E.三次函数【YL】.doc

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1、三次函数专题一、考情分析：在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考的热点。2007年13题中档题 21题基础题；2008年14题 难题2009年3题基础题9题难题2010年未涉及2011年19题压轴题从今年江苏高考来看二次函数型问题【C级考点】普片涉及较多本于三次函数导函数为二次函数型，对三次函数问题的研究应注意强化。二、知识梳理:1.图像特征及零点分布：性质状态三 次 函 数 图 象说 明a对图象的影响当a0时，在+右向上伸展，-

2、左向下伸展。当a0时，在+右向下伸展，-左向上伸展。与x轴有三个交点,，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点 ,，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点与x轴有一个交点1。存在极值时即2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。2.极值情况：三次函数（a0）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：=，(1) 若，则在上为增函数；(2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.总结以上得到结论:三次函数,(1) 若，则在R上无极值；(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。三、经典讲练：【例题

3、1】：函数在时有极值，则的值分别为_ .【解析】由已知，得 即 解得，经检验：当时，不是极值点; 当时，符合题意.变式训练：【临沂高新实验中学】7已知函数，时，只有一个实数根；当3个相异实根，现给出下列4个命题：函数有2个极值点；函数有3个极值点；=4，=0有一个相同的实根=0和=0有一个相同的实根其中正确命题的个数是 。3【例题2】：【05全国二卷】设为实数，函数（）求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点解：（I） 若，则当x变化时，变化情况如下表：x100极大值极小值 所以f(x)的极大值是，极小值是 （II）函数 由此可知x取足够大的正数时，有，x取足够小的负数时有，所

4、以曲线与x轴至少有一个交点。结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上； 当f(x)的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上 所以当时，曲线与x轴仅有一个交点。（也可以直接用，）变式训练：a为何值时f（x）的图象与直线y=1恰有一个交点分析：令 极大值，或极小值例题3：14.对于总有成立，则= 。【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立。当时，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减，舍去。当时 若时在和 上单调递增，在上单调递减。所以

5、 当时在上单调递减，不符合题意，舍去。综上可知a=4.变式练习：【江苏扬州】14若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是 。例题4：（07全国II理22/22）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）的导数曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况：0g(x)00g(x) 增函数极大值减函数极小值增函数由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综

6、上所述，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即点评：（1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.变式练习：【启东中学08-09高二月考】20设函数的图象如图所示，且与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域的面积为。（1）求函数的解析式；（2）设，如果过点可作函数的图象的三条切线，求证：。解：（1）由图可知函数的图象经过（0，0）点 c

7、=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，=3x2+2ax+b 0=302+2a0+b，得b=0。则 3分又，（由图象知舍去）。 6分（2）由（1）可知，设函数在点处的切线方程为。若切线过点，则存在实数，使，即。令，则。当或时，；当时，。在时取得极大值，在时取得极小值。 11分如果过点可作函数的图象的三条切线， 则方程有三个相异的实数根， 。 14分 变式练习：【江都中学08-09学年高二第二次月考】已知函数在处取得极值.（）求函数的解析式； （）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；（）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围解：，依题意，即 ， 解得 （），当时，故在区间上为减函数，对于区间上任意两个自变量的值，都有 （），曲线方程为，点不在曲线上设切点为，则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得 过点可作曲线的三条切线，关于方程有三个实根，设，则，由，得或函数的极值点为，关于方程有三个实根的充要条件是，即，解得课外拓展：1.已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.【解析】（1），令，解得. 在上, .,.（2）设切点为，则所求切线方程为切线过点，解得或 切线方程为 即或.