第七章线性变换.ppt

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1、第七章 线性变换,7.1 线性映射7.2线性变换的运算7.3 线性变换和矩阵,7.4 不变子空间7.5 特征值和特征向量7.6 可以对角化矩阵,课外学习8：一类特殊矩阵的特征值,惠州学院数学系,当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。-拉格朗日（Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。-华罗庚（19101985）,惠州学院数学系,7.1 线性映射,一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、例. 7.1.2 线性变换的象与核.二、 教学目的: 1准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是

2、一个线性变换（线性映射） 2正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核三、 重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核,惠州学院数学系,7.1.1 线性映射的定义、例,设F是一个数域，V和W是F上向量空间.,定义1 设是V 到W 的一个映射. 如果下列条件被满足，就称是V 到W 的一个线性映射：对于任意 对于任意容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：对于任意 和任意,惠州学院数学系,在中取 ，对进行数学归纳，可以得到：（1）（2）,例1 对于 的每一向量 定义 是 到 的一个映射，我们证明，是一个线性映射.,例2 令H是

3、中经过原点的一个平面.对于 的每一向量，令 表示向量在平面H上的正射影.根据射影的性质， 是 到 的一个线性映射.,惠州学院数学系,惠州学院数学系,例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向量令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到W的一个线性映射，叫做零映射.,例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意 定义容易验证，是V 到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k = 0，那么就是V 到V的零映射.,惠州学院数学系,例6 取定F的一个n元数列

4、对于 的每一向量 规定 容易验证，是 到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或 上一个线性型.,例7 对于Fx 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是Fx到自身的一个线性映射.,惠州学院数学系,例8 令Ca, b是定义在a, b上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一 规定 仍是a, b上一个连续实函数，根据积分的基本性质，是Ca, b到自身的一个线性映射.,惠州学院数学系,7.1.2 线性变换的象与核,定义2 设是向量空间V到W的一个线性映射, (1) 如果 那么 叫做 在之下的象.(2) 设 那么 叫做 在 之下的原象.,

5、定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间在之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空间在之下的原象是V 的一个子空间.,惠州学院数学系,特别，向量空间V 在之下的象是W 的一个子空间，叫做的象, 记为 即另外，W 的零子空间 0 在之下的原象是V 的一个子空间，叫做的核，记为即,惠州学院数学系,定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么(i) 是满射(ii) 是单射证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii)如果是单射,那么ker()只能是含有唯一的零向量.反过来设ker() = 0. 如果 那么 从而 所以 即是单射

6、.,惠州学院数学系,如果线性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一个线性映射. 建议同学给出证明.,惠州学院数学系,7.2 线性变换的运算,一、内容分布7.2.1 加法和数乘7.2.2线性变换的积7.2. 3线性变换的多项式二、 教学目的:掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的多项式.三、 重点难点: 会做运算.,惠州学院数学系,7.2.1 加法和数乘,令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V 的一个线性变换.我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设定义: 加法: 数乘: , 那么是V的一个线性变换.可以证明:

7、和 都是V 的一个线性变换.,惠州学院数学系,所以 是V的一个线性变换,令 ，那么对于任意 和任意,所以k是V的一个线性变换.,惠州学院数学系,线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意 ,以下等式成立:,(1),(2),令表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意 有：,(3),设 的负变换指的是V到V的映射容易验证，也是V的线性变换，并且,（4）,惠州学院数学系,线性变换的数乘满足下列算律：,这里k,l是F中任意数，,是V的任意线性变换.,定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.,惠州学院数学系,7.2.2线性变换的积,设 容易证

8、明合成映射 也是V上的线性变换，即 我们也把合成映射 叫做与的积，并且简记作 。除上面的性质外，还有：,对于任意 成立。,惠州学院数学系,证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地验证。设 我们有,因而（9）成立。,惠州学院数学系,7.2.3 线性变换的多项式,线性变换的乘法满足结合律：对于任意 都有,因此,我们可以合理地定义一个线性变换的n次幂,这里n是正整数。,我们再定义,这里表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。,惠州学院数学系,这个线性变换叫做当 时f (x)的值，并且记作,（1）因为对于任意 我们也可将 简记作 ，这时可以写,惠州学

9、院数学系,（2）带入法：如果 并且,那么根据L(V )中运算所满足的性质,我们有,惠州学院数学系,7.3 线性变换和矩阵,一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵二、教学目的: 1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定n 阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换 2由向量关于给定基的坐标，求出()关于这个基的坐标 3已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵。三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵。,惠州学院数学系,7.3.1 线性变换的矩

10、阵,现在设V是数域F上一个n维向量空间，令是V的一个线性变换，取定V的一个基 令,惠州学院数学系,设,N 阶矩阵A 叫做线性变换关于基 的矩阵. 上面的表达常常写出更方便的形式:,(1),惠州学院数学系,7.3.2 坐标变换,设V是数域F上一个n 维向量空间, 是它的一个基, 关于这个基的坐标是 而()的坐标是 问: 和 之间有什么关系?,设,惠州学院数学系,因为是线性变换，所以,（2）,将（1）代入（2）得,惠州学院数学系,最后，等式表明， 的坐标所组成的列是,综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：,定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，是V的一个线性变换，而关于V的一个基 的矩

11、阵是,惠州学院数学系,如果V中向量关于这个基的坐标是 ，而()的坐标是 ，,那么,惠州学院数学系,例1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令是将 的每一向量旋转角的一个旋转. 是 的一个线性变换.我们有,所以关于基 的矩阵是,设 ，它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么,惠州学院数学系,7.3.3 矩阵唯一确定线性变换,引理7.3.2 设V是数域F上一个n 维向量空间， 是V的一个基，那么对于V 中任意n个向量 ，有且仅有 V 的一个线性变换，使得:,惠州学院数学系,我们证明，是V的一个线性变换。设,那么,于是,设 那么,惠州学院数学系,这就证明了是V的一个线性变

12、换。线性变换显然满足定理所要求的条件：,如果是V的一个线性变换，且,那么对于任意,从而 ,惠州学院数学系,定理7.3.3 设V 是数域 F 上一个n 维向量空间， 是V 的一个基，对于V 的每一个线性变换，令关于基 的矩阵A与它对应，这样就得到V 的全体线性变换所成的集合L（V）到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一个双射，并且如果 ,而 ， 则 (3) (4),证 设线性变换关于基 的矩阵是A。那么 是 的一个映射。,惠州学院数学系,是F上任意一个n阶矩阵。令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反过来，设,显然关于基 的矩阵就是A. 这就证明了如上建立的映射是 的双射.,惠州学院数学系,设 我

13、们有,由于是线性变换, 所以,因此,所以关于基 的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然的。,惠州学院数学系,推论7.3.4 设数域F上n 维向量空间V 的一个线性变换关于V 的一个取定的基的矩阵是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 关于这个基的矩阵就是 .,惠州学院数学系,我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意义加以说明:,1. 取定n 维向量空间V的一个基之后, 在映射: 之下, (作为线性空间),惠州学院数学系,研究一个抽象的线性变换, 就可以转化为研究一个具体的矩阵. 也就是说, 线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究

14、矩阵.,2. 我们知道, 数域F上一个n 维向量空间V 同构于 , V上的线性变换,转化为 上一个具体的变换:,也就是说, 线性变换都具有上述形式.,惠州学院数学系,7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵 相似矩阵,定义：设 A，B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵. 如果存在F上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式成立，那么就说B与A相似，记作： .,n阶矩阵的相似关系具有下列性质：,1. 自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为2. 对称性：如果 ，那么 ；因为由,惠州学院数学系,事实上，由 得,设线性变换关于基 的矩阵是 A , 关于基 的矩阵是 B , 由基 到基 的过渡矩阵T, 即:,惠

15、州学院数学系,惠州学院数学系,7.4 不变子空间,一、内容分布 7.4.1 定义与基本例子 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简 7.4.3 进一步的例子二、教学目的 1掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法 2会求给定线性变换的一些不变子空间三、重点难点 验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一些不变子空间。,惠州学院数学系,7.4.1 定义与基本例子,令V是数域F上一个向量空间,是V的一个线性变换.,定义 V的一个子空间W说是在线性变换之下不变, 如果 . 如果子空间W在之下不变，那么W就叫做的一个不变子空间.,惠州学院数学系,例1

16、V本身和零空间0显然在任意线性变换之下不变.例2 令是V的一个线性变换，那么的核Ker()的像Im()之下不变.例3 V的任意子空间在任意位似变换之下不变. 例4 令是 中以某一过原点的直线L为轴，旋转一个角的旋转，那么旋转轴L是的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间.,惠州学院数学系,例5 令F x是数域F上一切一元多项式所成的向量空间， 是求导数运对于每一自然数n，令 表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间. 那么 在不变.,设W是线性变换的一个不变子空间.只考虑在W上的作用，就得到子空间E本身的一个线性变换，称为在W上的限制，并且记作 这样，对

17、于任意 然而如果 那么 没有意义。,惠州学院数学系,7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简,设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个线性变换。假设有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基 再补充成V的一个基 由于W在之下不变，所以 仍在W内，因而可以由W的基 线性表示。我们有：,惠州学院数学系,因此，关于这个基的矩阵有形状,而A中左下方的O表示一个 零矩阵.,惠州学院数学系,由此可见，如果线性变换有一个非平凡不变子空间，那么适当选取V的基，可以使与对应的矩阵中有一些元素是零。特别，如果V可以写成两个非平凡子空间的 直和： 那么选取 的一个基 和 的一个基 凑成V的一个基 当 都在之下不

18、变时，容易看出，关于这样选取的基的矩阵是,这里 是一个r阶矩阵,它是 关于基,惠州学院数学系,一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间 的直和，并且每一子空间都在线性变换之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成V的一个基，关于这个基的矩阵就有形状,这里 关于所取的 的基的矩阵.,的矩阵，而 是 nr阶矩阵，它是 关于基 的矩阵。,惠州学院数学系,例6 令 是例4所给出的 的线性变换. 显然 是一维子空间L与二维子空间H的直和，而L与H在 之下不变. 取L的一个非零向量 ，取 H 的两个彼此正交的单位长度向量 那么 是 的一个基，而关于这个基的矩阵是,惠州学院数学系,7.4.3 进一步的例子,

19、例7 如果 ，那么,惠州学院数学系,例8 如果 ，那么对任何,证： ，那么,惠州学院数学系,惠州学院数学系,例10 是V上一个线性变换，W 是 生成的子空间： . 则.,证：,必要性：W中不变子空间，,惠州学院数学系,惠州学院数学系,（2）对任何包含的不变子空间W， 故 ， 即 包含W的一个最小子空间.,惠州学院数学系,解 算 的坐标为（用“( )”表示取坐标）,中线性无关,惠州学院数学系,的坐标排成的行列式为：,惠州学院数学系,注意到 与 是等价向量组，因此,一.内容分布 7.5.1 引例 7.5.2 矩阵特征值和特征向量的定义 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法 7.5.4 矩阵特征值

20、和特征向量的性质小结二.教学目的 1.理解特征值和特征向量的概念 2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法 3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质三.重点难点 矩阵的特征值和特征向量的求法及性质,惠州学院数学系,7.5.1 引例,在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.,它们之间的关系为,写成矩阵形式，就是,惠州学院数学系,记,，,，,，,即(2)式可写成,由上例我们发现，矩阵A乘以向量 恰好等于 的4倍，倍数4及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量.,惠州学院数学系,7.5.2 特征值和特征向量的定义,定义1：设A是一个n阶矩阵，是 F 中的一个

21、数，如果存在 V 中非零向量 ，使得,那么称为矩阵A的一个特征值，称为A属于特征值的特征向量.,例,又,惠州学院数学系,(1) 如果向量 是矩阵 的特征向量，则k = _,2,B.,C.,D.,惠州学院数学系,7.5.3 特征值和特征向量的计算方法,有非零解,惠州学院数学系,定义2：,称为A的特征矩阵。,惠州学院数学系,解： A的特征多项式为,A的特征值为,对于 解,由于 得基础解系,A的对应于 的全部特征向量为,即,惠州学院数学系,对于 解,即,由于,得基础解系,A的对应于 的全部特征向量为,惠州学院数学系,注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类：,一类为 一类为,问题1：同类的两个特征向

22、量的线性相关性如何？问题2：不同类的任两个特征向量的线性相关性如何？,惠州学院数学系,求A的全部特征值和特征向量的方法：,1. 计算特征多项式,惠州学院数学系,解 A的特征多项式,得基础解系:,惠州学院数学系,A的属于特征值1的全部特征向量为,得基础解为,A的属于特征值 1 的全部特征向量为,惠州学院数学系,7.5.4 特征向量和特征值的性质,只须证,注意到,性质2 A的属于不同特征值的特征向量线性无关。,惠州学院数学系,注意到,（*）,（*）,在（*）和（*）中令 = 0,惠州学院数学系,惠州学院数学系,小结,4、求A的全部特征值和特征向量的方法：,5、3个性质。,惠州学院数学系,作业：P2

23、96 1、（i）（iii）,思考题：矩阵A的特征值由特征向量唯一确定吗？为什么？,惠州学院数学系,7.6 可以对角化矩阵,一、内容分布 7.6.1 什么是可对角化 7.6.2 本征向量的线性关系 7.6.3 可对角化的判定 7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤二、 教学目的 1掌握可对角化的定义与判断 2熟练掌握矩阵对角化的方法步骤三、重点难点 可对角化的判断与计算。,惠州学院数学系,7.6.1 什么是可对角化,设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶逆矩阵T，使得 具有对角形式（1）,则说矩阵A可以对角化.,我们知道, 可以通过矩阵来研究线性变换, 也可以通过线性变换来研究矩阵，本节更

24、多的通过线性变换来研究矩阵. 矩阵A可以对角化对应到线性变换就是:,惠州学院数学系,设是数域F上 维向量空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使得关于这个基的矩阵具有对角形式(1), 那么说，可以对角化.,很容易证明, 可以对角化的充分必要条件是有 n个线性无关的本征向量. 这n个线性无关的本征向量显然构成V的基. 因此， 我们需要进一步研究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下有 n个线性无关的本征向量.,惠州学院数学系,7.6.2 本征向量的线性关系,定理7.6.1 令是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果 分别是的属于互不相同的特征根 的特征向量，那么 线性无关.,证 我们对n用

25、数学归纳法来证明这个定理当n = 1时，定理成立。因为本征向量不等于零。设n 1并且假设对于n1来说定理成立。现在设 是的两两不同的本征值， 是属于本征值 的本征向量：,惠州学院数学系,如果等式,成立，那么以 乘（3）的两端得,另一方面，对（3）式两端施行线性变换，注意到等式（2），我们有,（5）式减（4）式得,根据归纳法假设， 线性无关，所以,惠州学院数学系,但 两两不同，所以 代入（3），因为 所以 这就证明了 线性无关。,推论7.6.2 设是数域F上向量空间V的一个线性变换， 是的互不相同的本征值。又设 是属于本征值 的线性无关的本征向量, 那么向量 线性无关.,证 先注意这样一个事实：

26、的属于同一本征值的本征向量的非零线性组合仍是的属于的一个本征向量。,惠州学院数学系,由上面所说的事实，如果某一 ，则 是的属于本征值 的本征向量。因为互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有 即,惠州学院数学系,惠州学院数学系,7.6.3 可对角化的判定,定理7.6.3 令是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如果的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在V的一个基，使就关于这个基的矩阵是对角形式.,惠州学院数学系,将上面的定理转化成矩阵的语言, 就是:,定理7.6.4 令A是数域F上一个n阶矩阵，如果A的特征多项式 在F内有n个单根，那么存在一个n阶可逆矩阵T， 使,惠州学院数学系,注意：推

27、论7.6.4的条件只是一个n阶矩阵可以对角化的充分条件，但不是必要条件。,下面将给出一个n 阶矩阵对角化的充分必要条件。,定义：设是数域F上向量空间V的一个线性变换，是的一个特征根，令则有 因而是V的一个子空间. 这个子空间叫做的属于特征根的特征子空间.,惠州学院数学系,现在令V是数域F上一个n维向量空间，而是V的一个线性变换，设是的一个本征值，是的属于本征值的本征子空间，取 的一个基 并且将它扩充为V的基，由7.4，关于这个基的矩阵有形如,这里 是一个s阶的单位矩阵。因此，A的特征多项式是,惠州学院数学系,由此可见，至少是 的一个s重根。,如果线性变换的本征值是的特征多项式 的一个r 重根，

28、那么就说，的重数是r 。设是的一个r 重本征值，而的属于本征值的本征子空间的维数是s 。由以上的讨论可知： , 即的属于本征值的本征子空间的维数不能大于的重数。,惠州学院数学系,定理7.6.5 令是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，可以用对角化的充分且必要的条件是(i) 的特征多项式的根都在F内;(ii) 对于的特征多项式的每一根 ， 特征子空间 的维数等于的重数.,惠州学院数学系,由推论7.6.2， 线性无关，因而构成V的一个基，关于这个基的矩阵是对角形式：,(6),反过来，设可以对角化，那么V有一个由的本征向量所组成的基。适当排列这一组基向量的次序，可以假定这个基是,惠州学院数学系,而

29、关于这个基的矩阵是对角形（6）。于是的特征多项式,惠州学院数学系,将上面的定理转化成矩阵的语言, 就是:,推论7.6.6 设A是数域F上一个n阶矩阵， A可以对角化的充分必要条件是(i) A的特征根都在F内;(ii) 对于A的每一特征根， 秩这里S是的重数. ,惠州学院数学系,7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤,先求出矩阵A的全部特征根. 如果A的特征根都在F内，那么对于每一特征根，求出齐次线形方程组,的一个基础解系.,如果对于每一特征根 来说，相应的齐次线形方程组的基础解系所含解向量的个数等于的,惠州学院数学系,重数，那么A可对角化，以这些解向量为列，作一个n 阶矩阵T ，由定理7.6.5的证明可知，T 的列向量线形无关，因而是一个可逆矩阵，并且 是对角形矩阵.,惠州学院数学系,对于特征根4，求出齐次线性方程组,的一个基础系,对于特征根 2，求出齐次线性方程组,的一个基础解系 .,惠州学院数学系,由于基础解系所含解向量的个数都等于对应的特征根的重数，所以A可以对角化. 取,那么,