挑战中考数学压轴题(第七版精选) .pdf

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1、1.如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax2bx（a0）经过点 A和 x 轴正半轴上的点 B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标图 1121bx(b1)x（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别444交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC是以

2、点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由2.如图 1，已知抛物线y 图 13.如图 1，已知抛物线的方程 C1：y 1(x2)(xm)(m0)与 x 轴交于点 B、C，与my 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2,2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H

3、，使得BHEH 最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由图 14.如图 1，在RtABC 中，A90，AB6，AC8，点D 为边 BC 的中点，DEBC交边 AC 于点 E，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ90（1）求 ED、EC 的长；（2）若 BP2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1备用图5.如图 1，抛物线yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3

4、,0)、C(0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由6.如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰 三 角 形？若 存 在，求 点P的 坐 标；若 不 存 在，请

5、 说 明 理 由图 17.如图 1，抛物线y 123，与yx x4与 x 轴交于 A、B 两点（点B 在点 A 的右侧）42轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m,0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点Q，使BDQ 为直角

6、三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由338.如图 1，抛物线y x2x3与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y84轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4,0)，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式9.如图 1，抛物线y x 2x 3与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴相交于点 C，顶点为 D（1）直接写出 A、B、

7、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P 为线段 BC 上的一个动点，过点P 作PF/DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？设BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系2图 110.如图 1，二次函数y x px q(p 0)的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，1），ABC 的面积为254（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值

8、范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由1.（1）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H在 RtAOH 中，AO2，AOH30，所以 AH1，OH3所以 A(1,3)因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点，设yax(x2)，代入点A(1,3)，可得3图 233322 3所以抛物线的表达式为y x(x2)x x333322 333（2）由y，x x(x1)2333333得抛物线的顶点 M 的坐标为(1,)所以tanBOM 33a 所以BOM30所以AOM1503)，332 3得ta

9、nABO，AB 2 3，OM 33OA所以ABO30，3OM（3）由 A(1,3)、B(2,0)、M(1,因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150ABC 与AOM 相似，存在两种情况：BAOABA2 33时，BC 2此时 C(4,0)BCOM33BCOA，当3时，BC 3BA 32 3 6此时 C(8,0)BAOM，当2.（1）B 的坐标为(b,0)，点 C 的坐标为(0,b)4（2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC因此 PDPE设点 P 的坐标为(x,x)如图 3，联结 OP1b15所以 S四边形PCOBSPCOSPBOxbx b

10、x2b24281616 16解得x 所以点 P 的坐标为(,)55511b1（3）由y x2(b1)x(x1)(xb)，得 A(1,0)，OA14444如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOABAQA当，即QA2 BAOA时，BQAQOAQAOAb所以()2b1解得b 84 3所以符合题意的点Q 为(1,23)4如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么OQC90。因此OCQQOABAQA当时，BQAQOA此时OQB90QAOABOQA所以 C、Q、B 三点共线因此，即bQA解得QA 4此时 Q(1,4)bCOOA143.（1）将 M(2,2)代入

11、y 11(x2)(xm)，得2 4(2m)解得 m4mm111（2）当 m4 时，y (x2)(x4)x2x2所以 C(4,0)，E(0,2)44211所以 S BCEBCOE 62 622（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小HPEO设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么CPCOHP233因此解得HP 所以点 H 的坐标为(1,)3422（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 FCEBC由于BCEFBC，所以当，即BC2 CEBF时，BCEFBCCBBF1(x2)(xm)1FF EO2m设点 F 的

12、坐标为(x,(x2)(xm)，由，得mBF COx2m解得 xm2所以 F(m2,0)(m4)m24COBF mm4由，得所以BF 2mCEBFBFm 4(m4)m24由BC CEBF，得(m2)m 4m整理，得 016此方程无解如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，BEBC由于EBCCBF，所以，即BC2 BEBF时，BCEBFCBCBF1在 RtBFF中，由 FFBF，得(x2)(xm)x2m解得 x2m所以 F(2m,0)所以 BF2m2，BF 2(2m 2)222由BC2 BEBF，得(m2)2 2 22(2m2)解得m 22 2综合、，符合题意的m 为

13、22 24.（1）在 RtABC 中，AB6，AC8，所以 BC10在 RtCDE 中，CD5，所以ED CDtanC 531525，EC 444（2）如图 2，过点 D 作 DMAB，DNAC，垂足分别为 M、N，那么 DM、DN 是ABC 的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN34PMDM4所以QN PM，PM QN43QNDN3如图 3，当 BP2，P 在 BM 上时，PM133319此时QN PM 所以CQ CN QN 44444如图 4，当 BP2，P 在 MB 的延长线上时，PM53151531此时QN PM 所以CQ CN QN 4

14、4444QDDN3（3）如图 5，如图 2，在 RtPDQ 中，tanQPD PDDM4BA3在 RtABC 中，tanC 所以QPDCCA4由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF 是等腰三角形时，CDQ 也是等腰三角形如图 5，当 CQCD5 时，QNCQCN541（如图 3 所示）4445此时PM QN 所以BP BM PM 333335425CH如图 6，当 QCQD 时，由cosC，可得CQ CQ258257所以 QNCNCQ4（如图 2 所示）8847725此时PM QN 所以BP BM PM 33666不存在 DPDF 的情况这是因为DFPDQPDPQ（

15、如图 5，图 6 所示）如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP 也是等腰25三角形，PBPD在BDP 中可以直接求解BP 6所以5.（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3,0)两点，设 ya(x1)(x3)，代入点 C(0,3)，得3a3解得 a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 HBHPH由，BOCO，得 PHBH2BOCO所以点 P 的坐标为(1,2)图 2（3）点 M 的坐标为(1,1

16、)、(1,6)、(1,6)或(1,0)第（3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为(1,m)在MAC 中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图 3，当 MAMC 时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1此时点 M 的坐标为(1,1)如图 4，当 AMAC 时，AM2AC2解方程 4m210，得m 6此时点 M 的坐标为(1,6)或(1,6)如图 5，当 CMCA 时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6当 M(1,6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)6.（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 Rt

17、OBC 中，BOC30，OB4，所以 BC2，OC 2 3所以点 B 的坐标为(2,2 3)（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4,0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点 B(2,2 3)，2 3 2a(6)解得a 363322 3所以抛物线的解析式为y x(x4)x x663（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点 P 的坐标为(2,y)当 OPOB4 时，OP216所以 4+y216解得y 2 3当 P 在(2,2 3)时，B、O、P 三点共线（如图 2）当 BPBO4 时，BP216所以42(y 2 3)216解得y1 y2 2 3当 PBPO 时，PB2PO2所以42(y 2

18、3)2 22 y2解得y 2 3综合、，点P 的坐标为(2,2 3)，如图 2 所示7.（1）由y 1231x x4(x2)(x8)，得 A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)4241（2）直线 DB 的解析式为y x42113由点 P 的坐标为(m,0)，可得M(m,m4)，Q(m,m2m4)2421131所以 MQ(m4)(m2m4)m2m82424当 MQDC8 时，四边形 CQMD 是平行四边形解方程m2m8 8，得 m4，或 m0（舍去）此时点 P 是 OB 的中点，N 是 BC 的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以 MNNQ4所以 BC 与 MQ 互相平分所以四边形 CQBM

19、是平行四边形（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4)设点 Q 的坐标为(x,(x2)(x8)14141(x2)(x8)QGBH11如图 3，当DBQ90时，所以4GBHD28 x2解得 x6此时 Q(6,4)14(x2)(x8)QGDH4如图 4，当BDQ90时，2所以 2GDHBx解得 x2此时 Q(2,0)3338.（1）由y x2x3(x4)(x2)，848得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4,0)、B(2,0)对称轴是直线 x1（2）ACD 与ACB 有公共的底边 AC，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，点 B、D 到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的

20、平行线交抛物线的对称轴于点D，在 AC 的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 HDGCO3由 BD/AC，得DBGCAO所以BGAO4399所以DG BG，点 D 的坐标为(1,)444因为 AC/BD，AGBG，所以 HGDG2727而 DHDH，所以 DG3DG所以 D的坐标为(1,)44图 2图 3（3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2 个点 M以 AB 为直径的G 如果与直线 l 相交，那么就有 2 个点 M；如果圆与直线 l 相切，就只有 1 个点 M 了联结 GM，那么 GMl在 RtEGM 中，GM

21、3，GE5，所以 EM4M A3在 RtEM1A 中，AE8，tanM1EA1，所以 M1A6AE43所以点 M1的坐标为(4,6)，过 M1、E 的直线 l 为y x343根据对称性，直线 l 还可以是y x349.（1）A（1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是 x1（2）直线 BC 的解析式为 yx3把 x1 代入 yx3，得 y2所以点 E 的坐标为（1，2）把 x1 代入y x 2x 3，得 y4所以点 D 的坐标为（1，4）因此 DE=2因为 PF/DE，点 P 的横坐标为 m，设点 P 的坐标为(m,m 3)，点 F 的坐标为2(0,m2 2m 3)，因此FP (m

22、2 2m 3)(m 3)m23m当四边形 PEDF 是平行四边形时，DE=FP于是得到 m 3m 2解得m1 2，2m21（与点 E 重合，舍去）因此，当 m=2 时，四边形 PEDF 是平行四边形时设直线 PF 与 x 轴交于点 M，那么 OM+BM=OB=3因此11FPOM FPBM22139(m23m)3 m2m222S SBCF SBPF SCPFm 的变化范围是 0m355，所以 AB425设点 A 的坐标为（a，0），那么点 B 的坐标为（a，0）255设抛物线的解析式为y (x a)(x a)，代入点 C（0，1），得a(a)1 解221得a 或a 222因为二次函数的解析式y

23、x px q中，p 0，所以抛物线的对称轴在y轴右侧 因1此点 A、B 的坐标分别为(,0)，(2,0)2132所以抛物线的解析式为y (x)(x 2)x x 122OAOC2（2）如图 2，因为OAOB 1，OC1，所以 因此AOCCOB 所OCOB10.（1）因为 OC1，ABC 的面积为以ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB因此 m 的取值范围是（3）设点 D 的坐标为(x,(x)(x 2)如图 3，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于D，过点 D 作 DEx 轴于 E55m44121(x)(x 2)DECO112因为tanDAB tanOBC，所以因此解得1AEBO22x 255 3x 此时点 D 的坐标为(,)22 2过点 B 作 AC 的平行线交抛物线于 D，过点 D 作 DFx 轴于 F因为1(x)(x 2)DFCO52所以因此解得x 此 2 2tanDBF tanCAO，BFAO22 x5时点 D 的坐标为(,9)25 35综上所述，当 D 的坐标为(,)或(,9)时，以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直2 22角梯形