即：m14分点评：本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度20（14分）（2015广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y26x+5=0相交于不同的两点A，B（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）通过

30、将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论解答：解：（1）圆C1：x2+y26x+5=0，整理，得其标准方程为：（x3）2+y2=4，圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x26x+5=0，由=364（1+k2）50，可得k2由韦达定理，可得

31、x1+x2=，线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中k，线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x）2+y2=，其中x3；（3）结论：当k（，），时，直线L：y=k（x4）与曲线C只有一个交点理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2（3+8k）x+16k2=0，令=（3+8k）24（1+k2）16k2=0，解得k=，又轨迹C的端点（，）与点（4，0）决定的直线斜率为，当直线L：y=k（x4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（，），点评：本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题21（14分）（2015广东）数列an满足：a1+2a2+nan=

32、4，nN+（1）求a3的值；（2）求数列an的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+）an（n2），证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn2+2lnn考点：数列与不等式的综合；数列的求和菁优网版权所有专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列an的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列an的前 n项和Tn；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式解答：解：（1）a1+2a2+nan=4，nN+a1=43=1，1+2a2=4=2，解得a2=，a1+2a2+nan=4，nN+a1+2a2+（n1）an

33、1=4，nN+两式相减得nan=4（4）=，n2，则an=，n2，当n=1时，a1=1也满足，an=，n1，则a3=；（2）an=，n1，数列an是公比q=，则数列an的前 n项和Tn=221n（3）bn=+（1+）an，b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1+）a3，Sn=b1+b2+bn=（1+）（a1+a2+an）=（1+）Tn=（1+）（221n）2（1+），设f（x）=lnx+1，x1，则f（x）=即f（x）在（1，+）上为增函数，f（1）=0，即f（x）0，k2，且kN时，f（）=ln+10，即ln，ln，即=lnn，2（1+）2+lnn，即Sn2（1+lnn）=2+2lnn点评：本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大专心-专注-专业