《函数连续》PPT课件.ppt

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1、第第1 1章章 函数函数同学们：第第1 1章章 函数函数第第1 1章章 函数、极限与连续函数、极限与连续 1.1 1.1 函函 数数1.2 1.2 极极 限限1.3 1.3 连连 续续第第2 2章章 极限与连续极限与连续1.2.2 1.2.2 1.2.2 1.2.2 函数极限的概念函数极限的概念函数极限的概念函数极限的概念1.自变量自变量x 趋于趋于无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限2.自变量自变量x 趋于趋于某某定数定数 x0时函数的极限时函数的极限1.2.3 1.2.3 1.2.3 1.2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.2.4 1.2.4 1.2.4 1.2.4 极限的运算

2、法则极限的运算法则极限的运算法则极限的运算法则 1.2 1.2 极极 限限 1.2.5 1.2.5 1.2.5 1.2.5 两个重要极限两个重要极限两个重要极限两个重要极限第第2 2章章 极限与连续极限与连续两个重要极限两个重要极限两个重要极限的变换形式：两个重要极限的变换形式：设设 是某一过程中的无穷小，则是某一过程中的无穷小，则#第第2 2章章 极限与连续极限与连续1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 函数连续函数连续函数连续函数连续性性性性的概念的概念的概念的概念1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性1.

3、3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1.3 1.3 函数的连续性函数的连续性 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 函数的间断点函数的间断点函数的间断点函数的间断点 第第2 2章章 极限与连续极限与连续1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 函数连续函数连续函数连续函数连续性性性性的概念的概念的概念的概念第第2 2章章 极限与连续极限与连续1.1.变量的增量变量的增量变量的增量变量的增量 研究函数研究函数 y yx x2 2，当，当x从从初值初值1增加到增加到终值终值,函数值函数值

4、 y从从1增加到，我们把增加到，我们把1称称为自变量的为自变量的增量增量，把，把1称为函数称为函数 y 的的增增量量。1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 函数连续函数连续函数连续函数连续性性性性的概念的概念的概念的概念第第2 2章章 极限与连续极限与连续 一般地一般地,常用常用x0 表示自变量的初值，用表示自变量的初值，用x x表示自变量的增量表示自变量的增量表示自变量的增量表示自变量的增量，则自变量的终值可，则自变量的终值可表示为表示为x0 x，相应地，相应地用用y y表示函数值的增量表示函数值的增量表示函数值的增量表示函数值的增量，y yf f(x x0 0 x x)f f(x

5、 x0 0)则则1.变量的增量变量的增量第第2 2章章 极限与连续极限与连续 函数在函数在x0处连续的意义是指处连续的意义是指:当自变量在当自变量在x0处的增量处的增量x x为无穷小量为无穷小量为无穷小量为无穷小量时，函数的增量时，函数的增量y y也为无穷小量也为无穷小量也为无穷小量也为无穷小量。这一定义说明了连续的本质：当这一定义说明了连续的本质：当自变量变化自变量变化很微小很微小很微小很微小时，时，函数值函数值相应相应变化变化也很微小也很微小也很微小也很微小.2.函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义1-91-9第第2 2章章 极限与连续极限与连续定义定义设设f(x)在点在点 x0 的某

6、邻域内有定义的某邻域内有定义,则称则称 f(x)在点在点 x0 连续连续.2.函数连续性的定义函数连续性的定义若若第第2 2章章 极限与连续极限与连续例例例例1 1 1 1证明：证明：证明：证明：证明证明 f(x)=3x1在在 x=1连续连续.由定义知由定义知 f(x)=3x1在在 x=1连续连续.第第2 2章章 极限与连续极限与连续例例例例2 2 2 2证明：证明：证明：证明：第第2 2章章 极限与连续极限与连续单侧连续的概念单侧连续的概念设设 f(x)在点在点 x0 的左的左(右右)邻域内有定义邻域内有定义,若若则称函数则称函数 f(x)在点在点 x0 左左(右右)连续连续.函数函数 f(

7、x)在点在点 x0 连续的充要条件是连续的充要条件是 f(x)在在点点 x0 即左即左连续又右连续连续又右连续.第第2 2章章 极限与连续极限与连续例例例例3 3 3 3解：解：解：解：设设,讨论讨论 f(x)在在点点 x=0 的连续性的连续性.故故 在在 x=0 左连续左连续.又因为又因为故故在在x=0非右连续非右连续,故故在在x=0非连续非连续.第第2 2章章 极限与连续极限与连续对自变量的增量对自变量的增量相应函数的增量相应函数的增量左连续左连续右连续右连续函数函数在点在点连续有下列等价定义连续有下列等价定义:连续性等价定义连续性等价定义连续性等价定义连续性等价定义1.3.1 1.3.1

8、 1.3.1 1.3.1 函数连续函数连续函数连续函数连续性性性性的概念的概念的概念的概念第第2 2章章 极限与连续极限与连续在开区间上每一点都连续的函数在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连连连连续函数续函数续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如例如例如,连续函数连续函数第第2 2章章 极限与连续极限与连续例例例例4 4 4 4证明：证明：证明：证明：证明证明 f(x)=sin x 在定义域上连续在定义域上连续.任取任取因为因为由夹逼准则知由夹逼准则知故故

9、sin x 在在 x0 连续连续.由由 x0 的任意性知的任意性知在在上连续上连续.第第2 2章章 极限与连续极限与连续1.3.2 1.3.2 函数的间断点函数的间断点 第第2 2章章 极限与连续极限与连续1.3.2 1.3.2 函数的间断点函数的间断点 第第2 2章章 极限与连续极限与连续（1）可去间断点可去间断点若极限若极限存在存在,但不等于但不等于f(x0),则称则称x0是是f(x)的的可去间断点可去间断点.例如例如:因为因为故故 x=0 是是 f(x)的可去间断点的可去间断点.函数间断点的分类函数间断点的分类包括包括 f(x)在在x0处无定义处无定义.第第2 2章章 极限与连续极限与连

10、续（2）跳跃间断点跳跃间断点若极限若极限与与都存在但不相等，则称都存在但不相等，则称x0 是是 f(x)的的跳跃间断点跳跃间断点.称为称为 f(x)在在x0 的的跳跃度跳跃度.第第2 2章章 极限与连续极限与连续解解:跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点第一类间断点第一类间断点.例例例例5 5 5 5第第2 2章章 极限与连续极限与连续第二类间断点第二类间断点若极限若极限与与至少有一个不存在至少有一个不存在,则则称称x0是是f(x)的的第二类间断点第二类间断点.例如例如例如例如:因为因为 故故x

11、=0是是 f(x)的的第二第二类间断点类间断点.第第2 2章章 极限与连续极限与连续解解解解:例例例例6 6 6 6#第第2 2章章 极限与连续极限与连续复合函数连续性复合函数连续性若函数若函数 f(u)在在 u0 连续连续,u=g(x)在在 x0 连续连续,且且则复合函数则复合函数在在 x0 连续连续.连续函数的四则运算法则连续函数的四则运算法则设设 f(x),g(x)都在都在 x0 连续，则函数连续，则函数在在 x0 也连续也连续.基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.1.3.3 1.3.3 初等函数的连续性初等函数的连续性第第2 2章章 极限与连续极限与连续基本初

12、等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数一切初等函数一切初等函数在其在其在其在其定义区间定义区间定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的内都是连续的内都是连续的例如：例如：例如：例如：的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)1.3.3 1.3.3 初等函数的连续性初等函数的连续性定义区间是指定义区间是指定义区间是指定义区间是指包含在定义域包含在定义域包含在定义域包含在定义域内的区间内的区间内的区间内的区间第第2 2章章 极限与连续极限与连续若函数若函数 f(

13、u)在在 u0 连续连续,复合函数复合函数在在 x0 处极限存在处极限存在.且且 连续函数的极限运算连续函数的极限运算与函数运算的与函数运算的顺序可以互换顺序可以互换,或者说函数符号和极限符号可以或者说函数符号和极限符号可以互换位置互换位置。即即这是这是证明函数连续证明函数连续和和计算连续函数的极限计算连续函数的极限常用的方法。常用的方法。第第2 2章章 极限与连续极限与连续初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法代入法代入法(求极限的又一种方法求极限的又一种方法求极限的又一种方法求极限的又一种方法).可以利用初等函数的连续性求极限可以利用初等函数的连续性求极限可以利用初等函数的连

14、续性求极限可以利用初等函数的连续性求极限 由于初等函数是连续函数，所以求初等函数由于初等函数是连续函数，所以求初等函数 f(x)在定义域内的某一点在定义域内的某一点 x x0 0 处的极限，只需求出处的极限，只需求出 f(x)在在 x0 处的函数值处的函数值 f f(x x0 0)即可。即可。第第2 2章章 极限与连续极限与连续例例例例9 9 9 9求求求求例例例例10101010求求求求解：解：解：解：解：解：解：解：例例例例8 8 8 8解：解：解：解：求求求求第第2 2章章 极限与连续极限与连续例例例例11111111解：解：解：解：求求在在 u=1 连续连续,所以所以第第2 2章章 极

15、限与连续极限与连续例例例例12121212解：解：解：解：求求连续连续,从而从而第第2 2章章 极限与连续极限与连续解解解解例例例例13131313求求第第2 2章章 极限与连续极限与连续 例例例例1414 求求解解 原式原式=e 2.第第2 2章章 极限与连续极限与连续定理定理定理定理1-3(1-3(1-3(1-3(最值定理）最值定理）最值定理）最值定理）若函数若函数 f(x)在在a,b上连续上连续,则则 f(x)在在a,b上必有上必有最大最大(小小)值值.即即:存在存在使使(证明略证明略)1.3.4 1.3.4 1.3.4 1.3.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连

16、续函数的性质闭区间上连续函数的性质第第2 2章章 极限与连续极限与连续定理定理定理定理1-4(1-4(1-4(1-4(介值定理）介值定理）介值定理）介值定理）若函数若函数 f(x)在在a,b上连续，上连续，则对介于则对介于 f(a)与与 f(b)之之间的任何实数间的任何实数c,则则,至少至少使得使得存在一点存在一点第第2 2章章 极限与连续极限与连续若函数若函数 f(x)在在a,b上连续，上连续，且且零点定理零点定理:则则,至少存在一点至少存在一点使使零点定理零点定理(根的存在性根的存在性)几何意义几何意义:一条连续曲线如果两个一条连续曲线如果两个两侧两侧,则它至少穿过则它至少穿过 x 轴轴端

17、点分别位于端点分别位于 x 轴上下轴上下一次一次.第第2 2章章 极限与连续极限与连续思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习证明：证明：证明：证明：证明方程证明方程 x=sinx+2至少有一个不大于至少有一个不大于令令观察观察(0,3),则则方程方程 f(x)=0在在(0,3)内至内至少有少有一实根一实根,即方程即方程至少有一个不大于至少有一个不大于3的的实根的的实根.3的实根的实根.由由零点定理零点定理知知,第第2 2章章 极限与连续极限与连续证明：证明：证明：证明：设函数设函数 f(x)在在a,b连续，且连续，且 f(a)b,证方程证方程 f(x)=x在在(a,b)内至少有一实根内至少有

18、一实根.令令在在a,b上连续上连续,由由零点定理零点定理知知在在(a,b)内至少有一实根内至少有一实根,即即 f(x)=x 在在(a,b)内至少有一实根内至少有一实根.#P P P P21212121习题习题习题习题19191919第第2 2章章 极限与连续极限与连续若自变量在若自变量在x0处有的增量处有的增量相应函数的增量相应函数的增量左连续左连续右连续右连续函数函数在点在点x0连续有下列等价定义连续有下列等价定义:连续性等价定义连续性等价定义连续性等价定义连续性等价定义小小 结结第第2 2章章 极限与连续极限与连续在开区间上每一点都连续的函数在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫

19、做在该区间上的连连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.连续函数连续函数第第2 2章章 极限与连续极限与连续函数的间断点函数的间断点函数的间断点函数的间断点#初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第第2 2章章 极限与连续极限与连续P21习题习题 1 14 16(1)(3)18预习：预习：P23 第第2章章 导数的概念导数的概念学习指导书中第学习指导书中第1章部分习题解答章部分习题解答作作 业业