全国卷3高考理科数学试题及答案.pdf

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1、绝密启用前绝密启用前普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注意事项：1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、一、选择题：选择题：本大题共本大题共1212小题小题,每小题每小题 5 5分分,共共 6060分。分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=(x,y)x y 1,B=(x

2、,y)y x,则 AIB 中元素的个数为A3B2C1D0222设复数 z 满足(1+i)z=2i,则z=A12B22C2D23某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据,绘制了下面的折线图根据该折线图,下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳4(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为A-80B-40C40D80 x2y25x,且与椭圆

3、5已知双曲线C：221(a0,b0)的一条渐近线方程为y 2abx2y21有公共焦点,则 C 的方程为123x2y21A8106设函数 f(x)=cos(x+x2y21B45x2y21C54x2y21D43),则下列结论错误的是3By=f(x)的图像关于直线 x=Df(x)在(8对称3Af(x)的一个周期为2Cf(x+)的一个零点为 x=6,)单调递减27执行下面的程序框图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为A5B4C3D28 已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为AB34C2D49等差数列an的首项为 1,公差不为 0

4、若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6项的和为A-24B-3C3D8x2y210已知椭圆 C：221,（ab0）的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2ab为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切,则 C 的离心率为A632B33x1C23D1311已知函数f(x)x 2xa(eAex1)有唯一零点,则 a=C12B1312D112 在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上 若uuu ruuu ruuu rAP=AB+AD,则+的最大值为A3B22C5D2二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题小题,每小题每小题

5、5 5 分分,共共 2020 分。分。x y 013若x,y满足约束条件x y2 0,则z 3x4y的最小值为_y 014设等比数列an满足 a1+a2=1,a1 a3=3,则 a4=_x 1，x 0，115设函数f(x)x则满足f(x)f(x)1的 x 的取值范围是_。22，x 0，16 a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最

6、小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题,考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 sinA+3cosA=0,a=27,b=2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点,且ADAC,求ABD 的面积18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶6 元,未售出的酸奶降价处理,以每

7、瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25,需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间20,25）,需求量为 300 瓶；如果最高气温低于20,需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：最高气温天数10,15）15,20）20,25）25,30）30,35）35,40）216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元）,当六月份这种酸

8、奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时,Y 的数学期望达到最大值？19（12 分）如图,四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,ACD 是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角 DAEC 的余弦值20（12 分）已知抛物线 C：y2=2x,过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4,-2）,求直线 l 与圆 M 的方程21（12 分）已知函

9、数f(x)=x1alnx（1）若f(x)0,求 a 的值；（2）设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1+)(1+的最小值（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）x 2+t,在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为（t 为参数）,直线 l2的参数y kt,1211)K(1+)m,求 m222nx 2 m,方程为设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C（m为参数）my,k（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设

10、l3：(cos+sin)-2=0,M 为 l3与 C 的交点,求 M 的极径23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 f（x）=x+1x2（1）求不等式 f（x）1 的解集；（2）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空,求 m 的取值范围绝密启用前一、选择题一、选择题1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A二、填空题二、填空题13.-1 14.-8 15.三、解答题三、解答题17.解：普通高等学校招生全国统一考试普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案理科数学试题正式答案（-14，+）16.（1）由已知得 tanA=3

11、，所以 A=在 ABC 中,由余弦定理得232，即c2+2c-24=03解得c （舍去），6c=428 4c24ccos（2）有题设可得CAD=2，所以BADBAC CAD61ABgADg sin26 1故ABD 面积与ACD 面积的比值为1ACgAD2又ABC 的面积为18.解：（1）由题意知,X所有的可能取值为 200,300,500,由表格数据知PX 200216 0.2901 4 2 sin BAC 23，所以 ABD的面积为3.2PX 300PX 50036 0.490257 4 0.4.90因此X的分布列为XP2003005000.20.40.4由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为

12、500,至少为 200,因此只需考虑200n500当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间20，,25,则Y=6300+2（n-300）-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n0.4+（1200-2n）0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n当200n 300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n所以n=300时,Y

13、的数学期望达到最大值,最大值为520元。19.解：（1）由题设可得,ABD CBD,从而AD DC又ACD是直角三角形,所以ACD=900取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO又由于ABC是正三角形，故BO AC所以DOB为二面角D AC B的平面角在RtAOB中，BO2 AO2 AB2又AB BD,所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故DOB=900所以平面ACD 平面ABC（2）由题设及（1）知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,向,uuu rOA的方向为x轴正方uuu rOA为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(1，0，0),B(

14、0，3，0),C(1，0，0),D(0，0，1)由题设知,四面体 ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1,从而 E 到平面 ABC 的距2离为 D 到平面 ABC 的距离的13 1,即 E 为 DB 的中点,得 E0，.故222uuu ruuu ruuu r3 1AD 1，0，1，AC 2，0，0，AE 1，2，2uuu rx z 0n ngAD 0，即设n n=x,y,z是平面 DAE 的法向量,则uuu r31xyz 0n ngAE 0，223可取n n=1,3,1uuu rm mgAC 0，设m m是平面 AEC 的法向量,则uuu同理可得m m 0,1,3rm mgAE 0，则c

15、os n n,m m n ngm m7n n m m777所以二面角 D-AE-C 的余弦值为20.解（1）设Ax1,y1,Bx2,y2,l:x my2x my 22由2可得y 2my 4 0,则y1y2 4y 2xy yy12y22又x1=,x2=,故x1x2=12=4224因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为所以 OAOB故坐标原点 O 在圆 M 上.（2）由（1）可得y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2+4=2m24故圆心 M 的坐标为m2+2，m,圆 M 的半径r 2y1y2-4g=-1x1x24m22m22uuu r uuu r由于圆 M 过点 P（4,-2）,因此APgB

16、P 0,故x14x24y12y220即x1x24x1+x2 y1y22y1 y220 0由（1）可得y1y2=-4，x1x2=4,所以2m m10,解得m 1或m 21.2当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为（3,1）,圆 M 的半径为10,圆 M 的方程为x3y110当m 221 91-,圆M的半时,直线l的方程为2x y4 0,圆心M的坐标为，42222859185径为,圆 M 的方程为x+y+4421621.解：（1）fx的定义域为0，+.若a 0,因为f=-+aln20,所以不满足题意；1212若a0,由f x1axa知,当x0,a时,f x0；当xa

17、，+xx时,f x0,所以fx在0,a单调递减,在a，+单调递增,故 x=a 是fx在x0，+的唯一最小值点.由于f10,所以当且仅当 a=1 时,fx 0.故 a=1（2）由（1）知当x1，+时,x1lnx0令x=1+11ln得1+nn221n,从而21111 1 11ln1+ln1+2+ln1+n+2+n=1-n12222222故1+1+121 1 1+ne2221 1 1+2,所以 m 的最小值为 3.2223而1+1+23.解：123,（1）fx2x1,3,x11 x 2x2当x1时,fx1无解；当1 x 2时,由fx1得,2x11,解得1 x2当x2时,由fx1解得x2.所以fx1的

18、解集为x x 1.（2）由fx x2 xm得m x1 x2 x2 x,而x1 x2 x2 x x+1+x 2 x2 x35=-x-+2454且当x 2352时,x1 x2 x x=.2454故 m 的取值范围为-，22.解：（1）消去参数t 得 l1的普通方程l1:y kx2；消去参数m 得 l2的普通方程l2:y 1x2ky kx2设 P（x,y）,由题设得,消去 k 得x2 y2 4y 0.1y x2k所以 C 的普通方程为x2 y2 4y 0（2）C 的极坐标方程为r2cos q2sin2q 40q 2 p q,p222rcosq sinq 4联立得cosq sin q=2cosq+sinq.q-2=0rcos q+sinq 故tan代入r21912sin2q=,从而cos q=，3101022cos q-sin q=4得r2=5,所以交点 M 的极径为5.