备考2022年中考数学一轮复习培优训练：《四边形》.doc

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1、2020年中考数学一轮复习培优训练：四边形1如图1，已知等腰RtABC中，E为边AC上一点，过E点作EFAB于F点，以为边作正方形，且AC3，EF（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰RtABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系2如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度（0°90°）得到正方形ABCD（1）如图1，BC与AC交于点M，CD与AD所在直线交于点N，若MNBD，求；（2）如图2，CB与CD交于点Q，延长CB与BC交于点P，当30°时求DAQ的度数；若AB6，求PQ的长度3在菱形ABCD中，

2、ABC60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ（1）如图1，求证：BCPDCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N求证：PMQN；若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为 4如图，在梯形ABCD中，ADBC，C90°，AD2，BC5，DC3，点E在边BC上，tanAEC3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DMx，ANy（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线BM与直线A

3、E的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长5如图1，已知直角梯形ABCO中，AOC90°，ABx轴，AB6，若以O为原点，OA，OC所在直线为y轴和x轴建立如图所示直角坐标系，A（0，a），C（c，0）中a，c满足|a+c10|+0（1）求出点A、B、C的坐标；（2）如图2，若点M从点C出发，以2单位/秒的速度沿CO方向移动，点N从原点出发，以1单位/秒的速度沿OA方向移动，设M、N两点同时出发，且运动时间为t秒，当点N从点O运动到点A时，点M同时也停止运动，在它们的移动过程中，当2SABNSBCM时，求t的取值范围：（3）如图3，若点N是线段OA延长上的一动点，NCH

4、kOCH，CNQkBNQ，其中k1，NQCJ，求的值（结果用含k的式子表示）6在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且EDF120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当DEB90°时，BE+CFnAB，则n的值为 ；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：DE始终等于DF；BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明成果运用（3）若边长AB8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，LDE+EA+AF+FD，则周长L取最大值

5、和最小值时E点的位置？7实践与探究在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O0，0），点A（5，0），点B（0，3）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F（1）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H求证：ADBAOB；求点H的坐标8实践与探究在综合实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的探究如图1，ABCDEF，其中ACB90°，A30°，AB4（1）请直接写出EF ；（2）新星小组将这两张纸片按如图2所示的方式放置后，经过观察发

6、现四边形ACBF是矩形，请你证明这个结论（3）新星小组在图2的基础上，将DEF纸片沿AB方向平移至如图3的位置，其中点E与AB的中点重合，连接CE，BF请你判断四边形BCEF的形状，并证明你的结论9（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAFBAD，则BE，EF，DF之间的数量关系是 （2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF之间的数量关系是什么？请说明理由（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处

7、，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O连线的夹角EOF70°，试求此时两舰艇之间的距离10平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，b），C（0，c），且满足： +（2bac）2+|bc|0，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足DBE45°（1）求A、B、C三点坐标；（2）如图1，若D为线段OC中点，求E点坐标；（3）当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究CD、DE和AE之间的关系11【

8、操作】如图，在矩形ABCD中，E为对角线AC上一点（不与点A重合）将ADE沿射线AB方向平移到BCF的位置，E的对应点为点F，易知ADEBCF（不需要证明）【探究】过图的点E作BGBC交FB延长线于点G，连结AG，其它条件不变，如图求证：EGABCF【拓展】将图中的BCF沿BC翻折得到BCF，连结GF，其它条件不变，如图当GF最短时，若AB4，BC2，直接写出FF的长和此时四边形BFCF的周长12如1，在矩形ABCD中，AB6，AD10，E为AD上一点且AE6，连接BE（1）将ABE绕点B逆时针旋转90°至ABF（如图2），且A、B、C三点共线，再将ABF沿射线BC方向平移，平移速度

9、为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t0），当点A与点C重合时运动停止在平移过程中，当点F与点E重合时，t （s）在平移过程中，ABF与四边形BCDE重叠部分面积记为S，求s与t的关系式（2）如图3，点M为直线BE上一点，直线BC上有一个动点P，连接DM、PM、DP，且EM5，试问：是否存在点P，使得DMP为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段BP的长；若不存在，请说明理由13在四边形ABCD中，ADBC，ABCD（1）如图1，连接AC，求证：ABCD；（2）如图2，在CB的延长线上取一点M，连接DM，在DM上取一点L，连接BL，当CBL2M时，求证：LBMB；（3）如图3，在（2）条件

10、下，CE平分ACB交DM于E点，连接AE，当AECE，BL8时，求AC的长14阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图1，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且AMMN求证：AMN60°点拨：如图2，作CBE60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连结EM，易证ABMEBM（ ），可得AMEM，12；又AMMN，则EMMN，可得 ；由3+14+560°，进一步可得12 又因为2+6120，所以5+6120°，所以AMN60°问题：如图3，四

11、边形ABCD的四条边都相等，四个角都等于90°，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是四边形ABCD的外角DCH的平分线上一点，且AMMN求AMN的度数15在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由（3）如图当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上

12、任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1解：（1）如图1，ABC是等腰直角三角形，AC3，AB3，过点C作CMAB于M，连接CF，CMAMAB，四边形AGEF是正方形，AFEF，MFAMAF，在RtCMF中，CF；（2）CMFM，CMFM，理由：如图2，过点B作BHEF交FM的延长线于H，连接CF，CH，BHMEFM，四边形AGEF是正方形，EFAF点M是BE的中点，BMEM，在BMH和EMF中，BMHEMF（AAS），MHMF，BHEFAF四边形AGEF是正方形，FAG90°，E

13、FAG，BHEF，BHAG，BAG+ABH180°，CBH+ABC+BAC+CAG180°ABC是等腰直角三角形，BCAC，ABCBAC45°，CBH+CAG90°，CAG+CAF90°，CBHCAF，在BCH和ACF中，BCHACF（SAS），CHCF，BCHACF，HCFBCH+BCFACF+BCF90°，FCH是等腰直角三角形，MHMF，CMFM，CMFM；2解：（1）如图1中，MNBD，CMNCBD45°，CNMCDB45°，CMNCNM，CMCN，CBCD，'MBND，ABAD，ABMADN90&

14、#176;，ABMADN（SAS），BAMDAN，BAD90°，MAN45°，BAMDAN22.5°，BAC45°，BAB22.5°，22.5°（2）如图2中，ABQADQ90°，AQAQ，ABAD，RtAQBRtAQD（HL），QABQAD，BAB30°，BAD90°，BAD30°，QADBAD30°如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AEEP，连接EP设PBaABPABP90°，APAP，ABAB，RtAPBRtAPB（HL），BAPPAB15°，EAEP

15、，EAPEPA15°，BEPEAP+EPA30°，PEAE2a，BEa，AB6，2a+a6，a6（2）PB6（2），PCBCPB66（2）66，CPQ+BPB180°，BAB+BPB180°，CPQBAB30°，PQ1223（1）证明：四边形ABCD是菱形，BCDC，ABCD，PBMPBCABC30°，ABC+BCD180°，BCD180°ABC120°由旋转的性质得：PCQC，PCQ120°，BCDDCQ，BCPDCQ，在BCP和DCQ中，BCPDCQ（SAS）；（2）证明：由（1）得：BCP

16、DCQ，BPDQ，QDCPBCPBM30°在CD上取点E，使QEQN，如图2所示：则QENQNE，QEDQNCPMB，在PBM和QDE中，PBMQDE （AAS），PMQEQN解：由知PMQN，MNPQPC，当PCBD时，PC最小，此时MN最小，则PC2，BC2PC4，菱形ABCD的面积2SABC2××428；故答案为：84解：（1）如图1中，作AHBC于H，ADBC，C90°，AHCCD90°，四边形AHCD是矩形，ADCH2，AHCD3，tanAEC3，3，EH1，CE1+23，BEBCCE532（2）延长AD交BM的延长线于GAGBC，D

17、G，AG2+，y（0x3）（3）如图31中，当点M在线段DC上时，BNEABC45°，EBNEAB，EB2ENAE，解得x如图32中，当点M在线段DC的延长线上时，ANBABE45°，BNAEBA，AB2AEAN，（3）2+解得x13，综上所述DM的长为或135解：（1）|a+c10|+0，a+c100，且c70，c7，a+c10，c3，A（0，3），C（7，0），ABx轴，AB6，B（6，3）；（2）A（0，3），C（7，0），OA3，OC7，由题意得：ONt，CM2t，AN3t，2SABNSBCM，2××（3t）×6×2t

18、5;3，解得：t2，当点N从点O运动到点A时，点M同时也停止运动，0t3，t的取值范围为2t3；（3）设AB与CN交于点D，如图3所示：ABOC，BDCOCD，BDCBND+ABN，CNQkBNQ，NCHkOCH，BDC（k+1）BNQ+ABN，OCD（k+1）OCH，（k+1）BNQ+ABNOCD（k+1）OCH，ABN（k+1）OCH（k+1）BNQ（k+1）（OCHBNQ），NQCJ，NCJCNQkBNQ，HCJ+NCJNCHkOCH，HCJkOCHNCJkOCHkBNQk（OCHBNQ），6解：（1）ABC是等边三角形，BC60°，ABBC，点D是BC的中点，BDCDBCAB

19、，DEB90°，BDE90°B30°，在RtBDE中，BEBD，EDF120°，BDE30°，CDF180°BDEEDF30°，C60°，DFC90°，在RtCFD中，CFCD，BE+CFBD+CDBCAB，BE+CFnAB，n，故答案为：；（2）如图2，连接AD，过点D作DGAB于G，DHAC于H，DGBAGD90°，ABC是等边三角形，BAC60°，GDH360°AGDAHDA120°，EDF120°，EDGFDH，ABC是等边三角形，D是BC的中点，

20、BADCAD，DGAB，DHAC，DGDH，在EDG和FDH中，EDGFDH（ASA），DEDF，即DE始终等于DF；同（1）的方法得，BG+CHAB，由知，EDGFDH，EGFH，BE+CFBGEG+CH+FHBG+CHAB，BE与CF的和始终不变；（3）由（2）知，DEDF，BE+CFAB，AB8，BE+CF4，四边形DEAF的周长为LDE+EA+AF+FDDE+ABBE+ACCF+DFDE+ABBE+ABCF+DE2DE+2AB（BE+CF）2DE+2×842DE+12，DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DEAB时，DE最小，此时，BEBD2，当点F和点C重合时，DE最

21、大，此时，BDE180°EDF120°60°，B60°，BDE是等边三角形，BEBD4，综上所述，周长L取最大值时，BE4，周长L取最小值时，BE27解：（1）A（5，0），B（0，3），OA5，OB3，四边形AOBC是矩形，OBAC3，OABC5，C90°，矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，ADOA5，在RtACD中，CD4，BD541，D（1，3）；（2）由旋转可知，OADA，AOBADE90°，AOBADB90°，在RtAOB与RtADB中，RtADBRtAOB（HL）；ADBAOB，BDBOAC，在BDH与AC

22、H中，BDHACH（AAS），DHCH，DH+AHAD5，CH+AH5，设CHx，则AH5x，在RtACH中，（5x）2x2+32，解得，x，BH5，点H的坐标为（，3）8（1）解：ABCDEF，ABDE4，DA30°，ACBDFE90°，EFDE2；故答案为：2；（2）证明：ABCDEF，ACDFBF，BCEFAF，在四边形ACBF中，ACBF，BCAF，四边形ACBF是平行四边形，ACB90°，四边形ACBF是矩形；（3）解：四边形BCEF是菱形；理由如下：由（2）可知：四边形ACBF是平行四边形，EFBC，EFBC，DEF是沿AB方向平移的，EFBC，EFB

23、C，四边形BCEF是平行四边形，点E是AB的中点，ACB90°，CEAB2，CEEF2，四边形BCEF是菱形9解：（1）延长FD到点G，使DGBE，连结AG，如图1所示：在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF，故答案为：EFBE+DF；（2）BE，EF，DF之间的数量关系是：EFBEDF；理由如下：在CB上截取BMDF，连接AM，如图2所示：B+D180°，ADC+ADF180

24、6;，BADF，在ABM和ADF中，ABMADF（SAS），AFAM，DAFBAM，BADMAF，BAD2EAF，MAF2EAF，MAEEAF，在FAE和MAE中，FAEMAE（SAS），EFEMBEBMBEDF，即EFBEDF；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，如图3所示：AOB30°+90°+（90°70°）140°，EOF70°，EOFAOB，OAOB，OAC+OBC（90°30°）+（70°+50°）180°，符合（1）中的条件，即结论EFAE+BF成立，EF1.5&#

25、215;（60+80）210（海里）答：此时两舰艇之间的距离是210海里10解：（1）+（2bac）2+|bc|0，a4，bc，2bac0，b4，c4，点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4）；（2）如图1，将BCD绕点B逆时针旋转90°得到BAH，点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4），OAOCBCAB4，D为线段OC中点，CDDO2，将BCD绕点B逆时针旋转90°得到BAH，BCDBAH，BDBH，CBDHBA，CDAH2，DBE45°，CBD+EBA45°，EBA+ABH45°HBEDBE，且BDBH，BEBE，DBEHBE

26、（SAS）DEEH，OHOA+AH4+26，DEEH6OE，DE2OD2+OE2，（6OE）24+OE2，OE，点E坐标为（，0）；（3）如图1，若点E在x轴正半轴，点D在y轴正半轴上，由（2）可知：DEEH，AHCD，DEAE+AHAE+CD，如图2，点E在x轴负半轴，点D在y轴正半轴，将BCD绕点B逆时针旋转90°得到BAH，BCDBAH，DBH90°，BDBH，CBDHBA，CDAH，DBE45°，DBE45°HBE，且BDBH，BEBE，DBEHBE（SAS）DEEH，AEAH+EHCD+DE；如图3，点E在x轴正半轴，点D在y轴负半轴，将BCD

27、绕点B逆时针旋转90°得到BAH，BCDBAH，DBH90°，BDBH，CBDHBA，CDAH，DBE45°，DBE45°HBE，且BDBH，BEBE，DBEHBE（SAS）DEEH，CDAHAE+EHAE+DE11解：【探究】由平移可知：AEBF，AEBF，CBFACB，四边形ABCD是矩形，ADBC，EGBC，AEGACB，AEGCBF，GEBC，ACBG，四边形EGBC是平行四边形，EGBC，EGABCF（SAS）【拓展】如图3中，连接BD交AC于点O，作BKAC于K，FHBC于H四边形ABCD是矩形，ABC90°，AB4，BC2，AC2

28、，ABCBACBK，BK，OK，由题意四边形AGFC是平行四边形，GFAC2，BFBF，可以假设BFx，则BG2x，ACGF，BOKHBF，BKOFHB90°，FHBBKO，FHx，BHx，GHBGBH2xx2x，GF，0，当x时，GF的值最小，此时点F与O重合，可得FF4，四边形BFCF的周长为412解：（1）如图1中，连接EF由题意EFABBF6，t6时，点F与点E重合，故答案为6如图21中，当0t6时，重叠部分是BMB，St2如图22中，当6t10时，重叠部分是AFB，S×6×618如图23中，当10t16时，重叠部分是AMC，S（16t）2，综上所述，S（

29、2）如图3中，总MHAD于H，交BC于GABAE6，A90°，BE6，EM5，BM，BGMGAH1，HMHE5，DHADAH9，DM，当DMDP时，可得CP1CP2，BP110，BP210+当MDMP时，可得GP3GP4，BP31，BP4+1，当PMPD时，设GP5x，则，解得x，BP51+13解：（1）证明：在ADC与CBA中，ADCCBA（SSS），ACDBAC，ABCD；（2）CBLM+BLM，CBL2M，M+BLM2M，MBLM，BMBL；（3）延长AE交CM于H，CE平分ACB交DM于E点，ACEHCE，AECE，AECHEC90°，在ACE与HCE中，ACECH

30、E（ASA），AEEH，ACCH，ADCM，ADEM，在ADE与HME中，ADEHME（AAS），ADHM，ADBC，HMBC，CHBM，BL8，CHBM8，ACCH814解：点拨：如图2，作CBE60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连结EM，易证ABMEBM（SAS），可得AMEM，12；又AMMN，则EMMN，可得34；由3+14+560°，进一步可得125又因为2+6120，所以5+6120°，所以AMN60°问题：延长AB至E，使EBAB，连接EMC、EC，如图所示：则EBBC，EBM中90°ABM，EBC是等腰直角三角

31、形，BECBCE45°，N是正方形ABCD的外角DCH的平分线上一点，MCN90°+45°135°，BCE+MCN180°，E、C、N，三点共线，在ABM和EBM中，ABMEBM（SAS），AMEM，12，AMMN，EMMN，34，2+345°，4+545°，125，1+690°，5+690°，AMN180°90°90°故答案为：SAS，3，4，515解：（1）AFDE理由如下：四边形OADC是正方形，OAAD，DAEAOF90°，由题意得：AEOF，在AOF和DA

32、E中，AOFDAE（SAS），AFDE（2）四边形HIJK是正方形理由如下：如图所示：H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，HIKJAF，HKIJED，HIAF，HKED，AFDE，HIKJHKIJ，四边形HIJK是菱形，AOFDAE，ADEOAF，ADE+AED90°，OAF+AED90°，AGE90°，AFED，HIAF，HKED，HIHK，KHI90°，四边形HIJK是正方形（3）存在，理由如下：四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），OAADOC4，C（4，0），点E为AO的中点，OE2，E（0，2）；分情况讨论：如图所示，当

33、OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M为CE的中点，点M的坐标为（2，1），点M和N关于OC对称，N（2，1）；当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若M在y轴的左侧时，四边形OCM'N'是菱形，OM'OC4，M'N'OC，M'FECOE，2，设EFx，则M'F2x，OFx+2，在RtOM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）242，解得：x，或x2（舍去），M'F，FN4M'F，OF2+，N'（，）；若M在y轴的右侧时，作N''POC于P，ON''CM''，PON''OCE，tanPON''tanOCE，设PN''y，则OP2y，在RtOPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）242，解得：y，PN''，OP，N''（，）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，1）或（，）或（，）