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1、专题06 三角函数及解三角形1（2021·江苏高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）ABCD【答案】A【分析】由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.【详解】由题，得，所以，令，得，所以的对称轴为，当时，所以函数的一条对称轴为.故选：A2（2021·全国高考真题（文）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A和B和2C和D和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C3（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）A奇函数，最大值为
2、2B偶函数，最大值为2C奇函数，最大值为D偶函数，最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.4（2021·全国高考真题）若，则（ ）ABCD【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果【详解】将式子进行齐次化处理得：故选：C【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论5（2021·浙江
3、高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A0B1C2D3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.6（2021·全国高考真题（文）在
4、中，已知，则（ ）A1BCD3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形7（2021·全国高考真题（文）若，则（ ）ABCD【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，解得，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化
5、简求出.8（2021·全国高考真题（文）下列函数中最小值为4的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意【详解】对于A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意故选：C【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出9（202
6、1·全国高考真题（文）（ ）ABCD【答案】D【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.10（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）ABCD【答案】A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意
7、要先把化为正数11（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，点，则（ ）ABCD【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，所以，故，正确；B：，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，正确；D：由题意得：，故一般来说故错误；故选：AC12（2021·江苏高考真题）已知，且，则的值是_.【答案】【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.【详解】，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.13（2021·浙江高考真题
8、）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则_.【答案】25【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：，则其面积为：，小正方形的面积：，从而.故答案为：25.14（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的_【答案】（满足即可）【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.【详解】与关于轴对称，即关于轴对称， ，则，当时，可取的一个值为.故
9、答案为：（满足即可）.15（2021·全国高考真题（文）已知函数的部分图像如图所示，则_.【答案】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知f(x)Acos(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可
10、用诱导公式变换使其符合要求.16（2021·浙江高考真题）在中，M是的中点，则_，_.【答案】 【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.【详解】由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案为：；.17（2021·江苏高考真题）已知向量，设函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，所对的边分别为，若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理
11、知，再利用余弦定理求出，最后由三角形面积公式得解【详解】（1）因为，所以函数当时，（2）为锐角三角形，. 又 即 18（2021·天津高考真题）在，角所对的边分别为，已知，（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值【答案】（I）；（II）（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，；（II）由余弦定理可得；（III），所以.19（2021·全国高考真题）在中，角、所对的边长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数
12、，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故.20（2021·北京高考真题）已知在中，（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长
13、度；周长为；面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得，解得；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.21（2021·全国高考真题）
14、记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.【详解】（1）由题设，由正弦定理知：，即，又，得证.（2）由题意知：，同理，整理得，又，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及得到的数量关系，结合已知条件及余弦定理求.22（2021·浙江高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析
15、】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，由可得，所以当即时，函数取最大值.1（2020·江苏高三一模）已知，则（ ）ABCD【答案】B【分析】首先根据二倍角公式得到，从而得到，再利用诱导公式求解即可.【详解】，因为，所以，所以.因为，所以.所以.故选：B2（2021·全国高三其他模拟（文）中角，所对的边分别为，若的周长为15，且三边的长成等差数列，则的面积为（ ）ABCD【答案】D【分析】利用正弦定理和余弦定理化
16、简可得，可得，故为最大边，由数列性质设，再由余弦定理即可得解.【详解】由余弦定理可得，整理得，所以，故为最大边，不失一般性，设，()，代入得，所以，的面积为，故选：D.3（2021·福建高三其他模拟）已知，且，则（ ）ABCD【答案】D【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得，结合求出的值，再根据正切的二倍角公式即可.【详解】，故，又因为，且故，或，则或，故，故选：D4（2021·全国高三其他模拟（文）设，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用指数、对数三角函数的性质判定a,b,c与0，1的大小关系，即可得到a,b,c的大小关系.【详解】，所以，故选：C
17、.5（2021·全国高三其他模拟（文）已知，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据同角三角函数关系式直接计算即可.【详解】，两边同时平方可得，又，故，解得或，又，故选：B.6（2021·全国高三其他模拟（文）把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则下列数中可能是的值的为（ ）ABCD【答案】D【分析】由平移变换写出变换后函数解析式，再根据诱导公式得出结论【详解】由题意，它为偶函数，则，只有时满足故选：D7（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是（ ）A是奇函数B的周期是C
18、的图象关于直线对称D的图象关于点对称【答案】D【分析】利用三角函数图象变换可得函数的解析式，然后利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出正确选项.【详解】由题意可得，对于A，函数是偶函数，A错误：对于B，函数最小周期是，B错误；对于C，由，则直线不是函数图象的对称轴，C错误；对于D，由，则是函数图象的一个对称中心，D正确.故选：D.8（2020·江苏高三一模）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，若，则_.【答案】【分析】由题意求出，进而得出函数的解析式，将代入即可.【详解】函数是奇函数，则，因为的最小正周期为
19、，所以，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为，又，所以，解得，所以所以.故答案为：9（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文）在中，角、的对边分别为、，若，则_.【答案】【分析】本题可通过余弦定理得出结果.【详解】由余弦定理易知：，即，则是以角为直角顶点的直角三角形，故答案为：.10（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（文）已知过球面上三点的截面到球心距离等于球半径的一半，且，则球面面积为_.【答案】【分析】利用余弦定理求得，进而得到的值，利用正弦定理求得ABC的外接圆半径，进而利用球的截面圆心与球心的连线
20、垂直于截面，利用直角三角形中边角关系求得外接球的半径，利用球的面积公式计算即可.【详解】如图所示，设外接球O,截面圆圆心为,连接,则.,球的面积为,故答案为：11（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文）南宋数学家秦九韶著有数书九章，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余
21、四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示在中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，若，且则面积的最大值为_【答案】【分析】利用余弦定理化简已知条件得到的关系式，将的关系式代入所给的面积公式中，将面积转化为关于的函数形式，根据二次函数的对称轴求解出面积的最大值即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以当时，有最大值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于余弦定理边角互化的运用以及对新的三角形面积公式的分析，先通过余弦定理分析边之间的关系，再根据二次函数模型求解最值.12（2020·全国高三其他模拟（文）的内角A，B，
22、C的对边分别为a，b，c，已知，则_.【答案】【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可直接求解.【详解】解：因为，由正弦定理得，因为,所以，所以，又,所以，因为，由余弦定理得，解得：.故答案为：.【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择13（2020·江苏高三一模）已知函数.（1）求函数在区间上的值域；（2）设在锐角中，角，所对的边分别是，且，求的面积的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】(1)利用两角和与差的三角函数化简函数得到，结合角的范围，求出相位的范围，再求函数的值域.(2)利用余弦定理
23、和基本不等式化简即可推出的面积的最大值.【详解】(1)由函数，因为，所以，即的值域为；(2)由题意知，在锐角中，又，由余弦定理和基本不等式可得，有，当且仅当时等号成立，所以，即的面积的最大值为：.14（2021·陕西高三其他模拟（文）在中，角，的对边分别为，的平分线交线段于点，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，利用正弦定理，结合求解；（2）在中，根据，利用余弦定理求得a，c，再利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）如图所示：在中，由正弦定理得，因为，所以，所以；（2）在中，因为，由余弦定理得：，解得，所以的面积是，.15（2021
24、3;广东揭阳市·高三其他模拟）在中，内角，的对边分别为，已知的面积为，（1）求边的最小值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据建立不等关系求解即可；（2）由正余弦定理及三角形的面积公式求解即可.【详解】（1），所以，由，得，所以的最小值为；（2）由及正弦定理，得，由余弦定理及，得，所以，即，解得.16（2021·全国高三其他模拟（文）在中，角，所对的边分别是，且.（1）求证：三内角，成等差数列；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式及诱导公式变形求得角后可证得结论；（2）
25、由三角形面积求得，再由正弦定理得，可解得，用余弦定理求得后可得周长【详解】（1）由正弦定理得.，又，所以，所以，所以，所以，所以成等差数列；（2）由题意，又，由正弦定理得，由，解得（边长为正，负的舍去），所以三角形周长为17（2021·全国高三其他模拟（文）已知的内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的值；（2）先根据三角形的面积公式求解出的值，然后根据余弦定理求解出的值，由此可求解出周长值.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以且，所以；（2）因为，所以，又因为，所以，所以，所以周
26、长为.18（2021·全国高三其他模拟（文）已知锐角的内角的对边分别为且；（1）求角；（2）如图，边的垂直平分线交于，交边于，求长【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理得，化简计算即可求得结果；（2）由已知可得，在中，由正弦定理可求得，在中，由计算即可求得结果.【详解】（1），由正弦定理得，则，即，又是锐角三角形的内角，故（2）是等腰三角形，且是一个底角，故为的中点，则，在中，由正弦定理得，故，故在中，19（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文）的内角，的对边分别为，已知，（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；
27、（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可得，结合，可求的值，进而根据余弦定理可求的值（2）由角平分线的性质可知：，进而根据三角形的面积公式即可求解（3）由题意可得，根据平面向量的基本定理、共线定义以及平面向量的运算可得，即可得的值【详解】（1）因为，在中，由余弦定理得，（2）由角分线性质知：，所以过做垂直于点，则所以（3）由题意可知：，.【点睛】关键点点睛：在解决第（2）问时，要注意内角角平分线定理的使用，这是解决这题的关键.20（2021·吉林松原市·高三月考）在中，内角的对边
28、分别为，已知.（1）若，求的面积；（2）若，求角.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）结合正弦定理、同角的商数关系以及恒等变换，然后化简求，进而结合面积公式即可求解；（2）结合正弦定理以及恒等变换，然后化简求值即可.【详解】在中，由正弦定理得，且，转化为，所以，而，所以，即，为内角，.（1），由正弦定理得，的面积为.（2）由，得，在中，由正弦定理得，且，得，或，或.21（2021·福建高三三模）在中，.（1）求的面积；（2）在边上取一点，使得，求.【答案】（1）；（2）.【分析】法一：（1）由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.（2）在中，由正
29、弦定理得的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据两角差的正切公式即可求解的值.法二：（1）同解法一.（2）在中，由正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角和与差的正切公式即可求解.【详解】解：法一：（1）由余弦定理得，由题设知，所以，又，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，所以，又，所以，所以，在中，所以，因为，所以.法二：（1）同解法一.（2）在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以.所以，在中，因为，所以.在中，所以，因为，所以.【点睛】关键点睛：本小题关键是正弦定理余弦定理两角和差公式等基础知识的运用，考查运算求解能力.考查化归与转化思想等.22（2021&#
30、183;广东高三其他模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B的大小；（2）如图，在AC边的右侧取点D，使得，若，求当为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求其最大值【答案】（1）；（2）当时，四边形ABCD的面积取得最大值【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后求解出的值，则的大小可求；（2）设，利用余弦定理表示出，再分别表示出，将四边形的面积表示为的函数，利用辅助角公式以及三角函数的性质求解出面积的最大值以及对应的大小.【详解】（1）在ABC中，由正弦定理得，所以，所以因为，所以又，故（2）由（1）知，且，所以ABC为等边三角形设，则在ACD中，由余弦定理得，所以，四边形ABCD的面积因为，所以当，即时，所以当时，四边形ABCD的面积取得最大值23（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文）如图，在中，点是边上的一点，.（1）求的面积；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求，再求，利用面积公式计算即可.（2）根据余弦定理求出，再依据正弦定理即可求解.【详解】（1）在中，因为，由余弦定理得，所以，又由，所以.在中，由余弦定理得，解得，又由正弦定理得，即，解得.
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