人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：圆锥曲线的共线比例

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1、圆锥曲线的共线比例知识讲解一、向量形式成比例问题由直线与椭圆方程联立得设点为，则（3）（4）是等价的，我们在椭圆的问题上只选择（3）运用将（3）代入（1）得将（3）代入（2）得得故成比例的问题主要就是消去参数，求出的关系式二、线段类成比例设线段成比例主要利用相似转化为或是成比例的关系上，慎用弦长公式求线段长，计算量比较大.三、共线类问题方法：共线问题可以用向量或斜率相等来解答.四、向量的线性表示问题解决方法：向量的线性表示问题的形式为,通常为圆锥曲线上一点，解题思路是利用的坐标满足圆锥曲线方程而建立等式，解决问题经典例题一选择题（共10小题）1直线l过抛物线y2=ax（a0）的焦点F且与抛物线

2、交于A，B两点，则|AF|BF|AF|+|BF|=（）Aa2Ba4C2aD4a【解答】解：抛物线的焦点F（a4，0），设直线l的方程为x=ky+a4，联立方程组&x=ky+a4&y2=ax，消去y得：x2（a2+k2a）x+a216=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=a2+k2a，x1x2=a216，又|AF|=x1+a4，|BF|=x2+a4，|AF|BF|AF|+|BF|=(x1+a4)(x2+a4)x1+x2+a2=a216+a4(a2+k2a)+a216a+k2a=a24(1+k2)a(1+k2)=a4故选：B2已知A（2，0），B（0，1）是椭圆

3、x2a2+y2b2=1的两个顶点，直线y=kx（k0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若ED=6DF，则斜率k的值为（）A23B38C23或38D23或34【解答】解：依题设得椭圆的方程为x24+y2=1，直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k0）设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1x2，且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，故x2=x1=21+4k2，由ED=6DF，知x0x1=6（x2x0），得x0=17（6x2+x1）=57x2=1071+4k2，由D在AB上知x0+2kx0=2，得x0=21+2k所以21+2k=107

4、1+4k2，化简得24k225k+6=0，解得k=23或k=38故选：C3若双曲线C：x2y2=1的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且PA=2AQ，则直线l的斜率为（）A13B23C2D3【解答】解：A（1，0），渐近线方程为y=x，y=x设直线l的方程为：y=kxk，联立方程组&y=x&y=kx-k，解得P（kk-1，kk-1），联立方程组&y=-x&y=kx-k，解得Q（kk+1，kk+1），PA=2AQ，k1或k1，（kk-11）2+k2(k-1)2=4（kk+11）2+4k2(k+1)2，即1(k-1)2=4(k+1)2，解

5、得k=3或k=13（舍）故选：D4已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（）A(53，2B(1，53C（1，2D53，+)【解答】解：根据题意，双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)中，点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|=2a，又由|PF1|=4|PF2|，则|PF2|=2a3，则有2a3c-a，变形可得：23e1，即可得：e53，则双曲线的离心率取值范围为(1，53故选：B5设双曲线的方程为x2a2y2b2=1（a0，b0），若双曲线的渐近线被圆M：x2+y210x=

7、-sinB|=2c2R|BP2R-AP2R|=2c2a=53，故选：C6设F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，M是C的右支上的点，射线MN平分F1MF2，过原点O作MN的平行线交MF1于点T，若|F1F2|=4|TM|，则双曲线C的离心率为（）A52B2C2D3【解答】解：设MN交x轴于N，MN为三角形MF1F2的角平分线，可得MF1MF2=F1NNF2=c+ONc-ON，又OTMN，可得MTTF1=ONOF1=ONc，即有MF1MF2=c+ONc-ON=MT+TF1TF1-MT=MF1MF1-2MT，则MF2=MF12MT，由双曲线的定义可得，MF1M

8、F2=2a=2MT=c，则c=2a，则双曲线的离心率e=ca=2，故选：B7如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E在线段AC上，且AE=25AC，双曲线过C，D，E三点，以A，B为焦点；则双曲线离心率e的值为（）A32B7C52D2【解答】解：由|AB|=2|CD|，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，设双曲线的方程为x2a2y2b2=1，由双曲线是以A，B为焦点，A（c，0），B（c，0），把x=12c，代入x2a2y2b2=1，可得y=bc24a2-1，即有C（12c，bc24a2-1），又设A（c，0），AC=（32c，bc24a2-1），

9、设E（x，y），AE=（x+c，y），AE=25AC，（x+c，y）=25（32c，bc24a2-1），解得x=25c，y=25bc24a2-1），可得E（25c，25bc24a2-1），代入双曲线的方程可得4c225a2425（c24a21）=1，即e2（e241）=254，即e2=7，即e=7，故选：B8如图，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点为F，A为虚轴的一端点若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且AB=tBF（tR），则该双曲线的离心率为（）A2B5C1+32D1+52【解答】解：AB=tBF（tR），由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=bax，kBF=

10、bc，bcba=1，b2ac=0，c2a2ac=0，e2e1=0，e1，e=1+52故选：D9设抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点M，N，与y轴交于点(0，3)，与l交于点P，点M在线段PF上，若|PM|=2|MF|，则|MN|=（）A94B254C83D163【解答】解：如图，过M作MEl=E，由|PM|=2|MF|，得|PM|=2|ME|，MN所在直线斜率为-23p=-3，则p=2则抛物线方程为y2=4x，F（1，0），MN所在直线方程为y=-3(x-1)，联立&y=-3x+3&y2=4x，得3x210x+3=0设M（x1，y1）

11、，N（x2，y2），则x1+x2=103|MN|=x1+x2+p=103+2=163故选：D10已知抛物线C：y2=4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E若AE=2BE，则直线l的斜率为（）A3B22C3D1【解答】解：分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，由AE=2BE，则B为AE的中点，丨AB丨=丨BE丨，则丨AD丨=2丨BC丨，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BC丨，丨AB丨=3丨BC丨，丨BE丨=3丨BC丨，则丨BE丨=22丨BC丨，tanCBE=丨CE丨丨CB丨=22，

12、直线l的斜率k=tanAFx=tanCBE=22，故选：B二填空题（共4小题）11设直线l过点P（0，3），和椭圆x29+y24=1交于A、B两点（A在B上方），试求|AP|PB|的取值范围15，1)【解答】解：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，2），这时|AP|PB|=15当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则向量AP=（x1，3y1），向量PB=（x2，y23），所以|AP|PB|=x1x2，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入x29+y24=1后的一元二次方

13、程（9k2+4）x2+54k+45=0的判别式（54k）24（9k2+4）×450，所以k53或k53，设x1x2=，则x1=x2，因为x1+x2=54k9k2+4，x1x2=459k2+4，所以（1+）x254k9k2+4，（1）x22=459k2+4，（2）显然不等于1，解得01综上所述|AP|PB|的范围是15，1）故答案为：15，1）12如图，P是椭圆x225+y29=1上的一点，F是椭圆的左焦点，且OQ=12(OP+OF)，|OQ|=4，则点P到该椭圆左准线的距离为52【解答】解：OQ=12(OP+OF)，Q是线段PF的中点，由P在椭圆上且|OQ|=4，设P（a，b），F（

14、4，0），Q（a-42，b2），&a225+b29=1&(a-42)2+b24=4，a=-154，椭圆左准线x=254点P到该椭圆左准线的距离d=(-154)-(-254)=52故答案：5213已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为13【解答】解：|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，ABF2=90°，又由双曲线的定义得

15、：|BF1|BF2|=2a，|AF2|AF1|=2a，|AF1|+34=5|AF1|，|AF1|=3|BF1|BF2|=3+34=2a，a=1在RtBF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，|F1F2|2=4c2，4c2=52，c=13双曲线的离心率e=ca=13故答案为：1314已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足AF=2FB，则弦AB中点到抛物线准线的距离为94【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=2m，BB1=mABC中，AC=m，AB=3m，kAB=22直线AB方程为y=22（x1）与抛物线方程联立消y得2x25x+2=0所以A

16、B中点到准线距离为x1+x22+1=94故答案为：94三解答题（共8小题）15已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为12，直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（）O为坐标原点，与OT平行的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l与直线l交于点P，试判断|PT|2|PA|PB|是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由【解答】解：（I）由e=ca=1-b2a2=12，b2=34a2，联立&x+2y=4&x2a2+4y23a2=1，消去x，整理得：163y2-16y+16-a2=0，由=0，解得：a2=4，b2=3，椭圆

17、的标准方程x24+y23=1，由可知yT=32，则T（1，32）；（）设直线l的方程为y=32x+t，由&y=32x+t&x+2y=4，解得P的坐标为（1t2，32+t4），所以|PT|2=516t2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立&y=32x+t&3x2+4y2=12，消去y整理得x2+tx+t231=0，则&x1+x2=-t&x1x2=t2-33，=t24（t231）0，t212，y1=32x1+t，y2=32x2+t，|PA|=(1-t2-x1)2+(32+t4-y1)2=132|2-t2x1|，同理|PB|=132|2-t2x

18、2|，|PA|PB|=134|（2-t2x1）（2-t2x2）|=134|(2-t2)22-t2（x1+x2）+x1x2|，134|(2-t2)22-t2（t）+t2-33|=1348t2，|PT|2|PA|PB|=516t21548t2=1513，|PT|2|PA|PB|=1513为定值16在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，A，F分别为椭圆的上顶点和右焦点，AOF的面积为12，直线AF与椭圆交于另一个点B，线段AB的中点为P（1）求直线OP的斜率；（2）设平行于OP的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，且与直线AF交于点Q，求证：存在常数，使得Q

19、CQD=QAQB【解答】解：（1）根据题意，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，即e=ca=a2-b2a=22，即a2=2b2，c2=a2b2=b2，所以A（0，b），F（c，0），所以12c2=12，所以c=1，所以椭圆的方程为x22+y2=1直线AF的方程为y=x+1，联立&x22+y2=1&y=-x+1消去y得3x24x=0，所以x=43或x=0，所以B(43，-13)，从而得线段AB的中点P(23，13)所以直线OP的斜率为13-023-0=12（2）证明：由（1）知，直线AF的方程为y=x+1，直线OP的斜率为12，设直线l的方程为y=12x+t(t0

20、)联立&y=12x+t&y=-x+1得&x=2-2t3&y=2t+13.；所以点Q的坐标为(2-2t3，2t+13)所以QA=(2t-23，2-2t3)，QB=(2t+23，-2t+23)所以QAQB=89(t2-1)联立&x22+y2=1&y=12x+t消去y得32x2+2tx+2t2-2=0，由已知得=4（32t2）0，又t0，得t(-62，0)(0，62)设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1=12x1+t，y2=12x2+t，x1+x2=-4t3，x1x2=4t2-43所以QC=(x1-2-2t3，y1-2t+13)=(x1+2t-

21、23，12x1+t-13)，QD=(x2+2t-23，12x2+t-13)，故QCQD=(x1+2t-23)(x2+2t-23)+(12x1+t-13)(12x2+t-13)=54x1x2+5t-56(x1+x2)+5(t-1)29=54×4t2-43-5t-56×4t3+5(t-1)29=54×89(t2-1)所以QCQD=54QAQB所以存在常数=54，使得QCQD=QAQB17如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a0，b0）的离心率为12，且过点（1，32）F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭

22、圆于C，D两点（1）求椭圆的标准方程；（2）若AF=FC，求BFFD的值；（3）设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2=mk1，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意知e=ca=12，则a=2c，b2=a2c2=3c2，将（1，32）代入椭圆方程：14c2+93c2×4=1，解得：c=1，则a=2，b=3，（2分）椭圆方程为：x24+y23=1；（4分）（2）若AF=FC，由椭圆对称性，知A（1，32），则B（1，32），F（1，0）此时直线BF方程为3x4y3=0，（6分）由&3x-4y-3=0&x24+y23=1

23、，整理得7x26x13=0，解得x=137（x=1舍去），（8分）故BFFD=1-(-1)137-1=73（10分）（3）设A（x0，y0），则B（x0，y0），直线AF的方程为y=y0x0-1（x1），代入椭圆方程x24+y23=1，得（156x0）x28y0215x02+24x0=0，即（156x0）x2（246x02）x15x02+24x0=0，因为x=x0是该方程的一个解，所以C点的横坐标xC=8-5x05-2x0，（12分）又C（xC，yC）在直线y=y0x0-1（x1）上，所以yC=y0x0-1（xC1）=-3y05-2x0，同理，D点坐标为（8+5x05+2x0，3y05+2x0

24、），（14分）所以k2=3y05+2x0-3y05-2x08+5x05+2x0-8-5x05-2x0=5y03x0=53k1，即存在m=53，使得k2=53k1 （16分）18已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点(1，32)，其左焦点为F(-3，0)，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为43，求直线l的方程；（3）设MA=1AF，MB=2BF，求证：1+2为定值【解答】解：（1）由题意可得：c=3，则a2=b2+c2=b2+3，将(1，32)代入椭圆方程：1b2+3+3

25、4b2=1，解得：b2=1，a2=4，椭圆的E的方程：x24+y2=1；（2）设直线l：y=k（x+3），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，y1），联立&x2+4y2=4&y=k(x+3)，整理得：（1+4k2）x2+83k2x+12k24=0，x1+x2=83k21+4k2，x1x2=12k2-41+4k2，|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4(1+k2)1+4k2，由直线CD的斜率为1k，将k转化成1k，同理|CD|=4(1+k2)1+k2，四边形ACBD的面积S=12×|AB|CD|=8(1+k2)2(k2+4)(1

26、+4k2)=43，2k45k2+2=0，解得：k2=2，k2=12，k=±2或k=±22，由k0，k=2或k=22，直线AB的方程为x2y+3=0或2xy+6=0；（3）MA=1AF，MB=2BF，得x1=1（3x1），x2=2（3x2），1=x1-3-x1，2=x2-3-x2，1+2=（x13+x1+x23+x2）=2x1x2+3(x1+x2)x1x2+3(x1+x2)+3=2×12k2-41+4k2+3×(-83k21+4k2)12k2-41+4k2+3×(-83k21+4k2)+3=8，1+2为定值，定值为819如图，椭圆x2a2+y2b

27、2=1(ab0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）（1）求椭圆的标准方程；（2）若CM=2MD，求直线l的方程；（3）求证：x1x2为定值【解答】（1）解：由椭圆的离心率为22，焦点到对应准线的距离为1可得：ca=22，a2cc=1，a2=b2+c2，解得a=2，c=1=b椭圆的标准方程为：x22+y2=1（2）解：由（1）知C（0，1），设D（x0，y0），CM=2MD，得2y0=1，y0=12，代入椭圆方程得：x022+14=1，解得x0=&

28、#177;62D(±62，-12)，l的方程为：y=±62x+1（3）证明：设D坐标为（x3，y3），由C（0，1），M（x1，0）可得直线CM的方程：y=1x1x+1，联立椭圆方程得：&y=-1x1x+1&x22+y2=1，解得x3=4x1x12+2，y3=x12-2x12+2由B（2，0），得直线BD的方程：y=x12-2-2x12+4x1-22（x2），直线AC方程为：y=22x+1，联立得：x2=2x1，从而x1x2=2为定值20已知点F1、F2为双曲线C：x2-y2b2=1(b0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，

29、且MF1F2=30°圆O的方程是x2+y2=b2（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求PP1PP2的值；（3）过圆O上任意一点Q（x0，y0）作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|【解答】（1）解：设F2，M的坐标分别为(1+b2，0)，(1+b2，y0)因为点M在双曲线C上，所以1+b2-y02b2=1，即y0=±b2，所以|MF2|=b2在RtMF2F1中，MF1F2=300，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2（2分）由双曲线的定义可知：|MF1|-|MF2|

30、=b2=2故双曲线C的方程为：x2-y22=1（4分）（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为l1：2x-y=0；l2：2x+y=0（5分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为，则则点Q到两条渐近线的距离分别为|PP1|=|2x0-y0|3，|PP2|=|2x0+y0|3（7分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：x2-y22=1上，所以2x02-y02=2又cos=13，所以PP1PP2=|2x0-y0|3|2x0+y0|3cos=|2x02-y02|313=29（10分）（3）证明：由题意，即证：OAOB设A（x1，y1），B（x2，y2），切线l的方程为：x0x+y0y=2（1

31、1分）当y00时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：(2y02-x02)x2+4x0x-(2y02+4)=0所以：x1+x2=-4x0(2y02-x02)，x1x2=-(2y02+4)(2y02-x02)又y1y2=(2-x0x1)y0(2-x0x2)y0=1y024-2x0(x1+x2)+x02x1x2=8-2x022y02-x02（13分）所以OAOB=x1x2+y1y2=-(2y02+4)(2y02-x02)+8-2x022y02-x02=4-2(x02+y02)2y02-x02=0（15分）当y0=0时，易知上述结论也成立所以OAOB=x1x2+y1y2=0（16分）综上，OAOB

32、，所以|AB|=2|OM|21已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，QM=QO，QN=QO，求证：1+1为定值【解答】解：（）抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），4=2p，解得p=2，设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组可得&y2=4x&y=kx+1，消y可得k2x2+（2k4）x+1=0，=（2k4）24k20，且k0解得k1，且k0，x1+x2=2k-4k2，x1x2

33、=1k2，又PA、PB要与y轴相交，直线l不能经过点（1，2），即k3，故直线l的斜率的取值范围（，3）（3，0）（0，1）；（）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），则QM=（0，yM1），QO=（0，1）因为QM=QO，所以yM1=yM1，故=1yM，同理=1yN，直线PA的方程为y2=2-y11-x1（x1）=2-y11-y124（x1）=42+y1（x1），令x=0，得yM=2y12+y1，同理可得yN=2y22+y2，因为1+1=11-yM+11-yN=2+y12-y1+2+y22-y2=8-2y1y2(2-y1)(2-y2)=8-2(kx1+1)(kx2+1)1-k(x1+x2

34、)+k2x1x2=8-k2x1x2+k(x1+x2)+11-k(x1+x2)+k2x1x2=8-2(1+4-2kk+1)1-4-2kk+1=4-2×4-2kk2-4-2kk=2，1+1=2，1+1为定值22已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B（B位于第一象限）两点（1）若直线AB的斜率为34，过点A，B分别作直线y=6的垂线，垂足分别为P，Q，求四边形ABQP的面积；（2）若|BF|=4|AF|，求直线l的方程【解答】解：（1）由题意可得F（0，1），又直线AB的斜率为34，所以直线AB的方程为y=34x+1与抛物线方程联立得x23x4=0，解之得x1

35、=1，x2=4所以点A，B的坐标分别为(-1，14)，（4，4）所以|PQ|=|4（1）|=5，|AP|=|6-14|=234，|BQ|=|64|=2，所以四边形ABQP的面积为S=12(234+2)×5=1558（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l：y=kx+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由&y=kx+1&x2=4y化简可得x24kx4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=4因为|BF|=4|AF|，所以-x2x1=4，所以(x1+x2)2x1x2=x1x2+x2x1+2=(4k)2-4=-4k2=-94，所以4k2=94，即k2=916，解得k=±34因为点B位于第一象限，所以k0，则k=34所以l的方程为y=34x+1

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