人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：导数的恒成立与能成立问题.docx

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1、导数的恒成立与能成立问题知识讲解一、导数的恒成立问题1.，恒成立2.，恒成立3.，恒成立4.，恒成立5.，恒成立6.，恒成立7.，恒成立二、导数的能成立问题1.，成立2.，成立3.，成立4.，成立5.，成立6.，成立三、恒成立与能成立综合问题1.，成立2.，成立3.，成立经典例题一选择题（共5小题）1a为常数，xR，f（x）=a2x2+ax+10，则a的取值范围是（）Aa0Ba0Ca0DaR【解答】解：当a=0时符合条件，当a0时，a20，=a24a2×1=3a20，综上aR故选：D2在ABC中，D为AB的中点，点F在线段CD（不含端点）上，且满足AF=xAB+yAC，若不等式1x+

2、2ya2+at对t2，2恒成立，则a的最小值为（）A4B2C2D4【解答】解：AF=xAB+yAC=2xAD+yAC，因为点F在线段CD（不含端点）上，所以C，F，D三点共线，所以2x+y=1且x0，y0，则1x+2y=（1x+2y）（2x+y）=4+yx+4xy4+2yx4xy=8，当且仅当yx=4xy，即x=14，y=12时，上式取等号，故1x+2y有最小值8，不等式1x+2ya2+at对t2，2恒成立，就是8a2+at对t2，2恒成立，即a2+at80对t2，2恒成立，可得：&a2-2a-80&a2+2a-80，解得a2，2则a的最小值为2故选：B3已知x0，y0，且x+

3、2yxy=0，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围（）A（，24，+）B（，42，+）C（2，4）D（4，2）【解答】解：x0，y0，且x+2yxy=0，可得2x+1y=1，x+2y=（x+2y）（2x+1y）=2+4yx+xy+28（当且仅当x=4，y=2时取到等号）（x+2y）min=8x+2ym2+2m恒成立，即m2+2m（x+2y）min=8，即m2+2m8，解得：4m2故选：D4已知函数f（x）=ax+x2xlna，对任意的x1，x20，1，不等式|f（x1）f（x2）|a2恒成立，则a的取值范围为（）Ae2，+）Be，+）C2，eDe，e2【解答】解：函数f（x）=ax+

4、x2xlna，x0，1，则f（x）=axlna+2xlna=（ax1）lna+2x当0a1时，显然|f（x1）f（x2）|a2不可能成立当a1时，x0，1时，ax1，lna0，2x0，此时f（x）0；f（x）在0，1上单调递增，f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1lna，而|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min=alna，由题意得，alnaa2，解得ae2，故答案为：e2，+）故选：A5当x（1，2）时，不等式x2+mx+20恒成立，则m的取值范围是（）A（3，+）B（22，+）C3，+）D22，+）【解答】解：由x（1，2）时，不等式x2+mx+20恒

5、成立，得m（x+2x）对任意x（1，2）恒成立，即m-(x+2x)max，x+2x22当x=2时，-(x+2x)取得最大值22，m22，m的取值范围是22，+），故选：D二填空题（共5小题）6若关于x的不等式ax2+x2a0的解集中有且仅有6个整数解，则实数a的取值范围是（317，523）【解答】解：关于x的不等式ax2+x2a0的解集中仅有6个整数解，&a0&=1+8a20，解得a0，f（0）=2a0，f（2）=2+2a0，f（1）=1a，如果a1，则f（1）=1a0，不等式ax2+x2a0的解集中有且仅有6个整数解为：4，3，2，1，0，1；可得f（5）0，f（4）0，解得

6、：a（513，27），不满足题意；如果a（0，1），则f（1）=1a0，不等式ax2+x2a0的解集中有且仅有6个整数解为：5，4，3，2，1，0；可得f（6）0，f（5）0，即&34a-60&23a-50，解不等式得：a（317，523），故答案为：（317，523）7若不等式x24x+3m0的解集为空集，则实数m的取值范围是43，+）【解答】解：由题意，知x24x+3m0对一切实数x恒成立，所以=（4）24×3m0，解得m43故答案为：43，+）8若关于x的不等式（2x1）2ax2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是94，259）【解答】解：由题知，a0

7、则ax2（2x1）2ax2（2x1）20（ax+2x1）（ax2x+1）0即（a+2）x1（a2）x+10由于a+20，而不等式的解答中恰有两个整数解，故必有a20，即必有a4所以不等式可变为（a+2）x1（2a）x10解得1a+2x12-a，又1a+21，结合解集中恰有两个整数可得12-a2且12-a3，所以有2-a12且2-a13，解得259a94所以a94，259）故答案为：94，259）9已知关于x的不等式|x+2|+|x1|a恒成立，则实数a的取值范围是（，3）【解答】解：由|x+2|+|x1|（x+2）（x1）|=3，当且仅当2x1时，上式取得等号，关于x的不等式|x+2|+|x1

8、|a恒成立，可得a|x+2|+|x1|的最小值，可得a3，故答案为：（，3）10若关于x的不等式（2x1）2ax2的解集中的整数恰有1个，则实数a的取值范围是1，94)【解答】解：（2x1）2ax2(2x-1)2x2a(2x-1x)2a故a0且|2-1x|a解得12+ax12-a，又由0a4，且012+a12，12-a12，112-a2，解得a1，94)故答案为 1，94)三解答题（共5小题）11已知函数f（x）=2ax+a-42ax+a（a0，a1）是定义在R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；（3）当x（0，1时，tf（x）2x2恒成立，

9、求实数t的取值范围【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，则f（0）=2+a-42+a=0，得a=2；（2）当a=2时，f（x）=22x-222x+2=2x-12x+1=2x+1-22x+1=122x+1，则f（x）在定义域R上的单调递增；设x1x2，则f（x1）f（x2）=122x+1（122x2+1）=22x2+122x+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)，x1x2，2x12x2，则f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），即函数f（x）在R上是增函数（3）当x（0，1时，函数f（x）为增函数，则f（0）f（x）f（1），即0f（x）13，则t

10、f（x）2x2恒成立等价为t2x-2f(x)=(2x-2)(2x+1)2x-1恒成立设g（x）=(2x-2)(2x+1)2x-1=2x22x-1，下证明g（x）为增函数，设0x1x21，则g（x2）g（x1）=2x222x2-12x1+22x1-12x2+22x2-1=（2x22x1）（1+2(2x1-1)(2x2-1)）0，即g（x2）g（x1），则g（x）在（0，1上增函数，则g（x）的最大值为g（1）=0，则t012设函数f（x）=|x+a|+|x3a|（）若f（x）的最小值是4，求a的值；（）若对于任意的实数xR，总存在a2，3，使得m24|m|f（x）0成立，求实数m的取值范围【解答

11、】解：（）函数f（x）=|x+a|+|x3a|（x+a）（x3a）|=4|a|，由已知f（x）的最小值是4，知4|a|=4，解得a=±1（）对于任意的实数xR，总存在a2，3，使得m24|m|f（x）0成立，可知m24|m|4|a|，又a是存在的，|m|24|m|4|a|max=12即|m|24|m|120，变形得（|m|6）（|m|+2）0，|m|6，6m613已知函数f（x）=|2x+b|+|2xb|（I）若b=1解不等式f（x）4（）若不等式f（a）|b+1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围【解答】解：（）函数f（x）=|2x+b|+|2xb|，b=1时，不等式f（x）4为

12、|2x+b|+|2xb|4，它等价于&x12&4x4或&x-12&-4x4或&-12x12&24，解得x1或x1或x；不等式f（x）4的解集为（，1）（1，+）（）f（a）=|2a+b|+|2ab|=|2a+b|+|b2a|（2a+b）+（b2a）|=|2b|，当且仅当（2a+b）（b2a）0时f（a）取得最小值为|2b|；令|2b|b+1|，得（2b）2（b+1）2，解得b13或b1，b的取值范围是（，13）（1，+）14已知函数f（x）=x1ex的定义域为（0，+）（）求函数f（x）在m，m+1（m0）上的最小值；（）对x（0，+），不等式x

13、f（x）x2+ax1恒成立，求a的取值范围【解答】解：（）f（x）=ex(x-1)x2，令f（x）=0，解得x=1，当x1时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当0x1时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当m1时，函数f（x）在m，m+1上单调递增，f（x）min=f（m）=emm，0m1时，函数f（x）在m，1上单调递减，在1，m+1上单调递增，f（x）min=f（1）=e；（）对x（0，+），不等式xf（x）x2+ax1恒成立，即aexx+x+1x，令g（x）=exx+x+1x，g（x）=(ex+x+1)(x-1)x2，由g（x）0，可得x1，函数g（x）在（1，+）上单调递增，由g（x

14、）0，可得0x1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）min=g（1）=e+2，ae+215设f（x）=ax3+xlnx（aR）（1）求函数g(x)=f(x)x的单调区间；（2）若x1，x2（0，+）且x1x2，不等式f(x1)-f(x2)x1-x22恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）g（x）=ax2+lnx（x0），g'(x)=2ax+1x=2ax2+1x0当a0时，2ax2+10恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，由2ax2+10得0x-12a，f（x）在(0，-12a)上单调递增，在(-12a，+)上单调递减（2）x1x20，f(x1)-f(x2)x1-x22，f（x1）f（x2）2x12x2，f（x1）2x1f（x2）2x2，即F（x）=f（x）2x在（0，+）上为减函数，F（x）=ax32x+xlnx，F'（x）=3ax22+1+lnx=3ax21+lnx0，3a1-lnxx2，x0令h(x)=1-lnxx2，h'(x)=x2(-1x)-2x(1-lnx)x4=2lnx-3x3=0，x=e32当x(0，e32)，h'（x）0，h（x）单调递减，当x(e32，+)，h'（x）0，h（x）单调递增，h(x)|_min=h(e32)，3a-12e3，a-16e3a的取值范围是(-，-16e3