高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：2.5 指数与指数函数 Word版含答案.doc

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1、淘宝店铺：漫兮教育第五节指数与指数函数指数与指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景(2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点(4)知道指数函数是一类重要的函数模型知识点一根式与幂的运算1根式的性质(1)()na.(2)当n为奇数时，a.(3)当n为偶数时，|a|.(4)负数的偶次方根无意义(5)零的任何次方根都等于零2有理指数幂(1)分数指数幂：正分数指数幂：a(a>0，m，nN*，且n>1)负分数指数幂：a(a>0，m，nN*，且n>1)0的正分数指数幂等于0,0的负分

2、数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质ar·asars(a>0，r、sQ)(ar)sars(a>0，r、sQ)(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)易误提醒在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数易忽视字母的符号自测练习1化简(a>0，b>0)的结果是()AaBabCa2b D.解析：原式a·b.答案：D知识点二指数函数的图象与性质yaxa>10<a<1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<

3、0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1在(，)上是增函数在(，)上是减函数易误提醒指数函数yax(a>0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.必备方法1指数函数图象的三个关键点画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”3底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限

4、内底数越大，函数图象越高4指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x轴有交点，向上(或向下)平移a个单位后，图象都在直线ya(或ya)的上方自测练习2函数yaxa(a>0，且a1)的图象可能是()解：当x1时，ya1a0，所以函数yaxa的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.答案：C3设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aa>c>b Ba>b>cCc>a>b Db>c>a解析：构造指数函数yx(xR)，由该函数在定义域内单调递减可得b<c；又yx(xR)与yx(xR)之间有如下结论：当x>0时，有x>x，故>

5、，即a>c，故a>c>b.答案：A4指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_解析：由题意知0<2a<1，解得1<a<2.答案：(1,2)考点一指数幂的化简与求值|求值与化简：(1)022·(0.01)0.5；(2)a·b2·(3ab1)÷(4a·b3)；(3)(a>0，b>0)解：(1)原式1×1×1.(2)原式ab3÷(4a·b3) ab3÷(ab)a·b·.(3)原式abab1.指数幂运算的四个原则1

6、有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答考点二指数函数图象及应用|(1)函数f(x)2|x1|的图象是()解析f(x)故选B.答案B(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1答案1,1与指数函数图象有关的应用问题的两种求解策略

7、1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x，则关于x的方程f(x)x在x0,4上解的个数是()A1 B2 C3 D4解析：由f(x1)f(x1)可知T2.x0,1时，f(x)x，又f(x)是偶函数，可得图象如图f(x)x在x0,4上解的个数是4个故选D.答案：D考点三指数函数的性质及应用|高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题归纳起来常见的命题探究角度有：1比较指数式的

8、大小2与指数函数有关的奇偶性及应用3探究指数型函数的性质探究一比较指数式的大小1(2015·高考山东卷)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aa<b<c Ba<c<bCb<a<c Db<c<a解析：由指数函数y0.6x在(0，)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数yx0.6在(0，)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b<a<c，故选C.答案：C探究二与指数函数有关的奇偶性及应用2(2015·高考山东卷)若函数f(x)是奇函数，则使f

9、(x)>3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1,0)C(0,1) D(1，)解析：f(x)，由f(x)f(x)得，即1a·2x2xa，化简得a·(12x)12x，所以a1，f(x).由f(x)>3得0<x<1.故选C.答案：C探究三指数型函数的性质应用3已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解：(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x

10、)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使yg(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0.(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.指数函数的性质及应用问题三种解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的

11、单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论 4.换元法解决与指数函数有关的值域问题【典例】函数yxx1在区间3,2上的值域是_思路点拨设tx，则xt2，这样原函数就可转化为二次函数解析因为x3,2，所以若令tx，则t，故yt2t12.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数值域为.答案方法点评与指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化跟踪练习

12、已知0x2，则y4x3·2x5的最大值为_解析：令t2x，0x2，1t4，又y22x13·2x5，yt23t5(t3)2，1t4，t1时，ymax.答案：A组考点能力演练1已知函数f(x)axb的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()Aa>1，b<0 Ba>1，b>0C0<a<1，b<0 D0<a<1，b>0解析：由图象呈下降趋势知，0<a<1，又ab<1a0，故b>0，即b<0.答案：C2函数y2x2x是()A奇函数，在区间(0，)上单调递增B奇函数，在区间(0，)上

13、单调递减C偶函数，在区间(，0)上单调递增D偶函数，在区间(，0)上单调递减解析：根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性令f(x)2x2x，则f(x)2x2xf(x)，所以函数是奇函数，排除C，D.又函数y2x，y2x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)2x2x是R上的增函数，故选A.答案：A3(2015·日照模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有()Af<f<fBf<f<fCf<f<fDf<f<f解析：函数f(x)的图象关

14、于直线x1对称，f(x)f(2x)，fff，fff，又x1时，f(x)3x1为单调递增函数，且<<，f<f<f，即f<f<f，故选B.答案：B4已知实数a，b满足等式2a3b，下列五个关系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；ab0.其中有可能成立的关系式有()A1个 B2个C3个 D4个解析：依题意，在同一坐标系下画出函数y2x，y3x的图象与直线yt，平移直线yt，通过观察可知，直线yt分别与函数y2x，y3x的图象的交点的横坐标a，b的大小关系可能是a<b<0；ab0；0<

15、b<a，因此其中有可能成立的关系式共有3个，故选C.答案：C5(2015·济宁三模)已知函数f(x)|2x1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa<0，b<0，c<0 Ba<0，b0，c>0C2a<2c D2a2c<2解析：作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，0<2a<1.f(a)|2a1|12a<1，f(c)&l

16、t;1，0<c<1.1<2c<2，f(c)|2c1|2c1，又f(a)>f(c)，12a>2c1，2a2c<2，故选D.答案：D6计算：×08×_.解析：原式×12×22.答案：27已知函数f(x)ax11(a0)的图象恒过定点A，则点A的坐标是_解析：由题意，因为a为变量，所以只有当ax1为定值时，函数的图象才过定点，所以x1，y2，定点A(1,2)答案：(1,2)8函数f(x)ax(a>0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，则a的值为_解析：当a>1时，f(x)ax为增函数，在x1,2上，

17、f(x)最大f(2)a2，f(x)最小f(1)a.a2a.即a(2a3)0.a0(舍)或a>1.a.当0<a<1时，f(x)ax为减函数，在x1,2上，f(x)最大f(1)a，f(x)最小f(2)a2.aa2.a(2a1)0，a0(舍)或a.a.综上可知，a或a.答案：或9已知2x2xx1，求函数y2x2x的值域解：由2x2xx122x2，得x2x2x2，即x2x20解得2x1.令t2x，t，则yt，易知yt在区间上是增函数，所以，函数yt的值域为，即函数y2x2x的值域为.10(2016·天津期末)已知函数f(x)exex(xR，且e为自然对数的底数)(1)判断函

18、数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)exx，f(x)exx，f(x)>0对任意xR都成立，f(x)在R上是增函数f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数(2)存在由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立f(x2t2)f(tx)对一切xR都成立x2t2tx对一切xR都成立t2tx2x2对一切xR都成立t2t(x2x)mint2t20，又0，20，t，存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR

19、都成立B组高考题型专练1(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3 Bf(x)3xCf(x)x Df(x)x解析：对于选项A，f(xy)(xy)3f(x)f(y)x3y3，排除A；对于选项B，f(xy)3xy3x·3yf(x)f(y)，且f(x)3x在其定义域内是单调增函数，B正确；对于选项C，f(xy)f(x)f(y)xy，排除C；对于选项D，f(xy)xyxyf(x)f(y)，但f(x)x在其定义域内是减函数，排除D.故选B.答案：B2(2015·高考山东卷)已知函数f(x)axb(a>0，a

20、1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a>1时，f(x)在1,0上单调递增，则无解当0<a<1时，f(x)在1,0上单调递减，则解得ab.答案：3(2015·高考江苏卷)不等式2x2x<4的解集为_解析：不等式2x2x<4可转化为2x2x<22，利用指数函数y2x的性质可得，x2x<2，解得1<x<2，故所求解集为x|1<x<2答案：(1,2)4(2015·高考福建卷)若函数f(x)2|xa|(aR)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在m，)上单调递增，则实数m的最小值等于_解析：因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)关于直线x1对称，所以a1，所以函数f(x)2|x1|的图象如图所示，因为函数f(x)在m，)上单调递增，所以m1，所以实数m的最小值为1.答案：1