正交变换与迭代矩阵特征值计算精品文稿.ppt

《正交变换与迭代矩阵特征值计算精品文稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正交变换与迭代矩阵特征值计算精品文稿.ppt（15页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、正交变换与迭代矩阵特征值计算正交变换与迭代矩阵特征值计算第1页，本讲稿共15页1本讲内容本讲内容n 正交变换正交变换n QR 迭代迭代l Householder 变换变换l Givens 变换变换l QR 分解分解l Schur 分解分解l Hessenberg 矩阵矩阵第2页，本讲稿共15页2Householder 变换变换l 性质性质(1)对称：对称：(2)正交：正交：(3)对合：对合：(4)保模：保模：(5)定义定义：设设 且且 ，称矩阵，称矩阵为为Householder变换变换，或，或初等反射矩阵初等反射矩阵。第3页，本讲稿共15页3Householder 变换变换定理定理：设设 x,

2、y Rn,x y 且且|x|2=|y|2，则存在，则存在 n 阶阶 Householder 变换变换 H，使得，使得 y=Hx 证：证：取取第4页，本讲稿共15页4Householder 变换变换定理定理：对任意的非零向量对任意的非零向量 x Rn，存在，存在 Householder 变换变换 H，使得，使得 Hx=e1 其中其中 =sgn(x1)|x|2,e1=(1,0,.,0)T，l 的选取是为了的选取是为了防止在实际计算中防止在实际计算中 与与 x1 互相抵消互相抵消l 若若 x1=0,则取则取 =|x|2第5页，本讲稿共15页5Givens 变换变换定义定义：称矩阵称矩阵为为 Give

3、ns 变换变换，或，或 旋转变换旋转变换。ij第6页，本讲稿共15页6Givens 变换变换l 性质性质(1)只有四个元素与单位矩阵不同只有四个元素与单位矩阵不同(2)正交：正交：(3)用用 G 左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值(4)用用 G 右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值第7页，本讲稿共15页7Givens 变换变换定理定理：设设 x=(x1,.,xi,.,xj,.,xn)T，且，且 xi,xj 不全为零，不全为零，则存在则存在 Givens 变换变换 G=G(i,j,)，使得，使得 第8页，本讲稿共1

4、5页8QR 分解分解定理：（定理：（QR 分解）分解）设设 n 阶实矩阵阶实矩阵 A 非奇异，则存在正交分解非奇异，则存在正交分解 A=QR其中其中 Q 是正交矩阵是正交矩阵，R 是非奇异上三角矩阵是非奇异上三角矩阵。若限定若限定 R 的对角线元素为正数，则此分解唯一的对角线元素为正数，则此分解唯一。第9页，本讲稿共15页9QR 分解算法分解算法设设(j=1,.,n)(1)构造构造 H1 使得使得 H1 a1=1e1，令，令(2)构造构造 使得使得 ，令，令l 算法（算法（QR 分解）分解）第10页，本讲稿共15页10QR 分解算法分解算法以此类推，经过以此类推，经过 n-1 步，可得步，可得

5、 Householder 矩阵矩阵 H1,H2,.,Hn-1，使得，使得令令 ，即得，即得第11页，本讲稿共15页11QR 分解举例分解举例例：例：用用 Householder 变换计算变换计算 的的 QR 分解分解 解：解：(板书板书)第12页，本讲稿共15页12Schur 分解分解 定理：（定理：（Schur 分解）分解）设设 A 为为 n 阶实矩阵，则存在正交矩阵阶实矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得，使得 其中其中 Rii 是一阶或二阶方阵。是一阶或二阶方阵。l 若若 Rii 是一阶方阵，则它就是是一阶方阵，则它就是 A 的的特征值特征值；l 若若 Rii 是二阶方阵，则其特征值为是二阶方阵，则其特征值为 A 的两个的两个共轭复特征值共轭复特征值。拟上三角矩阵拟上三角矩阵第13页，本讲稿共15页13QR 迭代迭代 QR 迭代算法迭代算法l 计算矩阵的所有特征值和特征向量计算矩阵的所有特征值和特征向量l 计算过程计算过程(1)令令 A1A(2)对对 k=1,2,.，计算计算 Ak 的的 QR 分解分解 计算计算直到直到 Ak+1 收敛到一个收敛到一个 拟上三角阵拟上三角阵第14页，本讲稿共15页14作业作业教材教材 277 页，习题页，习题 10第15页，本讲稿共15页15