复数教学案.pdf

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1、1 1 课时课时知识与技能知识与技能教学目标教学目标过程与方法过程与方法3.13.1 复数的概念使学生了解学习复数的必要性，掌握复数的有关概念、复数的分类，初步掌握虚数单位的概念和性质、通过类比引入、分类讨论、化归与转化等数学思想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感、态度与情感、态度与价值观价值观感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用，进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育。教学重点、教学重点、重点：重点：虚数单位；复数集的构成；复数相等的应用。难点难点难点：难点：复数的概念；虚数与纯虚数的区别。教学方法教学方法本节课主要是概念的引入、深化、理解、应用，因此采用教师引导、学生探

2、究、教师共同总结的教学方法。教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、复习引入：一、复习引入：（学生阅读并讨论，回答。约 10分钟）1（阅读课本81-82页内容，了解实数系的扩充过程）数系扩充的脉络：2数集的表示方法：自然数集_整数集_有理数集_实数集_ 3阅读课本83-84，小组分析引入虚数的必要性二、概念形成：二、概念形成：（生阅读课本，小组合作完成下列填空，组内纠错，教师点评。15分钟）1规定：2设a a,b b都是_,形如_ 的数叫做复数。表示方法：_，其中实部是_虚部是_虚数单位是_注意：1）_2）_ 3_叫虚数；_叫纯虚数_叫复数集，用_表示，RC练习 1

3、（口答）练习 A 1、2；习题 3-1A 1实数_ 4复数z z纯虚数_虚数_非纯虚数_ 5复数相等：如果_ _我们说这两个复数相等，记作：_1练习 2（口答）习题 3-1A 3三、知识应用：三、知识应用：（15分钟）例 1 实数x取何值时，复数z z (x x 2 2)(x x 3 3)i i（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？学生分析思路并找一学生回答，然后学生板演，组内学生点评练习 3 实数x取何值时，复数z z (x x2 2 x x 2 2)(x x2 2 3 3x x 2 2)i i（1）是实数（2）是虚数（3）是纯虚数？例 2 求适合下列方程的x x和y y(x x,y

4、y R R)的值（1）(x x 2 2y y)i i 6 6x x (x x y y)i i；（2）(x x y y 1 1)(x x y y 2 2)i i 0 0学生分析思路，板演。教师点评，小结。强调复数问题实数化。2练习 4 求适合下列方程的x x和y y(x x,y y R R)的值（1）(x x 2 2y y)(2 2x x 3 3y y)i i 3 3 3 3i i；（2）(3 3x x y y 3 3)(x x y y 3 3)i i练习 5 试问x(xR)取何值时，复数(x2 x 2)(x23x 2)i是实数？是虚数？是纯虚数？四、归纳总结：四、归纳总结：（2 分钟）1知识：

5、2题型：3注意问题：五、达标检测：五、达标检测：（8 分钟）1求适合下列方程的x x和y y(x x,y y R R)的值（1）(3 3x x 2 2y y)(5 5x x y y)i i 1717 2 2i i；（2）(3 3x x 4 4)(2 2y y 3 3)i i 0 0（3）(x x y y)xyixyi 5 5 2424i i 2试用集合符号表示复数集、实数集、有理数集、整数集之间的关系。六、作业布置：六、作业布置：P55 3-1 B 1、3课后反思课后反思3第第 2 2 课时课时知识与技能知识与技能3.1.33.1.3 复数的几何意义复数的几何意义了解引进复数的必要性，了解数集

6、的扩充过程；理解复数的一些基本概念；了解复数的代数表示法及其几何意义。教学目标教学目标通过各种实例了解数的概念的发展，再现知识产生的过程；通过引过程与方法过程与方法入虚数单位的性质于研究实数的性质类比，归纳出复数的概念；展示复数的几何意义，培养学生的直观思维的能力。通过数集的扩充过程让学生感受人类认识问题发展科学的艰辛历情感、态度与价值情感、态度与价值观观程，培养学生学习数学的兴趣，引导他们发现和提出问题，并独立思考和研究问题，鼓励学生创造性的解决问题。教学重点、教学重点、难点难点重点：重点：复数的概念、代数表示方法。难点：难点：复数的几何意义及简单应用。本节是在小学初中和高中所学知识的基础上

7、介绍复数的概念、复数的代数形式及几何意教学方法教学方法义的，学生具备了一定的知识的基础，并且对新的知识怀着强烈的好奇心，具备了主动学习的心理基础和学习动力，便于课前预习和课堂学习小组的交流合作。教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、复习引人：一、复习引人：（3 分钟）1实数可以用数轴上的点来表示。实数一一对应数轴上的点(数)(形)2复数的代数形式？z a bi其中实部，虚部；虚数，纯虚数 3两个复数相等的定义思考：复数具有怎样的几何意义？二、知识的形成：二、知识的形成：(25分钟)学生阅读课本86页内容，完成下列内容，初步体会复数的几何意义，完成以下内容。（7 分

8、钟）复数z a bi一一对应有序数对a,b一一对应点 Za,b 1复平面的定义：在复平面内，叫实轴；叫虚轴。x轴的单位是；y轴的单位是 2复数的几何意义（1）复数的点的表示y04有序数对a,bx复数z a bi一一对应复平面内的点 Za,b（2）复数的向量表示y平面向量OZ复数z a bi一一对应复平面内的点 Za,b 3复数的绝对值(复数的模)(1)复数模的定义：对应平面向量OZ的长度|OZ|，即复数z a bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离，称为复数的模。（2）计算公式：|a bi|=（3）几何意义：4.共轭复数：（1）共轭复数的定义：两个复数的实部虚部则称这两个复数互为共轭复

9、数；（2）z的共轭复数表示为（3）共轭复数的性质：两个共轭复数的模；表示两个共轭复数的点关于对称。0 x阅读课本8687例题1、2、体验知识的简单应用。（8分钟）按学习小组交流讨论存在的问题并解决，完成基本练习课本88练习A2、3、4（10分钟）三、知识的深化三、知识的深化（15分钟）1.已知复数 z=(m m 6)+(m m 2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m 允许的取值范围。m2m6 03 m 2m(3,2)(1,2)解：由得2m m2 0m 2或m 1表示复数的点所在象限的问题转化复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题（几何问题）（代数问题）2.求z1 3 4i，z213

10、i的模和它们的共轭复数。22小组交流思考：(1)满足|z|=2(zR)的 z 值有几个？(2)满足|z|=2(zC)的 z 值有几个？这些复数z对应的点在复平面上构成怎样的图形？3.设zC,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？（1）|z|2；（2）2|z|3小组交流讨论，小组代表发言。巩固练习：89页练习B1、2四、归纳总结：四、归纳总结：（2 分钟）1.知识：2.题型：3.数学思想与方法：五、达标检测五、达标检测（5 分钟）1.设z a bia,bR和复平面内的点Za,b对应，a,b必须满足什么条件，才能使点Z 位于：（1）实轴上？（2）右半平面（不包括虚轴）？52.设zC,满足下列条件

11、，在复平面内，复数z对应的点 Z 的集合是什么图形？（1）|z|1（2）z的实部大于 2（3）1|z|2（4）|z|1六、布置作业：六、布置作业：必做：课本89页习题A5、8选做:课本90页习题B26第第 3 3 课时课时知识与技能知识与技能3.2.13.2.1 复数的加法和减法复数的加法和减法掌握复数的代数形式的加减乘除运算法则，能熟练地进行复数代数形式的运算；理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目.让学生领悟到“转化”这教学目标教学目标过程与方法过程与方法一重要数学思想方法；通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决

12、问题的能力。培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力；培养学生的数情感、情感、态度与态度与形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良价值观价值观的解题方法；培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.教教 学学 重重重点：重点：复数的运算法则及复数的有关性质点、难点点、难点难点：难点：是复数乘法运算律的理解复数的加减运算，学生不难掌握。乘法类比多项式的运算法则进行，而不必记忆公式，比较容教学方法教学方法易掌握。除法学生掌握好其公式特点即可。教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、复习引入：一、复习引入：（

13、3 分钟）1复数、点、向量之间的关系2复数的代数表示：复数点学生回顾，学习小组成员回答。向量（教师提问引出课题）实数可以进行加减运算，向量也可以，那么复数也能进行加减运算。学生看课本P91例1 上面部分，完成学案的概念形成。二、概念形成：二、概念形成：（10分钟）1设z1 a bi，z2 c di，a,b,c,d R，规定z1 z2显然，两个复数的和仍然是。且容易验证：对于任意复数z1，z2，z3，有z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)即：复数的加法运算满足交换律、结合律。7 2复数的相反数：由复数加法的定义有，复数a bi的相反数为。3根据复数加法及相反数的定义

14、，两个复数的减法法则如下：z1 z2(a bi)(c di)显然，两个复数的差仍然是。4复数加减法运算法则：(a bi)(c di).即:两个复数相加(减)，就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。学生看课本，学习小组互相交流，得出复数加减法的定义。教师找学习小组，成员自己起来回答。（大约5分钟）完成学案。然后学生做例 1、2 及练习1、2教师找学生板演例 1、2，完成例1、2 和练习后，小组交流答案、订正答案。得出定义后，教师找学生板演例 1，例 2，然后让学生点评，得出解题方法，然后做后面的练习1，2，大约 15 分钟（让学生通过预习，对复数的加减运算有初步的了解，根据导学案把基础知识

15、掌握好。学生通过做例1，掌握复数的加减运算。）思考题：说明两个共轭复数的差，或者是 0，或者是纯虚数。（学习小组讨论，然后小组内成员之间交流）教师调动学生讨论，以学习小组为单位进行讨论。大约5分钟完成。三、概念深化：三、概念深化：（7 分钟）复数加减法运算的几何意义：（1）复数加法的运算的几何意义：。（2）复数减法的运算的几何意义：。0Z1x0Z1xyZ2yZ2让学习小组交流，找学生板演复数加法与减法的几何意义（作图）教师先让学生看书自学，同时教师在黑板上画出两个直角坐标系，为下面让学生板演做铺垫。（通过学习小组交流，达到知识的深化，使学生对复数的加减法及其几何意义达到掌握程度）8四、应用举例

16、：四、应用举例：（30分钟）例 1 已知z1 3 2i，z21 4i，计算z1+z2，z1-z2。（通过本例题让学生对复数加减运算法则进行应用，）练习：1.(43i)(5 7i)2.(5i)(3 2i)3.(3 2i)(3 2i)4.0(5 4i)5.(3(4 2i)6.(35i 7i)例 2 计算(25i)(3 7i)(5 4i)（通过例2 让学生得出复数的加减混和运算的方法，实部与实部的加减，虚部与虚部的加减运算）练习：1.(45i)(3 2i)2.(3 2i)(45i)3.(63i)(3i 2i)4.5(3 2i)5.(3 2i)(5i)(4 7i)6.(1i)(1i)(5 4i)(3

17、7i)例 3 已知z1 53i，z2 1 4i，z3 4i通过几何作图，求z1 z2 z3对应的向量，再用计算加以验证。（通过例3 让学生理解复数加减运算的几何意义）练习：1.通过几何作图，求两个复数和对应向量，再利用计算加以验证。（1）z1 2i，z2 13i（2）z11 2i，z2 13i2.通过几何作图，求两个复数差对应向量，再利用计算加以验证。（1）z1 53i，z2 1 4i（2）z1 3i，z2 3i五、归纳总结：五、归纳总结：（5 分钟）（小组交流，总结本节主要内容，让学生建立知识体系，达到质的提高）1.知识要点：2.题型方法：3.注意事项：六、达标检测：六、达标检测：（5 分钟

18、）1.已知z1 a bi，z2 c di，a,b,c,d R，若z1z2是纯虚数，则（）A.a c 0且b d 0 B.a c 0且b d 0C.a c 0且b d 0 D.a c 0且b d 092.已知z m ni(m,n R)，则z z等于（）A.2m B.2n C.2m D.2n3.若 P，Q 两点分别对应复数23i，1 i，则向量PQ对应的复数为（）A.1 i B.1 2i C.3 4i D.3 4i4.（选做）复数z132(10 a2)i，z2(2a 5)i，若z1 z2是实数，求实数a的值。a 51 a七、布置作业：七、布置作业：习题 A：1，2.学生整理，并完成练习八、课堂小结

19、八、课堂小结:利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：（可让学生归纳）求出函数y f(x)在点x0处的导数f(x0)得切线方程y f(x0)f(x)(x x0)注：点(x0,f(x0)是曲线上的点10第第 4 4 课时课时知识与技能知识与技能3.2.23.2.2 复数的乘法掌握复数的代数形式的加减乘除运算法则，能熟练地进行复数代数形式的运算；理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目.让学生领悟到“转教学目标教学目标过程与方法过程与方法化”这一重要数学思想方法；通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。培养

20、学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力；培养学情感、态度与情感、态度与价值观价值观生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良的解题方法；培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.重点：复数的运算法则及复数的有关性质教学重点、难点教学重点、难点难点：是复数乘法运算律的理解复数的加减运算，学生不难掌握。乘法类比多项式的运算法则进行，而不必记忆公式，教学方法教学方法比较容易掌握。除法学生掌握好其公式特点即可。教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、复习回顾一、复习回顾（5 分钟）问题1:我们已经学习过复数

21、的加减法,如何进行？类似于实数集的何种运算？(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 类“合并同类项”(配合板书牵引)问题2:那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？（教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课。）二、概念形成二、概念形成（10分钟）1设z1 a bi,z2 c di,a,b,c,d R,定义z1z2=2两个复数的乘积仍为（教师强调：复数的乘积仍为复数。）3由定义出发，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施：z1z2=（强调：必须在所得结果

22、中把i2换成-1，再把实部、虚部分别合并。）4复数乘法运算满足：（1）交换律：11（2）结合律：（3）对加法的分配律：（学生看课本，填写学案。复数的乘法满足的运算法则，可让学习小组分组课下加以验证。）三、概念应用三、概念应用（25分钟）例 1 已知z1 2i,z2 34i，计算z1z2学生口答，教师点评。练习 1：计算（1）(3 2i)(7 i)（2）(1i)(1i)（3）(48i)i（4）i(112i)（5）(3 4i)3（6）(32i)i2（三名学生板书，其余学生在学案上完成，学生点评板书情况。）练习 2：在下列各题中，分别求zz和z（1）z 3 4i（2）z 3 4i（3）z 512i（

23、4）z 512i2（学生自主完成，并验证zz与z的关系，学生回答，教师点评。）例 2 求证：(1)z z z22 z;(2)z2(z);(3)z1 z2 z1 z222小结：两个共轭复数的乘积等于（教师引导学生设出z,z，证明过程由学生自主完成。教师强调结论：zz z z与复数的桥梁。）例 3计算(12i)222是沟通实数（学生自主完成，订正答案。体会复数的乘方运算。）类比实数正实数幂的运算法则导出复数的正整数幂的运算法则：对复数z z,z z1 1,z z2 2和自然数m m,n n有：m mn nn nz z z z；(z z)；(z z1 1 z z2 2)。m mn n思考：计算i1,

24、i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9并归纳出结论。（在复数的乘方运算中，经常用到i的方幂，学生计算：i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9的值，并观察，归纳总结出in的周期性并强调in的周期T=4,及in的性质：i4n1,i4n1 i,i4n2 1,i4n3 i）12（此结论由学习小组探究得出，教师适当补充。）例 4计算：i37;i28;i19;i90。学生自主完成，订正答案。通过此例，加深对i的幂的结果认识，进一步深化对i 幂的周期性的理解。练习：计算：i23;i352;i1000;i3333;i1997学生自主完成，口答方法。例 5 计算(1)(1i)2;(2)(1

25、i)2;(3)(1i)2000（1）、（2）由学生完成，（3）学习小组讨论，回答做题方法，教师点评：因为i具有周期性，解题时要灵活运用，或适当变形，创造条件转化为i的计算问题，一般的有1i 2i）2四、课堂小结四、课堂小结（2 分钟）1知识要点：2题型方法：3注意事项：五、达标检测五、达标检测（8 分钟）1计算1i 2i3 3i5 4i7 2已知复数z z (1 1 i i)2 2，则z z z z的值为（）A -4i i B 4i i C -4 D 4 3计算：（1）(0 0.2 2 0 0.3 3i i)()(0 0.5 5 0 0.4 4i i)（选做）（2）(1 1 2 2i i)()

26、(2 2 i i)()(3 3 4 4i i)六、布置作业六、布置作业：必做：P97 5、（3）（4）6、7、（2）（3）13i13i选做：1.计算：222.设复数x z是实系数方程ax bx c 0的虚根，证明x z也是该方程的根。3.设1323313in，探求（n为大于 1 的整数）的值。2第第 5 5 课时课时知识与技能知识与技能算。复数的除法掌握复数的代数形式的除法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的运能运用除法运算法则计算有关复数除法运算的题目。让学生领悟到“转教学目标教学目标过程与方法过程与方法化”这一重要数学思想方法；通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、

27、解决问题的能力。培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力；培养学生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训情感、态度与情感、态度与价值观价值观练他们的优良的解题方法；培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.教学重点难点：重点：重点：复数的除法法则。教学重点、难点教学重点、难点难点：难点：复数除法运算使用多媒体教学辅助手段，从感性和理性的角度认识复数的加减乘除运算，引导学生思教学方法教学方法考探索，从解决问题的过程中构建新的知识体系。教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、复习引入：一、复习引入：（5 分钟）

28、1.复数的加、减、乘运算：已知两个复数z1 a bi,z2 c diz1 z2；z1 z2运算满足2.i=i=i=i是以为周期的。3.共轭复数的性质：若z a bi则z=（1）|z|z|；（2）z1 z2；z1 z2（3）zz；特别地当|z|1时，zz 234n（通过复习，让学生对以前的知识加以巩固，提出问题，复数也可以进行除法运算。）二、概念的形成：二、概念的形成：（10分钟）（学生看课本P95，填学案，理解并掌握复数如何运算。）1.定义复数的倒数：已知复数z a bi，如果存在一个复数，使14则z叫做z的倒数，记作：。思考：怎样求z 的倒数？（学生思考，小组讨论，得出结果）设：11 x y

29、ix R,y R则z(x yi)a bizz两边同乘（a bi）得：整理得：因此：1 x yi=z1zz|z|2显然：（通过学生看书，讨论，学生自己完成对复数求倒数的掌握，可以找学生展示自己的理解，其他学生进行完善。）2.复数的除法法则：(a bi)c di实质：3.复数的商：把满足c di(x yi)a bi的复数x yi叫做复数z a bi除以复数a bi=c dic di的商。（通过自主学习，让学生理解并掌握复数除法的运用。）三、知识的应用：三、知识的应用：（10分钟）例 1计算1 2i3 4i（通过本例题使学生掌握复数除法的运算法则）练习：（1）2i2 i2i1（2）（3）（4）7 4

30、i4 i1i2i81i例 2计算1i（通过本例题使学生对复数的除法与幂的混和运算，可以先从化简，再进行幂的运算）练习：（1）11i21i21（2）11i四、归纳总结四、归纳总结（5 分钟）（学生思考、总结，小组讨论，找学生展示，完成知识的巩固与升华）1.知识：152.题型与方法：五、达标检测：五、达标检测：（5 分钟）1.11是实数吗？zz22.z2x yi 512ix,yR，求z3.求一个复数z，使得z 164为实数，且|z 2|2z周末综合练习周末综合练习1.（全国一 4）设aR R，且(ai)2i为正实数，则a（）A2B1C0D12.（全国二 2）设a，bR R且b 0，若复数(abi)

31、3是实数，则（）Ab 3a22Ba 3b222Cb 9a22Da 9b223.（四川卷）复数2i1i()（）4（）4（）4i（）4i4.（安徽卷 1）复数i3(1i)2（）A2B2 C2iD2i5.（山东卷 2）设z的共轭复数是z，或z+z=4,zz8，则z等于（）z（A）1（B）-i (C)1 (D)i6（江西卷 1）在复平面内，复数z sin 2icos2对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7.（湖北卷 11）设z2 z1iz1(其中z1表示 z1的共轭复数)，已知 z2的实部是1，则 z2的虚部为。8.（湖南卷 1）复数(i)等于()A.8B.8 C.8iD.8

32、i1i3i(2 i)等于（）12iAiBiC1D1210.（重庆卷 1）复数 1+2=（）i9.（陕西卷 1）复数(A)1+2i2(B)1-2i(C)-1(D)311.（福建卷 1)若复数(a-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（）A.112.（广东卷 1）已知0 a 2，复数z的实部为a，虚部为 1，则z的取值范围是（）B.2C.1 或 2D.-1，5)A(1，3)B(1C(1，5)D(1，3)13.（浙江卷 1）已知a是实数，a i是纯虚数，则a=（）1i（A）1（B）-1（C）2（D）-21714.（辽宁卷 4）复数Ai1511的虚部是（）2i12i111BCiD555z2

33、（）15.（海南卷 2）已知复数z 1i，则z 1A.2B.2 C.2i D.2i16、设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是（）A.adbc=0 B.acbd=0 C.ac+bd=0 D.ad+bc=017、复数13i等于3 iAi Bi C3i D3i18、已知复数 z 满足（33i）z3i，则 z（）A323333333i B.i C.i D.i244224419、如果复数(m2i)(1mi)是实数，则实数m（）A1 B1 C2 D 220、复数(1i)的虚部为（）（A）3（B）3（C）2（D）2二填空题：1.（上海卷 3）若复数z满足z i(2 z)(i是虚数单位)，则z=2.（北京卷 9）已知(ai)2i，其中i是虚数单位，那么实数a。3.（江苏卷 3）4、复数18231i表示为abia,bR，则a b=1i1 2i的值是_.3 i2