第三章应变理论优秀课件.ppt

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1、第三章应变理论第1页，本讲稿共54页drduuQ点位移:u=u(r+dr)或 u=u(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)P.Qdrrr+drx1x2x3o3.1 变形位移矢量 位移梯度张量u P点位移：u=u(r)或 u=u(x1,x2,x3)drPQ.uQ变形位移变形位移第2页，本讲稿共54页变形位移矢量du 或 第3页，本讲稿共54页第4页，本讲稿共54页称为位移梯度。称为位移梯度张量。第5页，本讲稿共54页位移梯度张量的矩阵表示在有限元法中有重要应用。第6页，本讲稿共54页对称张量反对称张量位移梯度张量 分解变形张量转动张量第7页，本讲稿共54页应变张量：反映点的应变或展开第8页

2、，本讲稿共54页转动张量：反映点的刚体转动或展开第9页，本讲稿共54页3.2 3.2 应变张量及应变分量应变张量及应变分量AABBCCCCu2x1 方向的线应变同理BBu1dx2dx1ACBx1x2ox1 x2平面上的变形第10页，本讲稿共54页x1 x2平面上的切应变平面上的切应变同理则定义AAdx2dx1ABBBBCCCCCu1u2x1x2oB第11页，本讲稿共54页AAdx3dx2ABBBBCCCCCu2u3x2x3oBx2 x3平面上的切应变同理x3 x1平面上的切应变第12页，本讲稿共54页定义角应变（工程应变）同理有第13页，本讲稿共54页应变分量第14页，本讲稿共54页工程应变分

3、量第15页，本讲稿共54页应变的矩阵表示（两种表示）应变的矩阵表示（两种表示）应变工程应变第16页，本讲稿共54页应变的列阵表示Voigt标记第17页，本讲稿共54页3.3 3.3 转动位移与转动张量转动位移与转动张量x1x2BACDBACDx1x2第18页，本讲稿共54页平面内的转动位移即绕 轴的转动位移BADx1x2C第19页，本讲稿共54页同理有绕 轴的转动位移 。第20页，本讲稿共54页PQPQurr+drPQdr3.4 任意方向上的线应变 坐标变换x1x2x3oPQdruududru(l1,l2,l3)e3e2e1du第21页，本讲稿共54页分量表示第22页，本讲稿共54页x1x2x

4、3(l1,l2,l3)(n1,n2,n3)第23页，本讲稿共54页 =u1,1 n1 l1+u1,2 n2 l1+u1,3 n3 l1 +u2,1 n1l2+u2,2 n2 l2+u2,3 n3 l2 +u3,1 n1 l3+u3,2 n2 l3+u3,3 n3 l3展开上式第24页，本讲稿共54页rr+drPQdrPQdruududrux1x2x3o当du与dr重合时有 ni=li第25页，本讲稿共54页 =u1,1 l1 l1+u1,2 l2 l1+u1,3 l3 l1 +u2,1 l1l2+u2,2 l2 l2+u2,3 l3 l2 +u3,1 l1 l3+u3,2 l2 l3+u3,3

5、 l3 l3第26页，本讲稿共54页对于采用指标记法有第27页，本讲稿共54页新坐标系坐标轴的方向余弦OldNew应变的坐标变换应变的坐标变换旧系表达旧系表达新系表达新系表达第28页，本讲稿共54页应变是二阶张量，由张量的定义有如第29页，本讲稿共54页3.5应变张量的分解与不变量 和应力张量一样应变张量也可以分解为球应变张量与偏应变张量。或 为偏应变张量或应变偏张量（畸变）为球应变张量或应变球张量（体变）其中第30页，本讲稿共54页或展开应变张量第31页，本讲稿共54页体积改变形状改变应变张量的分解图示=+第32页，本讲稿共54页仿照应力张量对于应变张量有由齐次方程组具有非零解的条件第33页

6、，本讲稿共54页展开上式有可写成其中上式即为上式即为应变张量第一、第二、第三不变量应变张量第一、第二、第三不变量的表达式。的表达式。第34页，本讲稿共54页解应变特征方程，可得三个主应变 这三个主应变这三个主应变彼此互相垂直彼此互相垂直，相应的应变方向，相应的应变方向称为称为应变主方向应变主方向，相应的轴线称为，相应的轴线称为应变主轴应变主轴。在应变主方向上无切应变。在应变主方向上无切应变。用主应变表示应变张量不变量为用主应变表示应变张量不变量为第35页，本讲稿共54页同理对于应变偏张量 有由齐次方程组具有非零解的条件，可以定义出由齐次方程组具有非零解的条件，可以定义出应应变偏张量的第一、第二

7、与第三不变量。变偏张量的第一、第二与第三不变量。第36页，本讲稿共54页应变张量不变量：用应变张量不变量：用 I 表示表示应变偏张量不变量：用应变偏张量不变量：用 J 表示表示应力偏张量不变量：用 J 表示应力张量不变量：用 I 表示第37页，本讲稿共54页主切应变与主切应力类似地有主切应变。主切应变有三个对于 有最大主切应变第38页，本讲稿共54页正应变:剪应变：用主应变表示剪应变：用非主应变表示正八面体上的应变n第39页，本讲稿共54页等效（有效）应变与等效应力 相匹配的有等效应变 。通常取 ，则第40页，本讲稿共54页 变形后体积变为：设有微小的正平行六面体，它的棱边长度是 在变形前，它

8、的体积，弹性体积应变第41页，本讲稿共54页因此，每单位体积的体积改变，即所谓因此，每单位体积的体积改变，即所谓体积应变体积应变为：为：第42页，本讲稿共54页将几何方程代入：用张量形式可表示为：因为只考虑微小的应变，所以两个或三个应变分量的乘积可以略去不计，或则体积应变表示体积应变表示弹性体一点处的单位体积改变量弹性体一点处的单位体积改变量。第43页，本讲稿共54页3.6 变形协调方程 在应变分析中，需要有某些条件施加于应变分量以保持物体的连续性。通过几何方程 可得到说明。（1）已知位移 可由方程确定应变（2）已知应变 不能由方程确定位移 ，即得不到位移的单值解 因此，为了得到单值解 的连续

9、位移函数 ，需要对应变 施加某种约束，此类约束称为协调条件。第44页，本讲稿共54页变形协调性几何说明变形前重叠开裂连续第45页，本讲稿共54页解：要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。件。以下我们将着手建立这一条件。显然该应变分量没有对应的位移。但例3-1 设 ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。第46页，本讲稿共54页变形协调方程（三维）变形协调方程（三维）第47页，本讲稿共54页下面有代表性的推导其中的两个方程：方程一：第48页，本讲稿共54页方程二：第

10、49页，本讲稿共54页六个六个变形协调方程并不独立，是得到单值连续的位移变形协调方程并不独立，是得到单值连续的位移函数的必要条件，对于单连通域为充分条件函数的必要条件，对于单连通域为充分条件物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生其间将产生缝隙或嵌入缝隙或嵌入现象。现象。为使变形后的物体保持连续性，应变分量必须满足变形协调方程。变形协调方程意义第50页，本讲稿共54页若用张量记号，变形协调方程可写成：第51页，本讲稿共54页变形协调方程三连通域双连通域 单连通域第52页，本讲稿共54页变形协调方程第53页，本讲稿共54页二维情况下的变形协调方程第54页，本讲稿共54页