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1、第六章第六章 振动和波动振动和波动大学物理学大学物理学大学物理学大学物理学山西大学物电学院山西大学物电学院Chapter 6.Chapter 6.Vibration and Motion 2022/10/2512 2第第6章章 机械振动机械振动u机机机机械械械械振振振振动动动动：物物物物体体体体在在在在平平平平衡衡衡衡位位位位置置置置附附附附近近近近作作作作往往往往返返返返的的的的周周周周期期期期性性性性位移。位移。位移。位移。例例例例如如如如，钟钟钟钟摆摆摆摆的的的的摆摆摆摆动动动动、气气气气缸缸缸缸中中中中活活活活塞塞塞塞的的的的运运运运动动动动、人人人人的的的的心心心心脏脏脏脏跳跳跳跳动

2、动动动、机机机机器器器器运运运运转转转转时时时时的的的的振振振振动动动动和和和和一一一一切切切切发发发发声声声声物物物物体体体体(声声声声源源源源，如音叉如音叉如音叉如音叉)内部的运动等。内部的运动等。内部的运动等。内部的运动等。若若若若把把把把机机机机械械械械运运运运动动动动范范范范围围围围内内内内的的的的这这这这一一一一概概概概念念念念推推推推广广广广到到到到分分分分子子子子热热热热运运运运动动动动、电电电电磁磁磁磁运运运运动动动动物物物物质质质质运运运运动动动动形形形形式式式式，则则则则广广广广义义义义而而而而言言言言，对对对对于于于于任任任任一一一一物物物物理理理理量量量量，当当当当它

3、它它它们们们们围围围围绕绕绕绕一一一一定定定定的的的的平平平平衡衡衡衡值值值值作作作作周周周周期期期期性性性性的的的的变变变变化时，都可称该物理量在振动。化时，都可称该物理量在振动。化时，都可称该物理量在振动。化时，都可称该物理量在振动。概概 述述3 3第第6章章 机械振动机械振动u振动：物理量振动：物理量(位移、电量、电压、电流、电场强度位移、电量、电压、电流、电场强度和磁感应强度等和磁感应强度等)围绕一定的平衡值作周期性的变化。围绕一定的平衡值作周期性的变化。物理量在振动，就具有共同的物理特征。物理量在振动，就具有共同的物理特征。广义：广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。物理量在某

4、一定值附近反复变化即为振动。u简谐振动：简谐振动：物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述。数描述。u复杂振动复杂振动 =若干个简谐振动的合成。若干个简谐振动的合成。研究目的研究目的 利用、减弱利用、减弱 或或 消除消除u周期振动：周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次4 4第第6章章 机械振动机械振动u波波：振振动动在在空空间间的的传传播播。声声波波、水水波波、地地震震波波、电电磁磁波波和和光波等都是波，各种各样信息的传播几乎都要借助于波。光波等都是波，各种各样信息的传播几乎都要借助于波。尽尽管

5、管各各类类波波又又各各自自的的特特性性，但但它它们们大大都都具具有有类类似似的的波波动动方方程程，具具有有干干涉涉和和衍衍射射等等波波所所特特有有的的普普遍遍的的共共性性，通通常常把把它它们称为们称为波动性波动性。u振振动动和和波波动动是是紧紧密密联联系系着着的的，都都是是物物质质的的运运动动形形式式。振振动动是是波波动动产产生生的的根根源源，波波动动是是振振动动传传播播的的过过程程，也也是是能能量量传传播播的的过过程程。在在科科学学技技术术领领域域，振振动动和和波波动动理理论论是是声声学学、地地震震学学、光学、无线电技术及原子物理学等学科的基础。光学、无线电技术及原子物理学等学科的基础。u本

6、本章章以以机机械械振振动动和和机机械械波波为为具具体体内内容容，讨讨论论振振动动和和波波动动的的共共同同特特征征、现现象象和和规规律律，这这些些基基本本规规律律对对各各种种振振动动和和波波一一般般都是适用的。都是适用的。5 5第第6章章 机械振动机械振动6-6-1 1 简谐振动简谐振动6-6-2 2 弹性系统的振动弹性系统的振动6-3 6-3 机械波的产生和传播机械波的产生和传播6-4 6-4 驻波驻波6-5 6-5 多普勒效应多普勒效应本章习题本章习题本章习题本章习题：6-1，2，4，5，7，8，10，11，14，17216 6第第6章章 机械振动机械振动右键单击右键单击右键单击右键单击 ,

7、“,“播放播放播放播放”7 7第第6章章 机械振动机械振动一、描述简谐振动的特征量一、描述简谐振动的特征量X0 x令令6.1 简谐振动简谐振动质质量量可可忽忽略略的的弹弹簧簧，一一端端固固定定，一一端端系系一一有有质质量量的的物物体体，称此系统为称此系统为弹簧振子弹簧振子。建建 立立 如如 图图的的 坐坐 标标系系，物物体体 质质 量量 m，坐坐 标标 x，所所 受受 回回 复复 力力 为为 F.此方程的通解为：此方程的通解为：(1)(1)简谐运动或简谐振动简谐运动或简谐振动简谐运动或简谐振动简谐运动或简谐振动8 8第第6章章 机械振动机械振动v物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，

8、物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，称之为称之为简谐振动简谐振动。上式称之为上式称之为 简谐简谐 振振 动表动表 达式（简谐函数或振动方程）达式（简谐函数或振动方程）简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学条件简谐振动的动力学条件9 9第第6章章 机械振动机械振动2)周期周期T：物体作一次完全振动所需的时间。物体作一次完全振动所需的时间。频率频率：在单位时间内物体所作的完全振动的次数，它是周在单位时间内物体所作的完全振动的次数，它是周期的倒数。期的倒数。角频率角频率或或圆频率圆频率：频率频率 的的2 倍。倍。物

9、体离开平衡位置的最大位移或角位移。物体离开平衡位置的最大位移或角位移。(2)描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量 0：初相位初相位1)振幅振幅A：3)相位相位 =：确定振动系统的瞬时运动状态。：确定振动系统的瞬时运动状态。简谐振动可由振幅简谐振动可由振幅A、角频率、角频率 (或频率或频率、周期、周期T)和相位和相位 这三个特征量完全确定下来。这三个特征量完全确定下来。简简谐谐振振动动的的振振幅幅给给出出了了振振动动的的范范围围或或幅幅度度，简简谐谐振振动动的的角频率、频率或周期则给出了振动往复的快慢。角频率、频率或周期则给出了振动往复的快慢。1010第第6章章 机械振动机械振动简谐振动的各

10、阶导数简谐振动的各阶导数也都作简谐振动。也都作简谐振动。(4)简谐运动的速度和加速度简谐运动的速度和加速度(3)简谐振动的位移时间曲线简谐振动的位移时间曲线 振振幅幅A的的大大小小决决定定曲曲线线的的高高低低，角角频频率率 或或周周期期T决决定定曲曲线线的的密密集集和和疏疏散散，而而相相位位 决决定曲线在横轴上的位置。定曲线在横轴上的位置。xtOA-ATxtOA-A1111第第6章章 机械振动机械振动(5)简谐振动的旋转矢量表示简谐振动的旋转矢量表示设设有有一一矢矢量量 (大大小小等等于于振振幅幅A)，在在平平面面内内绕绕原原点点O以以角角速速度度(大大小小等等于于角角频频率率)逆逆时时针针旋

11、旋转转。称称 为为旋转矢量旋转矢量。简简谐谐量量x对对应应于于旋旋转转矢矢量量 在在x轴上的投影。轴上的投影。xxOA-AA AAA参考圆参考圆1212第第6章章 机械振动机械振动例例已知简谐振动表达式：已知简谐振动表达式：xA(0)A试画出振动曲线试画出振动曲线.Otx-A解：先画出旋转矢量图，然后再画出振动曲线解：先画出旋转矢量图，然后再画出振动曲线.xO1313第第6章章 机械振动机械振动(6)描述简谐振动瞬时运动状态的特征量描述简谐振动瞬时运动状态的特征量相位相位 振振幅幅和和频频率率不不能能完完全全确确定定振振动动系系统统在在任任意意瞬瞬时时的的运运动动状状态态(位位移移、速速度度和

12、和加加速速度度)。当当振振幅幅A和和角角频频率率 一一定定时时，简谐振动的瞬时位移、速度和加速度都决定于简谐振动的瞬时位移、速度和加速度都决定于 两两个个同同频频率率的的简简谐谐振振动动在在同同一一时时刻刻的的相相位位差差，恒恒等等于于它它们们的的初相位之差，即当初相位之差，即当 当当t=0时，物体的初始位移和速度分别为：时，物体的初始位移和速度分别为：则则相位的相对性：相位的相对性：对对于于单单个个简简谐谐振振动动来来说说，总总可可以以选选择择适适当当的的计计时时零零点点，使使初初相相位位 0=0；对对于于多多个个简简谐谐振振动动来来说说，它它们们之之间间的的相相位位差差 则则起了重要的作用

13、。起了重要的作用。时，有时，有 相位相位 =1414第第6章章 机械振动机械振动相位差相位差 有以下几种情况有以下几种情况(n=0,1,2,3,)：=2n，两振动步调一致，同相位两振动步调一致，同相位。=(2n+1)，两振动步调相反，反相位两振动步调相反，反相位。0 ，2 超前超前 1，x2(t)振动步调领先。振动步调领先。0，2落后落后 1，x2(t)振动步调落后振动步调落后。实际上，实际上，“x2比比x1领先领先 ”与与“x2比比x1落后落后(2 )”这两种说法是等价的。这两种说法是等价的。xOA1x1 A2x21515第第6章章 机械振动机械振动同相同相反相反相x2x1x2x11616第

14、第6章章 机械振动机械振动 2 超前超前 1 /2x2x1 2 落后落后 1 /2x2x11717第第6章章 机械振动机械振动解：解：(1)A/2 0?例例 一一质质点点沿沿x 轴轴作作简简谐谐运运动动，A=0.12 m，T=2s，当当t=0时时，质质点点离离开开平平衡衡位位置置的的位位移移 x0，且且向向 x 轴轴正正向向运运动动。求：求：(1)简谐运动表达式，并画出振动曲线；简谐运动表达式，并画出振动曲线；(2)t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度；(3)第一次通过平衡位置的时刻第一次通过平衡位置的时刻。A=0.12 m,1818第第6章章 机械振动机械振动

15、（2）t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度：时，质点的位置、速度、加速度：1919第第6章章 机械振动机械振动（3）第一次通过平衡位置的时刻：）第一次通过平衡位置的时刻：振幅矢量旋转角度振幅矢量旋转角度问问题题转转化化为为：已已知知旋旋转转角角速速度度=，问问旋旋转转 5 /6 需需要要多多少少时间？时间？还可以求还可以求“第二次第二次”旋转角度旋转角度11 /6平衡平衡位置位置2020第第6章章 机械振动机械振动1)代数方法代数方法(解析法或解析法或三角函数法三角函数法)：二、二、二、二、简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成1.同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率

16、的简谐振动的合成 设两个振动有不同的振幅和初相位设两个振动有不同的振幅和初相位:2121第第6章章 机械振动机械振动其中其中令令2)几何方法几何方法(矢量图解法或旋转矢量法矢量图解法或旋转矢量法)结论结论结论结论：仍仍然然是是同同频频率率的的简简谐谐振振动动。2222第第6章章 机械振动机械振动xO2323第第6章章 机械振动机械振动上面得到：上面得到：讨论：讨论：讨论：讨论：同相，合振幅最大。同相，合振幅最大。当当 ,1)2)当当 ，反相，合振幅最小。反相，合振幅最小。3)一般情况：一般情况：2424第第6章章 机械振动机械振动2.同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成

17、1)1)分振动分振动分振动分振动 2)2)合振动合振动合振动合振动可见，合振动不是简谐振动。可见，合振动不是简谐振动。随随缓变缓变随随快变快变合振动可看作振幅合振动可看作振幅 缓变的角频率为缓变的角频率为 的的“准简谐振动准简谐振动”。2525第第6章章 机械振动机械振动x1tx2txt包络线包络线2626第第6章章 机械振动机械振动3)3)拍拍拍拍:拍频拍频(单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数):频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动，合成时所产生的合振幅，时而加强时而减弱动，合成时所产生的合振幅，时而加强时而减弱作周期性变化的现

18、象。例如用音叉对弦。作周期性变化的现象。例如用音叉对弦。拍的周期拍的周期(合振动振幅强弱变化一次所需要的时间合振动振幅强弱变化一次所需要的时间)为为包络线包络线的的周期的一半周期的一半 例例两个同方向、不同频率谐振动的表达式分别为：两个同方向、不同频率谐振动的表达式分别为：则它们合振动的频率为则它们合振动的频率为 每秒的拍数每秒的拍数(拍频拍频)为为2727第第6章章 机械振动机械振动2828第第6章章 机械振动机械振动2929第第6章章 机械振动机械振动3 3.相互垂直的相互垂直的同频率的同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成xy0 这是一个椭圆方程，质点合振动这是一个椭圆方程，质点合振动的轨

19、迹一般是个的轨迹一般是个斜椭圆斜椭圆。具体形状。具体形状取决于相位差：取决于相位差：变形处理变形处理消去消去t3030第第6章章 机械振动机械振动xy0 xy03131第第6章章 机械振动机械振动xy0 y 超前超前 x /2，轨迹顺时针轨迹顺时针右旋右旋 y 落后落后 x /2，轨迹逆时针轨迹逆时针左旋左旋xy03232第第6章章 机械振动机械振动几种特殊情况：几种特殊情况：3333第第6章章 机械振动机械振动3434第第6章章 机械振动机械振动 如如果果两两个个互互相相垂垂直直的的振振动动频频率率成成整整数数比比，合合成成运运动动的的轨轨道道是是封封闭闭曲曲线线，运运动动也也具具有有周周期

20、期。这这种种运运动动轨轨迹迹的的图图形称为形称为李萨如图形李萨如图形(Lissajous figures)。反反过过来来，在在无无线线电电技技术术中中，利利用用李李萨萨如如图形图形可以测量频率：可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。图形去比较，就可得知另一个未知的频率。*4 4.相互垂直的不相互垂直的不同频率的同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成3535第第6章章 机械振动机械振动1

21、:21:32:3几幅典型的李萨如图形几幅典型的李萨如图形3636第第6章章 机械振动机械振动3737第第6章章 机械振动机械振动6-2 弹性系统的振动弹性系统的振动 振振动动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼振动阻尼振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动简谐振动)无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动欠阻尼振动欠阻尼振动临界阻尼振动临界阻尼振动过阻尼振动过阻尼振动一、简谐振动的自由振动一、简谐振动的自由振动一、简谐振动的自由振动一、简谐振动的自由振动(1)动力学方程动力学方程1)水平弹簧振子水平弹簧振子 一一个个劲劲度度系系数数为为k的的弹弹簧簧放放在在水水

22、平平桌桌面面上上，一一端端固固定定不不动动，另一端系着一个质量为另一端系着一个质量为m的物体。的物体。3838第第6章章 机械振动机械振动X0 x令令建建 立立 如如 图图的的 坐坐 标标系系，物物体体 质质 量量 m，坐坐 标标 x，所所 受受 回回 复复 力力 为为 F.此方程的通解为：此方程的通解为：此即简谐振动的动力学方程。此即简谐振动的动力学方程。1)弹簧质量不计弹簧质量不计2)物体大小不计物体大小不计约约定定3)阻力阻力(摩擦力摩擦力)不计不计3939第第6章章 机械振动机械振动2)2)单摆单摆单摆单摆(数学摆数学摆数学摆数学摆)1、细线质量不计，阻力不计、细线质量不计，阻力不计3

23、、逆时针转动为正、逆时针转动为正约约定定摆角摆角 在作简谐振动在作简谐振动mgTO 质点质点 m在重力和拉力作用下绕在重力和拉力作用下绕O点在竖直平面点在竖直平面内作定轴转动，根据定轴转动定理内作定轴转动，根据定轴转动定理设初始条件设初始条件 振幅和振幅和初相初相=？4040第第6章章 机械振动机械振动3)3)复摆复摆复摆复摆(物理摆物理摆物理摆物理摆)当当当当复复复复摆摆摆摆(转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量为为为为I I)离离离离开开开开平平平平衡衡衡衡位位位位置置置置转转转转过过过过 角角角角时时时时，受受受受到到到到一一一一个个个个使使使使其其其其转转转转向向向向平平平平衡衡衡衡位位位

24、位置的净力矩置的净力矩置的净力矩置的净力矩1、转轴摩擦不计、转轴摩擦不计3、空气阻力不计、空气阻力不计约约定定4、逆时针转动为正、逆时针转动为正则则则则或或或或方程及其解与单摆形式相同，可认为单摆是复摆的特例。方程及其解与单摆形式相同，可认为单摆是复摆的特例。4141第第6章章 机械振动机械振动(2)固有固有(圆圆)频率频率弹簧振子弹簧振子:固有频率决定于系统内在性质。固有频率决定于系统内在性质。单摆单摆:复摆复摆:(3)自由振动的谐振子自由振动的谐振子1)谐振子判据谐振子判据力力学学系系统统的的振振动动都都是是由由恢恢复复力力(弹弹性性力力或或重重力力等等)与与惯惯性性联联合合作作用用造造成

25、成的的。恢恢复复力力驱驱使使系系统统回回复复平平衡衡位位置置，而而惯惯性性则则阻阻止止系系统停留在平衡位置。统停留在平衡位置。力力与位移或角位移之间的线性关系与位移或角位移之间的线性关系，如，如 势能与势能与(角角)位移之间的平方函数形式，如位移之间的平方函数形式，如大大部部分分稍稍微微偏偏离离平平衡衡状状态态的的稳稳定定系系统统，都都可可以以看看成成是是谐谐振振子子。对对于于物物理理学学中中的的许许多多问问题题，谐谐振振子子都都可可以以作作为为一一个个近近似似的的或或相相当精确的模型。当精确的模型。4242第第6章章 机械振动机械振动X0 x动能动能势能势能m惯性质量惯性质量单摆的能量单摆的

26、能量?(4)(4)谐振子的机械能谐振子的机械能谐振子的机械能谐振子的机械能自由振动谐振子的线性恢复力是保守力，系统机械能守恒。自由振动谐振子的线性恢复力是保守力，系统机械能守恒。以水平弹簧振子为例：以水平弹簧振子为例：4343第第6章章 机械振动机械振动X2)能量随时间变化能量随时间变化1)能量随空间变化能量随空间变化 3)平均动能与平均动能与平均势能相等平均势能相等4)由初始能量求振幅由初始能量求振幅4444第第6章章 机械振动机械振动 例例例例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长的小球，弹簧伸长量为量为b。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。用手

27、将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。静平衡时静平衡时自然长度自然长度mgkb证明：证明：平衡平衡位置位置Oxx在任意位置在任意位置x处，小球所受到的处，小球所受到的合外力为：合外力为：可见小球作谐振动。可见小球作谐振动。故振动方程故振动方程bmgk(b+x)4545第第6章章 机械振动机械振动(5)物体在平衡位置附近的运动物体在平衡位置附近的运动 考考虑虑一一维维情情况况下下物物体体的的振振动动。取取稳稳定定平平衡衡位位置置为为坐坐标原点标原点O，则在，则在x=0处势能取极小值，即处势能取极小值，即与势能相

28、应的作用力与势能相应的作用力 在在x=0附近对附近对F(x)作泰勒级数展开，有作泰勒级数展开，有 而而在在x=0附近，如果略去附近，如果略去x的二阶和更高阶小量，则有的二阶和更高阶小量，则有可见，在没有受到阻力的情况下，物体在稳定平衡位置附近的可见，在没有受到阻力的情况下，物体在稳定平衡位置附近的小振动均可以看作简谐振动。小振动均可以看作简谐振动。k为一正常量为一正常量4646第第6章章 机械振动机械振动例例 两个气体分子之间的相互作用势能可以近似地表示为两个气体分子之间的相互作用势能可以近似地表示为称称为为伦伦纳纳德德 琼琼斯斯势势，式式中中r是是分分子子间间的的距距离离，r0是是分分子子间

29、间的的平平衡衡距距离离，Ep0是是正正的的常常量量。试试求求气气体体分分子子在在该该势势能能作作用用下下的振动角频率的振动角频率 .解解先求出等效劲度系数先求出等效劲度系数k,再求角频率再求角频率。其中其中 表示相对运动的两个分子的约化质量表示相对运动的两个分子的约化质量.4747第第6章章 机械振动机械振动二、谐振子的阻尼振动二、谐振子的阻尼振动二、谐振子的阻尼振动二、谐振子的阻尼振动阻尼振动：物体受到阻碍其运动的力的作用，从而使振阻尼振动：物体受到阻碍其运动的力的作用，从而使振动的振幅和能量逐渐衰减的振动。动的振幅和能量逐渐衰减的振动。阻尼种类：阻尼种类：摩擦阻尼摩擦阻尼(或粘滞阻尼或粘滞

30、阻尼)辐射阻尼辐射阻尼(1)阻尼振动的三种运动方式阻尼振动的三种运动方式 对在流体中运动的物体，对在流体中运动的物体，在运动速度不太大时，物体所受的在运动速度不太大时，物体所受的阻力和速度成正比：阻力和速度成正比：为为阻力系数阻力系数讨论在阻力作用下的弹簧振子，运动方程变为讨论在阻力作用下的弹簧振子，运动方程变为 4848第第6章章 机械振动机械振动则运动微分方程则运动微分方程引入阻尼系子引入阻尼系子，固有圆频率，固有圆频率将形如将形如 的解代入上式，得到特征方程的解代入上式，得到特征方程 按阻尼度按阻尼度*两个共两个共轭轭复根，复根，两个不同的两个不同的实实根，根，只有一个重根，微只有一个重

31、根，微分方程有代表振分方程有代表振动动物体物体三种运三种运动动方式方式的解：的解：(或或=1)的不同，特征方程有：的不同，特征方程有：其特征根是其特征根是4949第第6章章 机械振动机械振动1)1)欠阻尼：欠阻尼：欠阻尼：欠阻尼：*1,3)3)临界阻尼：临界阻尼：临界阻尼：临界阻尼：*=1,特征方程有两个共轭复根特征方程有两个共轭复根 则微分方程解为则微分方程解为 或或 *越大，振幅越大，振幅 随时间衰减得越快，随时间衰减得越快，“周期周期”越长。越长。特征方程有两个不同实根，则特征方程有两个不同实根，则 特征方程只有一个重根特征方程只有一个重根 弛豫时间弛豫时间 通过控制阻尼的大小，以满足不

32、通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。同实际需要。5050第第6章章 机械振动机械振动mgFVO则在切线方向则在切线方向在在 很小时变为很小时变为 则则铅球密度铅球密度:空气粘度空气粘度(20 C):T振幅按振幅按 衰减，在衰减，在 内振幅减小内振幅减小10%.可见，空气粘性对单摆的振幅的确有显著的影响。而对单摆的频可见，空气粘性对单摆的振幅的确有显著的影响。而对单摆的频率率,空气粘性几乎没有影响。空气粘性几乎没有影响。和周期和周期 例例例例 单摆由长度的细绳和半径单摆由长度的细绳和半径103 m的铅球构成。试说明的铅球构成。试说明空气的粘性对单摆的振幅和周期的影响。空气的粘性对单摆的振幅和

33、周期的影响。解解解解 利用斯托克斯粘滞公式，空气作用在铅球上的粘力为利用斯托克斯粘滞公式，空气作用在铅球上的粘力为5151第第6章章 机械振动机械振动三、受迫振动与共振三、受迫振动与共振三、受迫振动与共振三、受迫振动与共振 为为使使振振动动持持久久而而不不衰衰减减，可可以以利利用用外外界界驱驱动动力力对对系系统统不断地作功，向系统提供能量。不断地作功，向系统提供能量。(例如荡秋千例如荡秋千)受迫振动：受迫振动：系统在外界驱动力作用下的振动。系统在外界驱动力作用下的振动。1.系统受力系统受力 弹性力弹性力 k x，2.振动方程振动方程阻尼力阻尼力,周期性驱动力周期性驱动力Fd=Fd0cos d

34、t其中其中 或或 在欠阻尼情在欠阻尼情况下，方程况下，方程的解为的解为 5252第第6章章 机械振动机械振动3.稳稳态态解解：经经过过稍稍长长的的一一段段时时间间后后，可可认认为为暂暂态态解解已已经经衰减掉了，只留下稳态解衰减掉了，只留下稳态解(定态解定态解)特特点点：稳稳态态时时的的受受迫迫振振动动按按简简谐谐振振动动的的规规律律变变化化。将将稳稳态态解解代代入入受迫振动方程，可求出可求出受迫振动的振幅受迫振动方程，可求出可求出受迫振动的振幅B和初相和初相。(1)频率频率:等于等于外界驱动力外界驱动力的频率的频率 d.(2)振幅振幅:(3)初相初相:5353第第6章章 机械振动机械振动BO

35、O较较小小较较大大5454第第6章章 机械振动机械振动由由共振角频率共振角频率 可得：可得：共振振幅共振振幅 在阻尼很小，但在阻尼很小，但 时，时，但但 时，时，振动系统在未达到稳定状态以前，振动系统在未达到稳定状态以前，就可能因振动过于激烈而最破坏。就可能因振动过于激烈而最破坏。BOBr4.共振共振(1)当当 或或 时时，受迫振动的定态振幅，受迫振动的定态振幅B都很小，都很小，都与都与 无关；当无关；当时，振幅时，振幅B达到极大值达到极大值Br。(位移位移位移位移)共振共振共振共振：在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象。在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象。5555第第6章章 机械振动机械振

36、动塔科马桥倒塌事件塔科马桥倒塌事件塔科马桥倒塌事件塔科马桥倒塌事件 19401940年发生於美国华盛顿州塔科马年发生於美国华盛顿州塔科马年发生於美国华盛顿州塔科马年发生於美国华盛顿州塔科马 被小号波共振碎的灯泡被小号波共振碎的灯泡被小号波共振碎的灯泡被小号波共振碎的灯泡5656第第6章章 机械振动机械振动另外，另外，表示振动位移的相位比驱动力表示振动位移的相位比驱动力的相位落后的相位落后 /2，此时，此时，振动速度与驱动力同相位，振动速度与驱动力同相位，这就能时刻对振动系统作正功，这就能时刻对振动系统作正功，对增大速度有最高的效益，从对增大速度有最高的效益，从而振幅急剧增大。而振幅急剧增大。即发生即发生速度共振速度共振和和能量共振能量共振。时时