近世代数——映射.pdf

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1、2 2映射映射定义定义 2.12.1 设 A,B 是两个集合。若有一个对应法则，使a A，通过，存在唯一的元素b B与之对应。则称是 A到 B的一个映射，b称为 a在映射下的像，记为b=(a)，a 称为 b 在映射下的一个逆像（原像），A 称为的定义域(domain)，B 称为的协域(codomain)。注 “对应法则”有时也称为“映射法则”，即为；b B：所有的像都必须在 B中；唯一性：不能“一对多”，但可以“多对一”；记法：A B;a b(a)，a A；一 般 情 形，将A换 成 集 合 的 积A1 A2.An，则 有:A1 A2.An B;(a1,a2,.,an)b(a1,a2,.,an

2、),对(a1,a2,.,an)A1 A2.An。例 1 设集合A1 A2.An BR R，对(a1,a2,.,an)A1 A2.An，定义:A1 A2.An B;(a1,a2,.,an)b a1.an,22则是一个A1 A2.An到 B的映射。注：一般情形中，A1,A2,An,B中可以有相同的集合，但A1,A2,An不相同时，A1,A2,An的次序不能调换。例 2设A1 东，西，A2 南，B 高，低 则1:A1 A2 B;(西,南）高，不是映射。因为映射要满足每一个元(a1,a2)都要有一个像b。而2:A1 A2 B;(西,南）高；(东,南）低，是一个映射例 3 设A1 BR R，则:R R;a a,当a 1时；1 b,这里 b 1.2不是一个映射，因为当b2 1时，b=1,此时 1 在下的像不唯一。例 4 设A1 B Z(正整数集)，则：Z Z;a a 1不是一个映射。因为a 1时，(1)0 Z。定义定义 2.22.2 设1,2是A到 B 的两个映射，若对a A，1(a)2(a)则称1,2是相等的。记做12。注：类似可以定义映射相等的一般情形。例 5 设A B Z，定义1:Z Z;a 1 1(a)2:Z Z;a a02(a)则12。作业：作业：Page 6第 2 题