《多目标规划》PPT课件.ppt

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1、 本书大部分章节讨论的基本上都是单目标优化问题，实际上，许多实际问题的优化牵涉的目标往往不止一个，如设计一个工厂的施工方案，就要考虑工期、成本、质量、污染等目标,再如找工作,购买家用电器,追求的目标往往都不止一个。由于这类问题需同时考虑多个目标，而有些目标之间又相互矛盾，从而使决策问题变得复杂,这类决策问题称为多目标决策问题。多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision M

2、aking)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题，后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优方案的决策。多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又有联系。有联系。多目标最优化的思想萌芽于多目标最优化的思想萌芽于17761776年经济学中的效用理论。年经济学中的效用理论。18961896年，法国经济学家年，法国经济学家V

3、ParetoVPareto首先在经济理论的研究中提首先在经济理论的研究中提出了多目标最优化问题。出了多目标最优化问题。19511951年，美国数理经济学家年，美国数理经济学家TCKoopansTCKoopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名为为“Pareto“Pareto解解”(”(即有效解即有效解)。同年，。同年，HWKuhnHWKuhn和和 AWTuckerAWTucker从数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关从数学规划论角度首次提出

4、向量极值问题及有关概念。进入概念。进入2020世纪世纪7070年代，随着第一次国际多目标决策研讨年代，随着第一次国际多目标决策研讨会的召开及这方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作会的召开及这方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作迅速、蓬勃地开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的迅速、蓬勃地开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的研究成果。研究成果。第一节 多目标规划模型 线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R=X|g R=X|gi i(X)0(X)0，i=1i=1，2 2，m)Xm)XE En n上，求单目标上，求单目标f(x)

5、f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以的最大或最小的问题，即方案的好坏是以一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用。也就是说，需要用一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。第四章 多目标规划一.一般多目

6、标规划模型例例1 1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为为4 4元元/斤及斤及2 2元元/斤。今要筹办一桩喜事。斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组筹备小组”计计划总花费不超过划总花费不超过4040元，糖的总斤数不少于元，糖的总斤数不少于1010斤，甲级糖不斤，甲级糖不少于少于5 5斤。问如何确定最佳的采购方案。斤。问如何确定最佳的采购方案。我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不难看出，当甲级糖数量为难看出，当甲级糖数量为x x1 1，乙级糖数量为，乙级糖数量为x x2 2时，有：

7、时，有：在研究以什么为在研究以什么为“最佳最佳”的衡量标准时，的衡量标准时，“筹备小组筹备小组”的的成员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各成员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各样的目标来。样的目标来。如果要求总花费最小，即要求：如果要求总花费最小，即要求：f f1 1(x(x1 1,x,x2 2)=4x)=4x1 1+2x+2x2 2 minmin 如果要求糖的总数量最大，即要求：如果要求糖的总数量最大，即要求：如果要求甲级糖的数量最大，即要求：如果要求甲级糖的数量最大，即要求：易见，这是具有易见，这是具有3 3个目标的规划问题（由于约束及目标均个目标的规划问题（由于约

8、束及目标均为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。例例2 2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A A万元，今有万元，今有n(2)n(2)个项目可供选择。设投资第个项目可供选择。设投资第i(i=1i(i=1，2 2，n)n)个项目要用资金个项目要用资金a ai i万元，预计可得到万元，预计可得到收益收益b bi i万元。问应如何使用总资金万元。问应如何使用总资金A A万元，才能得万元，才能得到最佳的经济效益？到最佳的经济效益？xi=0或1 所谓所谓“最佳的经济效益最佳的经济效益”，如果理解为，如果理解为“少

9、花少花钱多办事钱多办事”，则变为两个目标的问题，即投资，则变为两个目标的问题，即投资最少，收益最大：最少，收益最大：这是具有两个目标的这是具有两个目标的0 01 1规划问题。规划问题。例例3 3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过H H，横截面的惯性矩不少于给定值横截面的惯性矩不少于给定值WW，且横截面的高，且横截面的高度要介于其宽度和度要介于其宽度和4 4倍宽度之间。倍宽度之间。问应如何

10、确定木梁尺寸，可使木问应如何确定木梁尺寸，可使木 梁的重量最轻，并且成本最低。梁的重量最轻，并且成本最低。设所设计的木梁横截面的设所设计的木梁横截面的 高为高为x x1 1 ，宽为，宽为x x2 2（图（图1 1）。）。为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求其横截面面积其横截面面积x x1 1x x2 2为最小，即要求为最小，即要求x x1 1x x2 2minmin x x1 1 x x2 2图图1 1r r 由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小干加工而成的，故其成本

11、与树干横截面面积的大小 成正比。由此，为使木梁的成成正比。由此，为使木梁的成本最低还应要求本最低还应要求 尽可能的小，或即：尽可能的小，或即：根据问题的要求，应满足下述约束条件：根据问题的要求，应满足下述约束条件：这是具有两个目标的非线性规划问题。这是具有两个目标的非线性规划问题。由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不极大化与极小化是可

12、以相互转化的。因此，我们不难将多目标最优化模型统一成一般形式：难将多目标最优化模型统一成一般形式：决策变量：决策变量：x x1 1，x xn n 目标函数：目标函数：minfminf1 1(x(x1 1，x xn n)minf minfp p(x(x1 1，x xn n)若记若记X=(xX=(x1 1，x xn n)，V-minV-min表示对向量表示对向量F(X)=fF(X)=f1 1(X)(X)，f fp p(X)(X)T T中的各目标函数中的各目标函数f f1 1(X)(X)，f fp p(X)(X)同等的进同等的进行极小化。行极小化。R=X|gR=X|gi i(X)0(X)0，i=1i

13、=1，mm表示约束集。表示约束集。则模型一般式也可简记为则模型一般式也可简记为 这里这里(VMP)(VMP)为向量数学规划为向量数学规划(Vector Mathematical(Vector Mathematical Programming)Programming)的简写。的简写。二.分层多目标规划模型 本节介绍一类不同于本节介绍一类不同于(VMP)(VMP)形式的多目标最优形式的多目标最优化模型。这类模型的特点是：在约束条件下，各化模型。这类模型的特点是：在约束条件下，各个目标函数不是同等的被优化，而是按不同的优个目标函数不是同等的被优化，而是按不同的优先层次先后的进行优化。先层次先后的进行

14、优化。例如，在例例如，在例1 1中，若筹备小组希望把所考虑的中，若筹备小组希望把所考虑的三个目标按重要性分成以下两个优先层。三个目标按重要性分成以下两个优先层。第第1 1优先层优先层总的花费最小。总的花费最小。第第2 2优先层优先层糖的总数量最大。糖的总数量最大。甲级糖数量最大。甲级糖数量最大。那么这种先在第那么这种先在第1 1优先层次极小化总花费，优先层次极小化总花费，然后在此基础上再在第然后在此基础上再在第2 2优先层次同等的极大化优先层次同等的极大化糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目标最优化问题。可将其目标函数表示为：标最优化问题。可将其

15、目标函数表示为：L-minP L-minP1 1f f1 1(X)(X)，P P2 2f f2 2(X)(X)，f f3 3(X)(X)其中其中P P1 1，P P2 2是优先层次的记号，是优先层次的记号，L-minL-min表示表示按优先层次序进行极小化。按优先层次序进行极小化。下面，我们来看一个建立分层多目标最优化下面，我们来看一个建立分层多目标最优化模型的例子模型的例子例例4 4：某水稻区一农民承包：某水稻区一农民承包1010亩农田从事农业种植。亩农田从事农业种植。已知有三类复种方式可供选择，其相应的经济效已知有三类复种方式可供选择，其相应的经济效益如表益如表 方方案案复种方式复种方式粮

16、食产量粮食产量(公斤公斤/亩亩)油料产量油料产量(公斤公斤/亩亩)利润利润(元元/亩亩)投入氮素投入氮素(公斤公斤/亩亩)用工量用工量(小时小时/亩亩)1 1大麦早大麦早稻晚梗稻晚梗 1056 1056 120.27120.27 50 50 320 3202 2大麦早大麦早稻玉米稻玉米 1008 1008 111.46111.46 48 48 350 3503 3油菜玉油菜玉米蔬菜米蔬菜 336 336 130 130208.27208.27 40 40 390 390 设该农户全年至多可以出工设该农户全年至多可以出工34103410小时，至少小时，至少需要油料需要油料156156公斤。今该农

17、户希望优先考虑总利润公斤。今该农户希望优先考虑总利润最大和粮食总产量最高，然后考虑使投入氮素最最大和粮食总产量最高，然后考虑使投入氮素最少。问如何确定种植方案。少。问如何确定种植方案。首先设立决策变量如下首先设立决策变量如下 方案方案1 1的种植亩数：的种植亩数：x x1 1，方案方案2 2的种植亩数：的种植亩数：x x2 2，方案方案3 3的种植亩数：的种植亩数：x x3 3，根据农户的要求确定问题的三个目标函数为：根据农户的要求确定问题的三个目标函数为：年总利润：年总利润：f f1 1(x(x1 1，x x2 2，x x31233123 粮食总产量：粮食总产量：f f2 2(x(x1 1，

18、x x2 2，x x3 3)=1056x)=1056x1 1+1008x+1008x2 2+336x+336x3 3 投入氮素量：投入氮素量：f f3 3(x(x1 1，x x2 2，x x3 3)=50 x)=50 x1 1+48x+48x2 2+40 x+40 x3 3 根据农户的全年出工能力，对油料需求量，所承包农根据农户的全年出工能力，对油料需求量，所承包农田数以及种植亩数应为非负等限制，应有约束条件：田数以及种植亩数应为非负等限制，应有约束条件：总用工量：总用工量：320 x320 x1 1+350 x+350 x2 2+390 x+390 x3 334103410 油料需求：油料需

19、求：130 x 130 x3 3156156 农田数：农田数：x x1 1+x+x2 2+x+x3 31010 种植亩数非负：种植亩数非负：x x1 100，x x2 200，x x3 300。根据农户对目标重要性的排序，将前两个目标作为根据农户对目标重要性的排序，将前两个目标作为第一优先层，将第三个目标作为第二优先层，再把其中第一优先层，将第三个目标作为第二优先层，再把其中的求最大化转化为求其负数的最小，便得到下列具有两的求最大化转化为求其负数的最小，便得到下列具有两个优先层次的分层多目标极小化模型：个优先层次的分层多目标极小化模型：对它进行求解便可得到农户满意的种植方案。对它进行求解便可得

20、到农户满意的种植方案。三.目标规划模型 本节介绍一类在实际中有着广泛应用的特殊多目标最本节介绍一类在实际中有着广泛应用的特殊多目标最优化模型。这类模型并不是去考虑对各个目标进行极小化优化模型。这类模型并不是去考虑对各个目标进行极小化或极大化，而是希望在约束条件的限制下，每一目标都尽或极大化，而是希望在约束条件的限制下，每一目标都尽可能的接近于事先给定的各目标值。可能的接近于事先给定的各目标值。设设p p个目标函数的给定目标值分别为：个目标函数的给定目标值分别为：例例5 5：某机器制造厂生产两种型号的机器，同时也进行机器的：某机器制造厂生产两种型号的机器，同时也进行机器的零部件和工业性作业生产。

21、已知有关数据如下表，并且该零部件和工业性作业生产。已知有关数据如下表，并且该工厂全年能承担生产的总工时为工厂全年能承担生产的总工时为5858万小时。万小时。生产项目生产项目单位单位产值产值利润利润工时工时需要量需要量1 1号机号机套套5 5万元万元/套套1 1万元万元/套套10001000小时小时/套套160160套套(指令性计划指令性计划)2 2号机号机台台1.61.6万元万元/套套0.20.2万元万元/台台400400小时小时/台台320320500500台台(市场预测市场预测)零部件和工零部件和工业性作业业性作业万小万小时时5050元元/小小时时8.18.1元元/小小时时2626万小时万

22、小时(市场预测市场预测)今决策者希望在完成上级下达的指令性计划的前提下，今决策者希望在完成上级下达的指令性计划的前提下，全年总产值达到全年总产值达到27502750万元左右，总利润不低于万元左右，总利润不低于440440万元，万元，并且要避免开工不足。然后，还希望工人的加班时间不超并且要避免开工不足。然后，还希望工人的加班时间不超过总工时的过总工时的4 4，以及依据市场预测的信息进行生产。试，以及依据市场预测的信息进行生产。试问应如何安排工厂的年生产计划。问应如何安排工厂的年生产计划。首先，设立决策变量为首先，设立决策变量为 x x1 1：生产：生产1 1号机套数号机套数 x x2 2：生产：

23、生产2 2号机台数号机台数 x x3 3：生产零部件和工业性作业的工时数：生产零部件和工业性作业的工时数(万小时万小时)第二节 多目标规划问题的解 在单目标规划问题中，任意两个可行方案都可通过比在单目标规划问题中，任意两个可行方案都可通过比较其目标函数值来确定其优劣。在所有可行方案中，使目较其目标函数值来确定其优劣。在所有可行方案中，使目标达最优的就是最优解。标达最优的就是最优解。而在多目标规划问题中，约束集而在多目标规划问题中，约束集R R中的两个方案中的两个方案x x1 1，x x2 2其优劣往往不能进行比较。这是因为它们的目标值其优劣往往不能进行比较。这是因为它们的目标值F(XF(X1

24、1)与与F F(X(X2 2)是向量，而向量是无法直接比较大小的。所以，在是向量，而向量是无法直接比较大小的。所以，在R R中中也往往不存在一个方案对每个目标都是最优的。也往往不存在一个方案对每个目标都是最优的。这种多目标规划问题区别于单目标规划问题的本质表这种多目标规划问题区别于单目标规划问题的本质表明，仅仅将单目标问题最优解的概念平移到多目标问题中明，仅仅将单目标问题最优解的概念平移到多目标问题中是不行的。本章将介绍多目标规划问题各种解的概念及其是不行的。本章将介绍多目标规划问题各种解的概念及其相互关系。相互关系。一.各种解的概念图图2 2给出了两个目标，一维变量时绝对最优解的例子给出了两

25、个目标，一维变量时绝对最优解的例子图图3 3 给出了两个目标，一维变量时有效解集合的例子给出了两个目标，一维变量时有效解集合的例子二.各种解之间的关系多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价点评价与向量评价点评价与向量评价点评价与向量评价 单目标：单目标：方案方案d dj j 评价值评价值f f(d dj j)多目标：方案多目标：方案d dj j评价向量评价向量(f f1 1(d dj j)，f f2 2(d dj j)，f fp p(d dj j)全序与半序全序与半序全序与半序全序与半序:方案方案d di i与与d dj j之间之间 单目标问题单目标问题:d di i d dj j 多目标

26、问题：除了这三种情况之外多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况还有一种情况是不可比较大小是不可比较大小决策者偏好决策者偏好决策者偏好决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对：多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。目标的偏好。解概念区别解概念区别解概念区别解概念区别解的概念单目标决策的解只 有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：绝对最优解劣解有效解(pereto解)弱有效解d1807588有效解d2758185有效解d3767889有效解劣解d5797486d4858292绝对最优解数学外语专业解的类型多目标决策解的例子第三节 多目标最优化问题的解法 求解多目标最优化模型

27、，就是要根据问题求解多目标最优化模型，就是要根据问题的特点和决策者的意图，选择适当解法，求得的特点和决策者的意图，选择适当解法，求得模型的有效解或弱有效解。本章将介绍一些常模型的有效解或弱有效解。本章将介绍一些常用的多目标最优化问题解法。用的多目标最优化问题解法。一.评价函数法 kpkp k2k2 k1k1k k 2p2p 2222 21212 2 1p1p 1212 11111 1f fp p(X)(X)f f2 2(X)(X)f f1 1(X)(X)目标目标 权系数权系数 老手老手二.分层求解法 本节将针对第一节中介绍的分层多目标最优化模型，本节将针对第一节中介绍的分层多目标最优化模型，介

28、绍一般的分层评价法和适用于线性分层模型的分层单纯介绍一般的分层评价法和适用于线性分层模型的分层单纯形法。形法。1 1、分层评价法、分层评价法 设将目标分为设将目标分为L L个优先层，则可首先在约束集个优先层，则可首先在约束集R R上对第上对第一优先层进行多目标极小化，然后在第一层优化所得的一优先层进行多目标极小化，然后在第一层优化所得的（弱）有效解集上对第二层进行优化，然后在第二层优化（弱）有效解集上对第二层进行优化，然后在第二层优化所得的（弱）有效解集上对第三层进行优化所得的（弱）有效解集上对第三层进行优化 可以证明，按分层评价法进行求解时，只要每一层选可以证明，按分层评价法进行求解时，只要

29、每一层选用的评价函数都是严格增的，则最后所得的解必为相应的用的评价函数都是严格增的，则最后所得的解必为相应的不分层多目标最小化模型的有效解。不分层多目标最小化模型的有效解。上述结果表明：若该农户认为利润和粮食目标在问题上述结果表明：若该农户认为利润和粮食目标在问题中的重要程度分别为和的话，则他应该选择如下的种植方中的重要程度分别为和的话，则他应该选择如下的种植方案：案：方案方案1 1种植种植7 7亩，亩，方案方案2 2不种植，不种植，方案方案3 3种植种植3 3亩。亩。这时，还可算出这时，还可算出 年总利润元年总利润元 粮食总产量粮食总产量84008400公斤公斤 氮素投入量氮素投入量4704

30、70公斤公斤 油料产量油料产量390390公斤公斤 总用工量总用工量34103410小时小时 2 2、分层单纯形法、分层单纯形法 将普通单纯形法加以适当推广，便可用来求将普通单纯形法加以适当推广，便可用来求解分层多目标线性规划模型。其一般步骤如下：解分层多目标线性规划模型。其一般步骤如下：(1)(1)将每一优先层中各目标函数通过评价函数将每一优先层中各目标函数通过评价函数法（如线性加权和）转化为单目标；法（如线性加权和）转化为单目标；(2)(2)用单纯形法求解各层目标相应的线性规划用单纯形法求解各层目标相应的线性规划问题。设共有问题。设共有L L个优先层，则在每张单纯形表上的个优先层，则在每张

31、单纯形表上的检验数位置有检验数位置有L L行检验数行检验数(C(Cj j-C-CB BB B-1-1p pj j)，将，将P P1 1层对应层对应的检验数写在最下行，的检验数写在最下行，P PL L层对应的检验数写在最层对应的检验数写在最上行。上行。(3)(3)检验调整时由下往上，先调检验调整时由下往上，先调P P1 1行（迭行（迭代方法同单纯形法），直至代方法同单纯形法），直至P P1 1行检验数满足最行检验数满足最优性要求（检验数优性要求（检验数00），再开始调），再开始调P P2 2行。若某行。若某行负检验数相应下行中有正检验数，则根据行负检验数相应下行中有正检验数，则根据“高级优先高级

32、优先”的原则，放弃调整该列。这样进行的原则，放弃调整该列。这样进行直至无法再调时（全部检验数为非负或虽有某直至无法再调时（全部检验数为非负或虽有某为负，但其下方有正的）为止。为负，但其下方有正的）为止。0 00 00 00 00 00 00 00 00 01 1-2-20 02 20 0-3-31 1-1-1-1-1 P P3 3 P P2 2 P P1 10 00 01 10 01 10 01 10 00 00 00 01 11 111-1-11 10 0-1-1x x4 4 5 5x x5 5 2 2x x6 6 4 4x x6 6x x5 5x x4 4x x3 3x x2 2x x1

33、1X XB B B B-1-1b b0 00 00 00 00 03 30 00 00 01 1-2-20 00 00 00 01 1-1-1-1-1 P P3 3 P P2 2 P P1 10 00 01 1-1-11 11 11 10 00 00 00 01 10 01 10 0110 0-1-1x x4 4 3 3x x2 2 2 2x x6 6 6 6x x6 6x x5 5x x4 4x x3 3x x2 2x x1 1X XB B B B-1-1b b0 00 00 01 1-1-12 2-1-11 11 11 1-2-20 00 00 00 00 00 00 0 P P3 3 P

34、 P2 2 P P1 10 00 01 1-1-11 10 01 10 01 10 00 0110 01 10 01 10 00 0 x x1 1 3 3x x2 2 2 2x x6 6 9 9x x6 6x x5 5x x4 4x x3 3x x2 2x x1 1X XB B B B-1-1b bX XB B B B-1-1b bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4x x5 5x x6 6x x1 1 3 3x x2 2 2 2x x3 3 9 91 10 00 00 01 10 00 00 01 11 10 01 1-1-11 10 00 00 01 1 P P3 3 P P2

35、 2 P P1 10 00 00 00 00 00 00 00 00 0-2-23 31 1-1-1-1-12 2-1-12 20 0三.目标规划法 第一节提出的目标规划模型第一节提出的目标规划模型(3)(3)已经化为单目标问题。已经化为单目标问题。特别，当目标函数特别，当目标函数f fi i(X)(i=1(X)(i=1，p)p)和约束和约束R R均为线性均为线性时，它就是一个线性规划，其解法不必赘述。时，它就是一个线性规划，其解法不必赘述。本节主要举例说明在实际中常用的分层加权线性目标本节主要举例说明在实际中常用的分层加权线性目标规划的解法。规划的解法。例例12 12 有一纺织厂生产尼龙和棉

36、布，平均生产能力都有一纺织厂生产尼龙和棉布，平均生产能力都是是1 1千米千米/小时，工厂生产能力为每周小时，工厂生产能力为每周8080小时。根据市场预小时。根据市场预测，下周最大销量为：尼龙布测，下周最大销量为：尼龙布7070千米，棉布千米，棉布4545千米，尼龙千米，尼龙布利润为元布利润为元/米，棉布利润为元米，棉布利润为元/米。工厂领导的管理目标米。工厂领导的管理目标如下，如下，P P1 1：保证职工正常上班，避免开工不足；：保证职工正常上班，避免开工不足；P P2 2：尽量：尽量达到最大销售量；达到最大销售量；P P3 3：尽量减少加班时间，限制加班时间：尽量减少加班时间，限制加班时间不

37、得超过不得超过1010小时。小时。700 00 00 00 00 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 0-3-3-1-10 00 00 0 P P3 3 P P2 2 P P1 10 00 00 00 00 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 0-3-3-1-10 0-5-5-1-1 P P3 3 P P2 2 P P1 10 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 01 1-1-11 10 00 0-1-10 00 01 11 10 00 00 0110 01 10 00 01 10 00 0 10 10 x x

38、1 1 7070 45 45 S 10 S 100 00 00 01 10 01 10 00 0-1-10 00 01 11 10 00 00 01 10 01 10 01 1110 00 0 8080 7070 4545 S 10 S 10S Sx x2 2x x1 1X XB B B B-1-1b b-1-13 30 00 00 00 01 10 0-1-11 10 00 00 01 1S S0 00 00 00 02 20 00 00 00 00 03 31 10 00 00 00 00 00 0 P P3 3 P P2 2 P P1 10 00 00 00 02 20 01 1-3-3

39、0 00 03 31 10 00 00 00 00 00 0 P P3 3 P P2 2 P P1 10 00 01 10 00 00 01 10 0-1-11 11 10 00 00 00 01 11 10 0-1-10 01 10 00 00 00 01 10 00 0 x x2 2 20 20 x x1 1 7070 25 25 10 10-1-11 11 10 0-1-10 01 1111 10 0-1-10 01 10 00 00 00 01 10 00 0 x x2 2 1010 x x1 1 7070 3535 S 10 S 10 x x2 2x x1 1X XB B B B-1-1b b