第六讲 中值定理的其它应.doc

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1、泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学授课对象授课题目 第六讲中值定理的其它应用课时数2教学目的（1） 正确理解函数在指定区间上单调性的判定法。（2） 会球函数的极值与最值。（3） 掌握用定义及二阶导数判定函数图形的凹凸性并求出拐点。会求曲线的水平与垂直渐进线重点难点重点：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定难点：函数单调性的判定，曲线凹凸的判定及拐点的求法与判定教学提纲第六讲中值定理的其它应用1.函数单调性的判定2.一元函数的极值（）极值是函数的局部概念（）极值点在驻点及不可导点取得（）极值点的判别法3.曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与其二阶导数的符号

2、之间的关系。设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在内，则在上的图形是凹的；(2) 若在内，则在上的图形是凸的;(3) （拐点）曲线的凹，凸的分界点称为拐点。.函数的最值假定在上连续，在开区间内可导，且至多存在有限个点处的导数为零或不存在的情况下讨论函数在上最大值和最小值的求法.函数的渐近线教学过程与内容教学后记第六讲中值定理的其它应用中值定理用于求函数的增减区间、判定函数的增减性、求函数的凹凸区间，求函数的拐点、求函数的极值与最值、求函数的渐近线等。1.函数单调性的判定函数在上连续，在内可导。(1)如果内0，那么函数在上单调增加；(2)如果内0，那么函数在上单调减少。2.一元函数

3、的极值（）极值是函数的局部概念（）极值点在驻点及不可导点取得（）极值点的判别法第一充分条件：设函数在处连续，若时，而时，则在处取得极大值；若时，而时，则处取得极小值；第二充分条件：设函数在处具有二阶导数且当时，函数在处取得极大值；当时，函数在处取得极小值。求函数的极值的步骤（1）求出导数；（2）求出的全部驻点以及使得导数不存在的点（3）用第一充分判别法考察这些点是否为极值点，如果是，再判断类型。例1：.求函数的极值【解】 由得的驻点为在处取得极小值 在由第二充分判别法无法判定的符号的单调性由第一充分判别法在处都没有极值。例：求函数的单调区间与极值。【解】=0驻点为，是极大值点，是极小值点，极大

4、值为，是极小值为单增区间；单减区间例：设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，判断f(x)有的极值。 y O x【解】略3.曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与其二阶导数的符号之间的关系。设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（）若在内，则在上的图形是凹的；（）若在内，则在上的图形是凸的;（）（拐点）曲线的凹，凸的分界点称为拐点。拐点必定在二阶导数等于0及不可导点取得。例3：求曲线的拐点及凹、凸的区间【解】函数的定义域为解这个方程的的符号+-+的凹凸性凹凸凹所以点是曲线的拐点。.函数的最值(1)最值必在驻点、不可导点和端点取得；(2)最值反映了函数的整体性质；(3)最值的求法：设在内的驻

5、点及不可导点为，比较的大小，其中最小的是上的最小值，最大的是上的最大值。例.求函数 （）的最值。【解】，由解得，比较，得到在上，的最小值为， 最大值为。.函数的渐近线例：求曲线的渐近线. 【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点.【解】 当时，极限均不存在，故不存在水平渐近线； 又因为 ，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处无定义，且，可见 x=0为铅直渐近线.例：曲线，渐近线的条数为【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=， = =，于是有斜渐近线：y = x. 例 求曲线的渐近线.【解】 得.再由（3）式 得从而求得此曲线的斜渐近线方程为又由易见，垂直渐近线方程为：