备考2022数学专题26 菱形（解析版）.docx

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1、专题26 菱形问题1.菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质（1） 菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的判定定理（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。4菱形的面积：S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n）【例题1】（2020牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，ADx轴且AD4，A60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A（

2、0，23）B（2，4）C（23，0）D（0，23）或（0，23）【答案】D【解析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，BAD60°，AD4，OAD30°，OD2，AO=42-22=23=OC，点C的坐标为（0，-23），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，23），点C的坐标为（0，23）或（0，-23）.【对点练习】（2019泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A8B12C16D32【答案】C 【解析】如图所示：四边形A

3、BCD是菱形，AOCO=12AC，DOBO=12BD，ACBD，面积为28，12ACBD2ODAO28 菱形的边长为6，OD2+OA236 ，由两式可得：（OD+AO）2OD2+OA2+2ODAO36+2864OD+AO8，2（OD+AO）16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16【例题2】（2020营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA1，OB2，则菱形ABCD的面积为 【答案】4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案OA1，OB2，AC2，BD4，菱形ABCD的面积为12×2×44【对点练习】（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABC

4、D的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE3，则菱形的周长为 【答案】24【解析】四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，BODO，点E是BC的中点，OE是BCD的中位线，CD2OE2×36，菱形ABCD的周长4×624【例题3】（2020福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BEDF求证：BAEDAF【答案】见解析。【解析】根据菱形的性质可得BD，ABAD，再证明ABEADF，即可得BAEDAF证明：四边形ABCD是菱形，BD，ABAD，在ABE和ADF中，AB=ADB=DBE=DF，ABEADF（SAS），BAEDAF【对点练习】（2019

5、湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DEDF，求证：12【答案】见解析【解析】证明：四边形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），12一、选择题1（2020黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A4：1B5：1C6：1D7：1【答案】B【解析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH2，利用菱形的性质得到AB4，利用正弦的定义得到B30°，则C150°，从而得到C：B的比值如图，AH为菱形ABCD的高，AH2，菱形的周长为16，AB4，在RtABH中，sinB=AHAB=24=12，B30

6、76;，ABCD，C150°，C：B5：12（2020盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC6，BD8则线段OH的长为（）A125B52C3D5【答案】B【解析】先根据菱形的性质得到ACBD，OBOD=12BD4，OCOA=12AC3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长四边形ABCD为菱形，ACBD，OBOD=12BD4，OCOA=12AC3，在RtBOC中，BC=32+42=5，H为BC中点，OH=12BC=523（2020乐山）如图，在菱形ABCD中，AB4，BAD120°，O是对角线BD的中点

7、，过点O作OECD于点E，连结OA则四边形AOED的周长为（）A9+23B9+3C7+23D8【答案】B【解析】先利用菱形的性质得ADAB4，ABCD，ADBCDB30°，AOBD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AO2，OD23，然后计算出OE、DE的长，最后计算四边形AOED的周长四边形ABCD为菱形，ADAB4，ABCD，BAD120°，ADBCDB30°，O是对角线BD的中点，AOBD，在RtAOD中，AO=12AD2，OD=3OA23，OECD，DEO90°，在RtDOE中，OE=12OD=3，DE=3OE3，四边形AOED的周长4+2+

8、3+39+34（2020甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（）A3B4C5D6【答案】B【解析】由菱形的性质得出ABBCCDAD8，ACBD，则AOB90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，ACBD，AOB90°，菱形ABCD的周长为32，AB8，E为AB边中点，OE=12AB45（2020遵义）如图，在菱形ABCD中，AB5，AC6，过点D作DEBA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）A125B185C4D245【答案】D【解析】由在菱形A

9、BCD中，AB5，AC6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB的长，继而可求得BD的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长如图四边形ABCD是菱形，AC6，ACBD，OA=12AC3，BD2OB，AB5，OB=AB2-OA2=4，BD2OB8，S菱形ABCDABDE=12ACBD，DE=12ACBDAB=12×6×85=2456.（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（）A2.5B3C4D5【答案】A【解析】四边形ABCD为菱形，CDBC=204=5，且O为BD的中点，E为CD的中点，OE为BCD的中

10、位线，OE=12CB2.57.(2019四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（）A.B. C. D. 【答案】D【解析】过点E作EFx轴于点F，四边形OABC为菱形，AOC=60°，=30°，FAE=60°，A（4，0），OA=4，=2，EF=，OF=AO-AF=4-1=3，8.（2019四川省广安市）如图，在边长为的菱形中，过点作于点，现将ABE沿直线AE翻折至AFE的位置，AF与CD交于点G则CG等于（ ） A. B.1 C. D. .【答案】A【解析】因为B

11、=30°，AB=，AEBC，所以BE=，所以EC=-，则CF=3-，又因为CGAB，所以,所以CG=.9.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线 ，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形【答案】C【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EFGHAB，EHFGCD，又由AB=CD，得EFFGGHEH时，四边形EFGH是菱形点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD

12、、BC、CA的中点，EFGHAB，EHFGCD，AB=CD，EFFGGHEH时，四边形EFGH是菱形，故选C10. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE则下列说法错误的是（）AABC60°BSABE2SADEC若AB4，则BE4DsinCBE【答案】C 【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CEDE，AECD，四边形ABCD为菱形，ADCD2DE，ABDE，在RtADE中，cosD，D60°，ABC60°，

13、所以A选项的结论正确；SABEABAE，SADEDEAE，而AB2DE，SABE2SADE，所以B选项的结论正确；若AB4，则DE2，AE2，在RtABE中，BE2，所以C选项的结论错误；作EHBC交BC的延长线于H，如图，设AB4a，则CE2a，BC4a，BE2a，在CHE中，ECHD60°，CHa，EHa，sinCBE，所以D选项的结论正确故选：C二、填空题11（2020陕西）如图，在菱形ABCD中，AB6，B60°，点E在边AD上，且AE2若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 【答案】27【解析】过点A和点E作AGBC，EH

14、BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB6，B60°，可得BG3，AG33=EH，由题意可得，FHFCHC211，进而根据勾股定理可得EF的长如图，过点A和点E作AGBC，EHBC于点G和H，得矩形AGHE，GHAE2，在菱形ABCD中，AB6，B60°，BG3，AG33=EH，HCBCBGGH6321，EF平分菱形面积，FCAE2，FHFCHC211，在RtEFH中，根据勾股定理，得EF=EH2+FH2=27+1=2712（2020哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD2BE，DAEDEA，EO1

15、，则线段AE的长为 【答案】22【解析】设BEx，则CD2x，根据菱形的性质得ABADCD2x，OBOD，ACBD，再证明DEDA2x，所以1+x=32x，解得x2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长设BEx，则CD2x，四边形ABCD为菱形，ABADCD2x，OBOD，ACBD，DAEDEA，DEDA2x，BD3x，OBOD=32x，OE+BEBO，1+x=32x，解得x2，即AB4，OB3，在RtAOB中，OA=42-32=7，在RtAOE中，AE=12+(7)2=2213（2020嘉兴）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： ，使ABCD是菱形【答案】ADDC

16、（答案不唯一）【解析】根据菱形的定义得出答案即可邻边相等的平行四边形是菱形，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：ADDC.14.（2019广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AHBC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= .【答案】.【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果四边形ABCD是菱形，BO=DO=4，AO=CO，ACBD，BD=8.S菱形ABCD=AC×BD=24，AC=6，OC=AC=

17、3，BC=5，S菱形ABCD=BC×AH=24，AH=.15（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，A60°，M是AD边上的一点，且AMAD，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC则AC长度的最小值是 【答案】1【解析】过点M作MHCD交CD延长线于点H，连接CM，AMAD，ADCD3AM1，MD2CDAB，HDMA60°HDMD1，HMHDCH4MC将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，AMA'M1，点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值A&#

18、39;C长度的最小值MCMA'116（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形根据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若M、N的坐标分别为（0，1），（0，1），P是二次函数yx2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形其中正确的是 （填序号）【答案】【解析】根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，正确；平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，错误；由给出条件无法得到一组对边平行

19、，错误；设点P（m，m2），则Q（m，1），MP，PQ+1，点P在第一象限，m0，MP+1，MPPQ，又MNPQ，四边形PMNQ是广义菱形正确；故答案为17.（2019广西梧州）如图，在菱形中，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是【答案】【解析】连接交于，如图所示：四边形是菱形，由旋转的性质得：，四边形是菱形，。三、解答题18（2020滨州）如图，过ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N（1）求证：PBEQDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形【答案】见解析。【解析】（1）证

20、明：四边形ABCD是平行四边形，EBED，ABCD，EBPEDQ，在PBE和QDE中，EBP=EDQEB=EDBEP=DEQ，PBEQDE（ASA）；（2）证明：如图所示：PBEQDE，EPEQ，同理：BMEDNE（ASA），EMEN，四边形PMQN是平行四边形，PQMN，四边形PMQN是菱形19（2020郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AECF连接DE，DF，BE，BF求证：四边形BEDF是菱形【答案】见解析。【解析】四边形ABCD是菱形，可得ABBCCDDA，DCABCA，DACBAC，可以证明CDFCBF，DAEBFC，DCFBEA，进而证明平行四

21、边形BEDF是菱形证明：四边形ABCD是菱形，BCCD，DCABCA，DCFBCF，CFCF，CDFCBF（SAS），DFBF，ADBC，DAEBCF，AECF，DAAB，DAEBFC（SAS），DEBF，同理可证：DCFBEA（SAS），DFBE，四边形BEDF是平行四边形，DFBF，平行四边形BEDF是菱形20. （2019海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q（1）求证：PDEQCE；（2）过点E作EFBC交PB于点F，连结AF，当PBPQ时，求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFE

22、P是否为菱形，并说明理由【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知DECQ90°，由E是CD的中点知DECE，结合DEPCEQ即可得证；（2）由PBPQ知PBQQ，结合ADBC得APBPBQQEPD，由PDEQCE知PEQE，再由EFBQ知PFBF，根据RtPAB中AFPFBF知APFPAF，从而得PAFEPD，据此即可证得PEAF，从而得证；设APx，则PD1x，若四边形AFEP是菱形，则PEPAx，由PD2+DE2PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况【解答】（1）四边形ABCD是正方形，DECQ90°，E是CD的中点，DECE，又DEP

23、CEQ，PDEQCE（ASA）；（2）PBPQ，PBQQ，ADBC，APBPBQQEPD，PDEQCE，PEQE，EFBQ，PFBF，在RtPAB中，AFPFBF，APFPAF，PAFEPD，PEAF，EFBQAD，四边形AFEP是平行四边形；当AP时，四边形AFEP是菱形设APx，则PD1x，若四边形AFEP是菱形，则PEPAx，CD1，E是CD中点，DE，在RtPDE中，由PD2+DE2PE2得（1x）2+（）2x2，解得x，即当AP时，四边形AFEP是菱形21. （2019北京市）如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF（1）求证：ACEF；（2）如图2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长 图1 图2 【答案】见解析。【解析】由四边形ABCD为菱形易得AB=AD，AC平分BAD，结合BE=DF，根据等腰AEF中的三线合一，证得ACEF.；菱形ABCD中有ACBD，结合ACEF得BDEF.进而有；得出OA的值.（1）证明：四边形ABCD为菱形AB=AD，AC平分BADBE=DFAE=AFAEF是等腰三角形AC平分BADACEF（2）解：菱形ABCD中有ACBD，结合ACEF. BDEF. 又BD=4，tanG= AO=OC=1.