平面向量的数量积及复数答案.doc

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1、平面向量的数量积及复数1.考纲点击（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义;（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系;（3）掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;（4）能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;（5）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2.热点提示（1）平面向量数量积的运算,模与夹角.平行与垂直问题的高考命题的热点,多以选择.填空题的形式出现,属中低档题,但灵活多变;（2）可与三角函数.解析几何等知识综合命题,是高考的另一个热点.【考纲知识梳理】（1）两个非零向量的夹角已知

2、非零向量.与.,作,则_叫与的夹角;（2）数量积的概念已知两个非零向量与,它们的夹角为,则=_叫做与的数量积（或内积）.规定;向量的投影：_,称为向量在方向上的投影.投影的绝对值称为射影;（3）数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积.（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：_.乘法公式成立_;平面向量数量积的运算律交换律对实数的结合律分配律向量的夹角：_.当且仅当两个非零向量与同方向时,=00,当且仅当与反方向时,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量,则=_.（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直,记作.两个非零向量垂直的

3、充要条件：O_,平面向量数量积的性质.（7）平面内两点间的距离公式设,则或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为.,那么 _(平面内两点间的距离公式).(8) 向量的夹角：_.【热点难点精析】（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题1.向量的数量积有两种计算方法,一是利用公式=cos来计算,二是利用=来计算,具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法：(1);(2) ;(3)若则.（二）平面向量的垂直问题1.非零向量2.当向量,是非坐标形式时,要把,用已知的不共线的向量表示.注：把向量都用

4、坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异.（三）平面向量的夹角问题1.当,是非坐标形式时,求,的夹角.需求得及,或得出它们的关系.2.若已知,的坐标,则可直接利用公式注：平面向量,的夹角1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数，若b0,则a+bi为虚数，若a=0且b0，则a+bi为纯虚数。（2）复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR).（3）共轭复数：a+bi与c+di共轭a=c，b=-d(a,b,c,dR).。（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。X轴叫做实轴

5、，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。（5）复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记叙|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=。2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi复平面内的点Z（a,b）(a,bR);（2）复数z=a+bi平面向量（a,bR）。3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;减法：z1- z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;乘法：z1 z2=( a+

6、bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;除法：(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何、C，有+=+，（+）+=+（+）。注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。【热点难点精析】一、复数的有关概念及复数的几何意义1、复数的分类2、处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题。二、复数相等1、a+bi=c+di.2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z=

7、a+bi(a,bR)。三、复数的代数运算1、在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度：（1）（4）（5）（6）2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。例1已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），()。(1)若，求角的值； (2)若=1，求的值.解：(1)=(cos3, sin), =(cos, sin3). =。=。由=得sin=cos.又，=.(2)由 =1,得(cos3)cos+si

8、n (sin3)=1 sin+cos=. 又. 由式两边平方得1+2sincos= , 2sincos=, 例2已知定点A(0,1)，B(0,1)，C(1,0)。动点P满足：。(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；(2)当的最大值和最小值。 解：(1)设动点的坐标为P(x,y),则(x,y1)，(x,y+1)，(1x,y)k|2，x2+y21k(x1)2+y2 即(1k)x2+(1k)y2+2kxk1=0。若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线。 若k1，则方程化为：，表示以(,0)为圆心，以为半径的圆。 (2)当k=2时，方程化为(x2)2+y2=1。22(

9、x,y1)(x,y+1)(3x,3y1)，|2|。又x2+y24x3，|2|(x2)2+y21，令x2cos，ysin。则36x6y2636cos6sin+466cos(+)+46466,466，|2|max3，|2|min-3。例当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1) 纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。（1）若z为纯虚数，则解得m=3（2）若z为实数，则解得m=-1或m=-2（3）若z的对应点在第二象限，则解得-1m1-或1+m3.即（1）m=3时，z为纯虚数；（2）m=-1或m=-2时，z为实数；（3）-1m1-或1+m3时，z的

10、对应点在第二象限内。例已知集合M=（a+3）+（b2-1）i,8,集合N=3，（a2-1）+(b+2)同时满足MNM，MN，求整数a,b或或由得a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。a=-3，b=2由得a=3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，a=3,b=-2;由得,此方程组无整数解。综合得a=-3，b=2或a=3,b=-2。一、选择题： 1设i，j是互相垂直的单位向量，向量a(m1)i3j，bi(m1)j，(ab)(ab)，则实数m的值为()A2B2 C D不存在2设a，b是非零向量，若函数f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有()Aab Bab

11、C|a|b| D|a|b|3向量a(1,1)，且a与a2b方向相同，则ab的范围是()A(1，) B(1,1) C(1，) D(，1)4已知ABC中， ab0，且cos1，(2ab)(a3b)0，260，2或0)，解得k2.故使向量2ab和a3b夹角为0的不存在所以当2或3时，向量(2ab)与(a3b)的夹角是锐角12设在平面上有两个向量a(cos，sin)(0360)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小解：(1)证明：因为(ab)(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab与ab垂直(2)由|ab|ab|，两边平方得3|a|22ab|b|

12、2|a|22ab3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4ab0，而|a|b|，所以ab0，则cossin0，即cos(60)0，60k18090，即k18030，kZ，又0360，则30或210.13已知向量a(cos()，sin()，b，(1)求证：ab；(2)若存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb满足xy，试求此时的最小值解：(1)证明：abcos()cossin()sinsincossincos0.ab.(2)由xy，得xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21，kt3

13、3t0，kt33t，t2t32.故当t时，有最小值.一、 选择题1、复数的值等于（ ）（A） （B） （C） （D）2、已知集合M=1,，N1，3，MN1,3，则实数m的值为（ ）（A） 4 （B）1 （C）4或1 （D）1或63、设复数则是是纯虚数的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件4、设复数满足条件那么的最大值是（ ）（A）3 （B）4 （C） （D）5、复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为那么第四个顶点对应的复数是（ ）（A） （B） （C） （D）6、集合ZZ，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A0，2，2 （B）0，2 （C）0，2，2，2（D）0，2，2，2，27、对于两个复数，有下列四个结论：；，其中正确的结论的个数为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）48、1，是某等比数列的连续三项，则的值分别为（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题9、计算：= 10、已知复数z1=3+4i, z2=t+i,且z1是实数,则实数t等于11、如果复数满足,则的最大值是12、已知虚数()的模为,则的最大值是_，的最小值为. 13.计算-2008