常微分方程练习题.doc

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1、常微分方程练习题班级： 学号： 姓名：第一二章一填空题 1 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。 2一阶微分方程是恰当方程的充分必要条件是_。 3. 方程有只含的积分因子的充要条件是_。有只含的积分因子的充要条件是_。 4 称为伯努利方程，它有积分因子 。5. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点处 的切线斜率为，则曲线方程为_。二.求一曲线，其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。三.求出伯努利方程的积分因子。四求下列方程的通解。 12. = 3 x(4ydx+2xdy)+y(3ydx+5xdy)=04（y-1-xy）dx+xdy=05=y+sinx6(xy+xy)y=17(x-1)y+y

2、-2xy+1=08.dx+dy=09. 。10. 五证明题。1一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解2齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。第三章一 填空：1 函数f(x,y)称为在矩形域R上满足利普希兹条件，如果 。2 对毕卡逼近序列， 。3 若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解作为的函数在它的存在范围是 。4 微分方程的奇解是指_。5 方程定义在矩形域R：上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_-。二 求解下列各题：1 求方程过点（0，0）的第三次近似解。2 求初植问题 R；的解的存在区间，并求第二近似解，给出解的存在区间的误差。三

3、 证明题：假设函数于的领域内是y的不增函数，试证方程满足条件的解于一侧最多只有一个。第四章一 填空：1_称为n阶齐线性微分方程。2非零为二阶齐线性方程的解，这里和于区间上连续，则是方程解的充要条件是_。常系数非齐线性方程中，若，其中与为实常数，那么方程有形如_的特解。在n阶常系数齐线性方程中，为常数，则它的特征方程为_。若方程中满足_条件，则方程有形如的特解。微分方程的阶数为_。设是二阶齐线性方程的一个解,则方程的通解可表为_解线性方程的常用方法有_、_、_、_若为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为_.10.若为齐线性方程的一个基本解组,为非齐线性方程的一个特解,则非齐线

4、性方程的所有解可表_.11.若1，2，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程_ 。12. 函数_ 是微分方程 的通解.13. 微分方程满足初始条件的特解是_.14. 方程的基本解组是 15. 常系数方程有四个特征根分别为（二重根），那么该方程有基本解组（ ）二 计算 求通解 求特解， 设二阶非齐线性方程的三个特解为求其通解 求解方程 求方程的通解 求方程的解 求解方程 求初始问题的解： 求解方程三设可导函数满足，求四证明题 1.若函数为n阶齐线性方程的n个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式 2试证n阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。3. 在方程中，在上连续，求

5、证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数第五章一、 填空题1设是方程组的定义于区间上且满足初始条件的解，则是积分方程_的定义于上的_解。反之亦然。2在证明用皮卡逼近时，我们对于所有的正整数有如下估计：_。3如果向量函数在区间上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式_。4一定存在一个基解矩阵，如果是的任一解，那么_。5若是的基解矩阵，则向量函数=_是的满足初始条件的解；向量函数=_是的满足初始条件的解。6写出关于矩阵指数的性质_、_、_。7非齐线性方程组满足初始条件的解=_。8假设是方程的三重根，则=_。9设分别是方程组，的解，则满足方程的一个解可以为_。10设是的基解矩

6、阵，是的某一解，则的任一解都可表示为_。11方程组的个解线性无关的充要条件是 。12若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别是，那么矩阵= 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。13若是的基解矩阵，则满足的解= 。14若是上的连续函数，是方程的两个线性无关解，则的通解为： 。15.如果是的个线性无关解，则它的任一解可表为 。16. 如果是方程组的一个基解矩阵，则=_17. 设A,B是两个阶常数矩阵，且满足_, 则exp(A+B)=expAexpB 二计算1求的基本解矩阵。2求方程组的基解矩阵，并求出满足初始条件的解。 其中 3求方程的通解。4试用逐步皮卡逼近求方程组 满足初始条件的第二次近似解。5.求的基解矩阵。 6. 试求矩阵的特征值和对应的特征向量。7. 试求初值问题，的解。4. 试求，其中 ，满足初始条件的解.7. 试用逐步逼近法求方程组, 满足初始条件第三次近似解。8. 试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中二证明题1.给定方程其中在上连续，试利用常数变易公式，证明：如果在上有界，则上面的方程的每一个解在上有界。2假设m不是A的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如 ，其中是常数向量。3.如果在区间上是 的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异的常数矩阵使得在区间 上