2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案).pdf-得力文库

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1、2018 年高考数学理科试卷（江苏卷）数学数学一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位置上置上1已知集合A0,1,2,8，B 1,1,6,8，那么AB 2若复数z满足iz 12i，其中 i 是虚数单位，则z的实部为3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平均数为4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为5函数fxlog2x1的定义域为6某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，

2、则恰好选中2 名女生的概率为7已知函数y sin2x是 x 的图象关于直线x 对称，则的值232x2y28在平面直角坐标系xOy中，若双曲线221a 0,b 0的右焦点Fc,0到一条ab渐近线的距离为3c，则其离心率的值是2xcos,0 x 229 函数fx满足fx4 fxxR，且在区间(2,2上，fx，1x,2 x 02则ff15的值为10 如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为11 若函数fx 2x ax 1aR在0,内有且只有一个零点，则fx在1,1上32的最大值与最小值的和为12在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y 2x上在第一象限内的点，B5,0，以

3、AB为直径的圆C与直线l交于另一点D 若ABCD 0，则点A的横坐标为13在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，ABC 120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为14已知集合A x|x 2n1,nN，B x|x 2,nN将AB的所有元素n从小到大依次排列构成一个数列an，记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn12an1成立的n的最小值为二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6 6小题，共计小题，共计9090分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分

4、14 分）在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1 AB,AB1 B1C1求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC16（本小题满分 14 分）已知,为锐角，tan（1）求cos2 的值；（2）求tan()的值54，cos()5317（本小题满分 14 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧MPN（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上设OC

5、与 MN 所成的角为（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18（本小题满分 16 分）1如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C 过点(3,)，焦点2F1(3,0),F2(3,0)，圆 O 的直径为F1F2（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于A,B两点若OAB的面积为19（本小题满分 16 分）

6、记f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数若存在x0R R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S 点”2 6，求直线 l 的方程7（1）证明：函数f(x)x与g(x)x2 2x 2不存在“S 点”；（2）若函数f(x)ax21与g(x)lnx存在“S 点”，求实数 a 的值；bex（3）已知函数f(x)x a，g(x)对任意a 0，判断是否存在b 0，使函x2数f(x)与g(x)在区间(0,)内存在“S 点”，并说明理由20（本小题满分 16 分）设an是首项为a1，公差为 d 的等差数列，bn是首项为b1，公比为 q 的等比

7、数列（1）设a1 0,b11,q 2，若|anbn|b1对n 1,2,3,4均成立，求 d 的取值范围；（2）若a1 b1 0,mN N*,q(1,m2，证明：存在d R R，使得|anbn|b1对n 2,3,m1均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）数学数学(附加题附加题)2121【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算

8、步骤步骤A选修 41：几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若PC 2 3，求 BC 的长B选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)23已知矩阵A A 12（1）求A A的逆矩阵A A1；（2）若点 P 在矩阵A A对应的变换作用下得到点P(3,1)，求点 P 的坐标C选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线 l 的方程为sin()2，曲线 C 的方程为 4cos，求直线 l6被曲线 C 截得的弦长D选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)

9、若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求x2 y2 z2的最小值【必做题】第【必做题】第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域内作答，解内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤学科答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤学科#网网22（本小题满分 10 分）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值23(本小题满分 10 分)设

10、nN N*，对 1，2，n 的一个排列i1i2排列i1i2in的一个逆序，排列i1i2in，如果当 s0），则年总产值为 4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，）2），2设 f（）=sincos+cos，0，()cos2sin2sin(2sin2sin1)(2sin1)(sin1)则f()=0，得=令f，6当（0，()0，所以 f（）为增函数；）时，f6当（，）时，f()0，设h(x)x33x2ax a因为h(0)a 0，h(1)13a a 2 0，且 h（x）的图象是不间断的，32x0所以存在x0（0，1），使得h(

11、x0)0，令b x0，则 b0e(1 x0)bex函数f(x)x a，g(x)，x2bex(x 1)则f(x)2x，g(x)x2由 f（x）与 g（x）且 f（x）与 g（x），得322x0ex2bexx a x0 x a xe(1 x)x0，即（*）x3xbe(x 1)2xe(x 1)2x 2x 02x0 xx2e(1 x)0此时，x0满足方程组（*），即x0是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”2020本小题主要考查等差和等比数列的定义、本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项

13、3,即即当n 2,3,m1)，qn12qn1b1 d b1,m1时，d 满足n1n1因为q(1,m2，则1 qn1 qm 2，qn12qn1从而b1 0，对n 2,3,b1 0，n1n1因此，取 d=0 时，|anbn|b1对n 2,3,m1均成立,m1均成立qn1 2qn1下面讨论数列的最大值和数列的最小值（n 2,3,m1）n 1n1qn2qn12nqnqnnqn1 2n(qnqn1)qn 2当2 n m时，nn1n(n1)n(n 1)当1 q 2时，有qn qm 2，从而n(qnqn1)qn 2 01mqn1 2因此，当2 n m1时，数列单调递增，n 1qn1 2qm2的最大值为故数列

14、n 1m设f(x)2x(1 x)，当 x0 时，f(x)(ln21 xln2)2x 0，所以f(x)单调递减，从而f(x)f（0）=1qn1q(n 1)11n 2n(1)f()1，当2 n m时，n1qnnnn 1qn1因此，当2 n m1时，数列单调递减，n1qn1qm的最小值为故数列n1mb1(qm 2)b1qm因此，d 的取值范围为,mm数学数学(附加题附加题)参考答案参考答案2121【选做题】【选做题】A选修 41：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分 1010 分分证明：证明：连结 OC因为 PC

15、与圆 O 相切，所以 OCPC又因为 PC=2 3，OC=2，所以 OP=PC2OC2=4又因为 OB=2，从而 B 为 RtOCP 斜边的中点，所以BC=2B选修 42：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分 1010 分分23解：解：（1）因为A A，det(A A)22131 0，所以 A A 可逆，1223从而A A11223x3x3 13 A A（2）设 P(x，y)，则，所以y1y11，12 因此，点 P 的坐标为(3，1)C选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐

16、标方程等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分 1010 分分解：解：因为曲线 C 的极坐标方程为=4cos，所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方程为sin()2，6则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为，6所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点设另一个交点为 B，则OAB=6，2连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA=所以AB 4cos 2 36因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为2 3D选修 45：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分本小题主要考查柯西不等式

17、等基础知识，考查推理论证能力满分 1010 分分证明：证明：由柯西不等式，得(x2 y2 z2)(12 22 22)(x 2y 2z)2因为x2y 2z=6，所以x2 y2 z2 4，当且仅当xyz244时，不等式取等号，此时x，y，z，122333所以x2 y2 z2的最小值为 422【必做题】本小题主要考查空间向量本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识异面直线所成角和线面角等基础知识，考查考查运用空间向量解决问题的能力运用空间向量解决问题的能力满分满分1010分分学科学科%网网解解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，O

18、O1OC，OO1OB，以OB,OC,OO1为基底，建立空间直角坐标系Oxyz因为AB=AA1=2，所以A(0,1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2)P(31,2)22，（1）因为P为A1B1的中点，所以BP (从而31,2),AC1(0,2,2)22，|cos BP,AC1|故|BP AC1|BP|AC1|1 4|52 23 10203 10因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为20Q(3 1,0)22，（2）因为Q为BC的中点，所以AQ (因此3 3,0)22，AC1(0,2,2),CC1(0,0,2)设n n=（x，y，

19、z）为平面AQC1的一个法向量，33x y 0,AQn n 0,22AC1n n 0,即2y 2z 0.则不妨取n n (3,1,1)，设直线CC1与平面AQC1所成角为，sin|cos CC1,n n|则|CC1n n|CC1|n n|25255，5所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为52323【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分能力满分 1010 分分解：解：（1）记(abc)为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有(123)=0，(132)=

20、1，(213)=1，(231)=2，(312)=2，(321)=3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)2对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5（2）对一般的n（n4）的情形，逆序数为0 的排列只有一个：12n，所以fn(0)1逆序数为 1 的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(1)n 1为计算fn1(2)，当 1，2，n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，fn1(

21、2)fn(2)fn(1)fn(0)fn(2)n当 n5 时，fn(2)fn(2)fn1(2)fn1(2)fn2(2)f5(2)f4(2)f4(2)n2n2，(n1)(n2)4 f4(2)2n2n2因此，n5 时，fn(2)2绝密启用前绝密启用前20182018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数数学（理）学（理）（北京卷）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科:网第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列

22、出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 A（A）0，1B=（B）1，0，1（D）1，0，1，2（C）2，0，1，2（2）在复平面内，复数（A）第一象限（C）第三象限1的共轭复数对应的点位于1i（B）第二象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A）（C）1276（B）（D）56712（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122

23、若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（A）32 f（C）1225f（B）322f（D）1227f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（C）3（B）2（D）4（6）设 a a，b b 均为单位向量，则“a a 3b b 3a a b b”是“a ab b”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线x my 2 0的距离，当，m 变化时，d 的最大值为（A）1（C）3（B）2（D）4（8）设集合A(x,y)|x y 1,ax y 4,

24、x ay 2,则（A）对任意实数 a，(2,1)A（B）对任意实数 a，（2，1）A3时，（2，1）A2（C）当且仅当 af（0）对任意的x（0，2都成立，则f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_x2y2x2y2（14）已知椭圆M：221(a b 0)，双曲线N：221若双曲线 N 的两条渐近线abmn与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学科网科网（15

25、）（本小题 13 分）在ABC 中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求 AC 边上的高（16）（本小题 14 分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G 分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=217（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交（17）（本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型电影部数好评率第一类1400.4第二类500.2第三类3000.15第四类2000.25第五类8000.2第六类5100.1好

26、评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“k1”表示第 k 类电影得到人们喜欢，“k 0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系（18）（本小题13分）设函数f(x)=ax2(4a 1)x 4a 3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f(1)）处的

27、切线与x轴平行，求a；（）若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围（19）（本小题 14 分）已知抛物线 C：y2=2px 经过点P（1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，QM QO，QN QO，求证：11为定值（20）（本小题14分）设 n 为正整数，集合 A=|(t1,t2,素(x1,x2,xn)和(y1,y2,tn),tn0,1,k 1,2,n对于集合 A 中的任意元,yn)，记1M（，）=(x1 y1|x1 y1|)(x2 y2|

28、x2 y2|)2(xn yn|xn yn|)（）当 n=3 时，若(1,1,0)，(0,1,1)，求 M（,）和 M（,）的值；（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,，当,相同时，M（，）是奇数；当,不同时，M（，）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素,，M（，）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由学科&网绝密启用前绝密启用前20182018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案理科数学试题参考答案一、选择题

29、1A2D3B4D5C6C7C8D二、填空题9an 6n3143 1；21012112312313y=sinx（答案不唯一）三、解答题（15）（共 13 分）解：（）在ABC 中，cosB=14 3，B（，），sinB=1cos2B 7278ab73=4 3，sinA=由正弦定理得sin AsinBsin A27B（，），A（0，），A=2233114 33 3=()272714（）在ABC 中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在ABC 中，sinC=AC 边上的高为3 32h3 33 3，h=BCsinC=7，BC142（16）（共 14 分）解：（）

30、在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1为矩形又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面 BEF（）由（I）知 ACEF，ACBE，EFCC1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE平面 ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系E-xyz由题意得 B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）0，1)，CB=(1，2，0)，CD=(2，设平面 BCD 的法向量为n n (a，b c)，2a c 0n nCD 0，a 2b 0n nCB 0令 a=2，则 b=-1，c=-4，平面

31、BCD 的法向量n n (2，1，4)，2，0)，又平面 CDC1的法向量为EB=(0，n nEB|n n|EB|2121cos n nEB=由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为2121（）平面 BCD 的法向量为n n (2，F（0，0，2），1，4)，G（0，2，1）2，1)，n nGF 2，n n与GF不垂直，GF=(0，GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交（17）（共 12 分）解：（）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是20

32、00.25=50故所求概率为50 0.0252000（）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为 P（AB AB）=P（AB）+P（AB）=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0.750.2=0.35（）D1D4D2=D5D3D6（18）（共 13 分）解：（）因为f(x)=ax2(4a 1)x 4a 3ex，所以 f（x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR R）=ax2（2a+1）x+

33、2exf(1)=(1a)e由题设知 f(1)=0，即(1a)e=0，解得 a=1此时 f(1)=3e0所以 a 的值为 1（）由（）得 f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若 a11，则当 x(，2)时，f(x)0所以 f(x)0 在 x=2 处取得极小值若 a11，则当 x(0，2)时，x20，ax1x10所以 2 不是 f(x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是（19）（共 14 分）解：（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为

34、y=kx+1（k0）y2 4x由得k2x2(2k 4)x 1 0y kx 11，+）2依题意(2k 4)2 4k21 0，解得 k0 或 0kb0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的ab离心率为5，点A的坐标为(b,0)，且FB AB 6 2.3（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：y kx(k 0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若AQPQ5 2sinAOQ(O为原点)，求k的值.4(20)(本小题满分本小题满分 1414 分分)已知函数f(x)ax，g(x)logax，其中a1.（I）求函数h(x)f(x)xlna的单调区间；（II）若曲线y f(x)在点(x1,f(

35、x1)处的切线与曲线y g(x)在点(x2,g(x2)处的切线平行，证明x1 g(x2)1e2ln lna；lna（III）证明当a e时，存在直线l，使l是曲线y f(x)的切线，也是曲线y g(x)的切线.参考答案：参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 5 分，满分分，满分 4040分分（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 5 分，满分分，满分 3030分分（9）4i（10）2（11）121（12）2511

36、（13）48)（14）(4，三、解答题三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分 13 分（）解：在ABC中，由正弦定理ab，可得bsin A asin B，sin Asin B又由bsin A acos(B)，得asinB acos(B)，即sinB cos(B)，可得666tanB 3又因为B(0，)，可得B=33（）解：在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有b2 a2c22accosB 7，故b=7由bsin A acos(B)，可得sin A6sin2A 2si

37、n Acos A 37因为ac，故cos A 27因此4 3，cos2 A 2cos2A11774 31133 3727214所以，sin(2A B)sin2AcosBcos2AsinB（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分（）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（）（i）解：随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，33kCk4C3P（X=k）=C37（k=0

38、，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为XP013511235218353435随机变量X的数学期望E(X)035135 235335112184127（ii）解：设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=7所以，事件A发生的概率为7（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题

39、的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13 分依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，2，1），N（1，0，2）366（）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）设n n0=(x，y，z)为平面CDE2y 0，n n0DC 0，的法向量，则即2x 2z 0，不妨令n n DE 0，03z=1，可得n n0=（1，0，1）又MN=（1，2，1），可得MN n n

40、0 0，又因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE 2，2)，CF=（）解：依题意，可得BC=（1，0，0），BE (1，（0，1，2）设n n=（x，y，z）为平面BCEx 0，n nBC 0，的法向量，则即x 2y 2z 0，n nBE 0，不妨令z=1，可得n n=（0，1，1）设m m=（x，y，z）为平面BCFx 0，m mBC 0，的法向量，则即y 2z 0，m mBF 0，不妨令z=1，可得m m=（0，2，1）因此有 cos=|m m|n n|m mn n3 1010，于是 sin=10101010所以，二面角EBCF的正弦值为（）解：设线段DP的长为h（h0，2），则点P的

41、坐标 2，h)为（0，0，h），可得BP (1，易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故cos BPDC BPDCBP DC2h2 52h25，32由题意，可得=sin60=3.3，解得h=330，2 所以线段DP的长为（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.（I）解：设等比数列an的公比为q.由a11,a3 a2 2,可得q2q2 0.因为q 0，可得q 2，故an 2n1.设等差数列bn的公差为d，由a4 b3b5，可得b13d 4.由a5 b4 2b6，可得3b113d

42、 16,从而b11,d 1,故bn n.所以数列an的通项公式为an 2n1，数列bn的通项公式为bn n.12n 2n1，故（II）（i）由（I），有Sn122(12n)Tn(2 1)2 n n 2n1n2.12k1k1nknk（ii）证明：因为(Tk+bk+2)bk(2k1k 2k 2)kk2k12k22k1，(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)k 2k 1(Tkbk2)bk23222423()()所以，3243k1(k 1)(k 2)n2n22n12n2()2.n2n1n2（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲

43、线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分14 分（）解：设椭圆的焦距为c252c，由已知知a29，又由a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得，FB得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为 a，AB 2b，由FB AB 6 2，可x2y2194（）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）由已知有y1y20，故PQ sinAOQ y1 y2又因为AQ y2，而sinOABAQ5 2sinAOQ，可得AQ 2yOAB=4，故2由PQ45y1=9y2y kx，由方程组x2y21，消去4 9x，可得y16k9k2 4易知直线AB的方程为y kx，x+

44、y2=0，由方程组x y 2 0，消去x，可得y2k 1由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=3平方，整理得56k250k 11 0，解得k 2，或k 28所以，k111的值为2或281112k9k2 4，两边（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（I）解：由已知，h(x)ax xlna，有h(x)axlna lna.令h(x)0，解得x=0.由a1，可知当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)(,0)00极小值(0

45、,)+h(x)所以函数h(x)的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,).（II）证明：）证明：由f(x)axlna，可得曲线y f(x)在点(x1,f(x1)处的切线斜率为axlna.1由g(x)1.x2lna1，可得曲线y g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为xlna因为这两条切线平行，故有axlna 11，即x2ax1(lna)21.x2lna两边取以a为底的对数，得logax2 x12log2lna 0，所以x1 g(x2)2ln lna.lna1（III）证证明明：曲线y f(x)在点(x1,ax)处的切线l1：y ax1 ax1lna(x x

46、1).曲线y g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2：y logax21e1(x x2).x2lna要证明当a e时，存在直线l，使l是曲线y f(x)的切线，也是曲线y g(x)的切线，只需证明当a e时，存在x1(,)，x2(0,)，使得l1和l2重合.1e1x1a lna 1x lna2即只需证明当a ee时，方程组有解，ax1 x ax1lna log x 11a2lna由得x2112ln lnax1x1，代入，得a x a lna x 0.11ax1(lna)2lnalna因此，只需证明当a e时，关于x1的方程有实数解.12ln lna设函数u(x)a xa lna x，即

47、要证明当a ee时，函lnalnaxx1e1数y u(x)存在零点.u(x)1(lna)2xax，可知x(,0)时，u(x)0；x(0,)时，u(x)单调递减，又1(lna)2u(0)1 0，u1a 0，故存在唯一的x0，且x00，使2(lna)1得u(x0)0，即1(lna)2x0ax0 0.由此可得u(x)在(,x0)上单调递增，在(x0,)上单调递减.u(x)在x x0处取得极大值u(x0).因为a e，故ln(lna)1，所u(x0)ax0 x0ax0lna x01e以12ln lna12ln lna22ln lna x 002lnalnax0(lna)lnalna.下面证明存在实数t

48、，使得u(t)0.由（I）可得ax1 xlna，当x 有u(x)(1 xlna)(1 xlna)x12ln lna12ln lna(lna)2x2 x1lnalnalnalna1时，lna，所以存在实数t，使得u(t)0因此，当a e时，存在x1(,)，使得u(x1)0.所以，当a e时，存在直线l，使l是曲线y f(x)的切线，也是曲线y g(x)的切线.#1e1e20182018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷时间 120 分钟，满分 150 分一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1 1

49、6 6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7 71212 题每题题每题 5 5 分）分）1.行列式4125的值为_.x2 y21的渐近线方程为_.2.双曲线43.在(1 x)的二项展开式中，x项的系数为_.（结果用数值表示）4.设常数aR，函数f(x)log2(xa)。若f(x)的反函数的图像经过点(3,1)，则72a _.5.已知复数z满足(1i)z 17i（i是虚数单位），则z _.6.记等差数列an的前n项和为Sn，若a3 0，a6 a714，则S7_.7.已知2,1,1,1,2,3。若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0,)上递减，则2 _.8.在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，

50、且EF 2，B(2,0)，E、F是y轴上的两个动点，则AEBF的最小值为_.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个。从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是_.（结果用最简分数表示）10.设等比数列an的通项公式为an q则q _.n1（nN N*），前n项和为Sn。若limSn1，na2n12x1611.已知常数a 0，函数f(x)x的图像经过点Pp,、Qq,。若2 ax552pq 36pq，则a _.12.已知实数x1、x2、y1、y2满足：x1 y11，x2 y21，x1x2 y1y222221，则2x1 y112x2 y212的

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