2022届高三数学一轮复习（原卷版）第13讲 解析几何中的定点定值最值问题（解析版）.docx

《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第13讲 解析几何中的定点定值最值问题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高三数学一轮复习（原卷版）第13讲 解析几何中的定点定值最值问题（解析版）.docx（19页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第13讲 解析几何中的定点定值最值问题高考预测一：最值问题 类型一：弦长或面积问题1如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点（）求抛物线的方程及其准线方程；（）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值【解析】解：（）抛物线的焦点在抛物线上，即有，可得，即有的方程为，其准线方程为（）设，的导数为，直线的斜率为，直线的斜率为，则切线的方程：，即，又，所以，同理切线的方程为，又和都过点，所以，所以直线的方程为联立得，所以，所以点到直线的距离所以的面积，所以当时，取最小值为2即面积的最小值为22已知椭圆经过点，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两个不同的点

2、，求面积的最大值为坐标原点）【解析】解：（1）椭圆经过点，且离心率为，且，解得，椭圆的方程为（2）联立，得，即，设，则，到直线的距离，面积：设，则，由，得或，当时，面积取最大值3已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，记直线在轴上的截距为，求的最大值【解析】解：（1）由题意可知：，则，将代入椭圆方程：，解得：，则，椭圆的方程：；（2）设直线的方程为，设，整理得：，由，解得：，则，解得：，则，则，则，即，当且仅当，即时，上式取等号，此时，则，满足，的最大值为4已知椭圆经过点，且一个焦点为过点作圆的切线交椭圆于，两点（）求椭圆的方程

3、；（）将表示为的函数，并求的最大值【解析】解：（）由题意，设椭圆的方程为椭圆经过点，且一个焦点为，椭圆的方程为；（）由题意知，当时，切线的方程为，此时；当时，设为，代入椭圆方程可得设、的坐标分别为，则，与圆相切，即（当且仅当时取等号）的最大值为25已知椭圆的离心率为，且过点，椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的最小值【解析】解：（1）由，求得，将点，代入椭圆方程可得解得，椭圆的标准方程：（2）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积，当时，上式取

4、等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为6设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点（）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围【解析】解：（）证明：圆即为，可得圆心，半径，由，可得，由，可得，即为，即有，则，故的轨迹为以，为焦点的椭圆，且有，即，则点的轨迹方程为；（）椭圆，设直线，由，设，由可得，设，可得，则，到的距离为，则四边形面积为，当时，取得最小值12，又，可得，即有四边形面积的取值范围是，7已知椭圆经过点，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若

5、点、在椭圆上，且四边形是矩形，求矩形的面积的最大值【解析】解：（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为（2）由题意知直线不垂直于轴时，可设直线，由，得，设，则，又，设，则，令，在，上单调递增，设直线与轴交于点，矩形面积矩形面积 的最大值为，此时直线类型二：涉及坐标、向量数量积等问题8已知椭圆的左焦点为，为坐标原点求过点、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围【解析】解：，圆过点、，圆心在直线上设，则圆半径由，得，解得所求圆的方程为设直线的方程为，代入，整理得直线过椭圆的左焦点，方程有两个不等实根记，中点，则

6、，的垂直平分线的方程为令，得，点横坐标的取值范围为9已知点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线交于不同的两点，若存在点，使得成立，求实数的取值范围【解析】解：（1），点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，曲线的方程是（2）设，两点坐标分别为，、，中点为，由，得，韦达定理代入，化简得，解得且，当时，也满足题意综上所述，的取值范围是，10如图所示，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称（）若点的坐标为，求的值；（）若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围【解析】解：（）依题意，是线段的中点，因为，所以点的坐标为，由于点在椭圆上，即有，解得；（）设，

7、则，因为是线段的中点，所以，因为，所以，所以，即由，消去，整理可得，当且仅当时，上式等号成立所以的取值范围是，11已知，若动点满足（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围【解析】解：（1）设动点，则（2分）由已知得，化简得，即点的轨迹是椭圆（6分）（）设过的直线的方程为，由，得（8分）在椭圆内，（10分）（12分）得（14分）高考预测二：定值问题12已知焦距为的椭圆中心在原点，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行的直线交椭圆与，两点（）求椭圆的方程；（）设直线，的斜率分别为，求证：【解析】解：设椭圆的方程为：，由题意可得，及，

8、解得，椭圆的方程为证明：联立，解得，即设直线的方程为，联立，化为，其分子，即13已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的上方，若，且直线，分别与轴交于点，求线段的长度【解析】解：（1）由椭圆的离心率，则，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8，则，则，解得：，则椭圆的标准方程为：；（2）设直线的方程，则，整理得：，解得：，则，则，则，由，则，则是等腰直角三角形，则，线段的长度414已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直（）求椭圆的方程；（）已知点的坐标为，点的坐标为，过点任作直

9、线与椭圆相交于，两点，设直线，的斜率分别为，若，试求，满足的关系式【解析】解：（）依题意，所以故椭圆的方程为（4分）（）当直线的斜率不存在时，由解得不妨设，因为，又，所以，所以，的关系式为，即（7分）当直线的斜率存在时，设直线的方程为将代入整理化简得，设，则，（9分）又，所以（12分）所以，所以，所以，的关系式为（13分）综上所述，的关系式为（14分）15已知椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，问：是否为定值？并证明你的结论【解析】解：（1）椭圆的两个焦点分别为，以椭圆短轴为直径的圆经过点，解得，椭

10、圆的方程为（2）是定值证明如下：设过的直线：或者时，代入椭圆，令，代入椭圆，设，则，高考预测三：定点问题16已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在一定点，使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）设椭圆的标准方程为面积的最大值为，即联立，解得，椭圆的方程为（2）假设存在一定点，使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值当轴时，把代入椭圆方程可得，当与轴不垂直时，设直线的参数方程为为参数），代入椭圆方程可得：，令，解得此式此时因此存在一定点，使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值317为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点【解析】解：（1）设，则，由得：，因为点在椭圆上，所以，即点的轨迹方程：；（2）由题意设，则，由得：，由已知得，直线的方程：，所以直线恒过定点18已知椭圆的右焦点为，设左顶点为，上顶点为，且，如图所示（）求椭圆的方程；（）若点与椭圆上的另一点（非右顶点）关于直线对称，直线上一点满足，求点的坐标【解析】解：（）由题意，解得，椭圆的方程为；（）设，且，则的中点，由已知，则，令，则，即，舍去），