2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训42 空间几何体的结构及其表面积、体积 作业.doc

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1、1 空间几何体的结构及其表面积、体积 建议用时：45 分钟 一、选择题 1下列说法中正确的是( ) A斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 B水平放置的正方形的直观图有可能是梯形 C一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体 D用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 答案 D 2一个球的表面积是 16，那么这个球的体积为( ) A.163 B.323 C16 D24 B 设球的半径为 R，则 S4R216，解得 R2，则球的体积 V43R3323. 3 九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马

2、”若某“阳马”的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形， 则该“阳马”的表面积为( ) A1 2 B12 2 2 C2 2 D22 2 C 由三视图可得该“阳马”的底面是边长为 1 的正方形，高为 1，则表面积为 121211212 212 2，故选 C. 4用长为 8，宽为 4 的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( ) A32 B.32 C.16 D.8 B 若 8 为底面周长，则圆柱的高为 4，此时圆柱的底面直径为8，其轴截面的面积为32；若 4 为底面周长，则圆柱的高为 8，此时圆柱的底面直径为4，其轴截面的面积为32. 5(2019

3、哈尔滨模拟)将半径为 3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( ) A B2 C3 D4 B 半径为 3，圆心角为23的扇形弧长为 2， 故其围成的圆锥母线长为 3，底面圆周长为 2， 得其底面半径为 1，如图，MB1，AB3, AM2 2，由相似可得ONMBAOAB，得 ON22， S球4122.故选 B. 二、填空题 6.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)， ABC45， ABAD1， DCBC，则这块菜地的面积为_ 3 222 如图 1，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E. 图 1 图 2 在 RtABE 中

4、，AB1，ABE45，BE22. 而四边形 AECD 为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC221.由此可还原原图形如图 2.在原图形中，AD1，AB2，BC221， 且 ADBC， ABBC， 这块菜地的面积 S12(ADBC)AB1211222222. 7 (2019 全国卷)学生到工厂劳动实践， 利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCD- A1B1C1D1挖去四棱锥 O- EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需

5、原料的质量为_g. 1188 由题易得长方体 ABCD- A1B1C1D1的体积为 664144(cm3)， 四边形 EFGH 为平行四边形，如图所示，连接 GE，HF，易知四边形 EFGH的面积为矩形 BCC1B1面积的一半，即126412(cm2)，所以 V四棱锥O- EFGH1331212(cm3)，所以该模型的体积为 14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g) 8(2019 中原六校联考二模)已知三棱柱 ABC- A1B1C1的所有顶点都在球 O4 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球 O 的表面积为 20，则三

6、棱柱的体积为_ 6 3 因为三棱柱 ABC- A1B1C1的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为 a，高为 h，截面圆的半径为 r，球半径为 R, 球 O 的面积为 20，4R220，解得 R 5，底面和侧面截得的圆的大小相同， (a2)2(h2)2(a3)2, a 3h， 又(h2)2(a3)2R2， 由得 a2 3，h2， 三棱柱的体积为 V34(2 3)226 3.故选 A. 三、解答题 9若圆锥的表面积是 15，侧面展开图的圆心角是 60，求圆锥的体积 解 设圆锥的底面半径为 r，母线为 l， 则 2r13l，得 l6r. 又 S

7、锥r2r6r7r215，得 r157， 圆锥的高 h l2r2 36r2r2 35 r 351575 3， V13r2h131575 325 37. 10.如图所示， 正四棱台的高是 17 cm， 两底面边长分别为 4 cm和 16 cm，求棱台的侧棱长和斜高 解 设棱台两底面的中心分别为 O和 O，BC，BC 的中点分别为 E，E，连接 OB，OE，OO，OE，OB，EE， 则四边形 OEEO，OBBO均为直角梯形 在正方形 ABCD 中，BC16 cm， 则 OB8 2 cm，OE8 cm， 5 在正方形 ABCD中，BC4 cm， 则 OB2 2 cm，OE2 cm， 在直角梯形 OOB

8、B中， BB OO2（OBOB）219(cm)； 在直角梯形 OOEE中， EE OO2（OEOE）25 13(cm) 所以这个棱台的侧棱长为 19 cm，斜高为 5 13 cm. 1用一个平面去截正方体，则截面图形有下述四个结论： 正三角形；正方形；正五边形；正六边形 其中所有正确结论的编号是( ) A B. C D. B 用一个平面去截正方体，则截面的情况为： 截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形； 截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形； 截面为五边形时，不可能是正五边形； 截面为六

9、边形时，可以是正六边形 2已知三棱锥 S- ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.22 A 由于三棱锥 SABC 与三棱锥 O- ABC 底面都是ABC，O是 SC 的中点，因此三棱锥 S- ABC 的高是三棱锥 O- ABC 高的 2 倍， 所以三棱锥 S- ABC 的体积也是三棱锥 O- ABC 体积的 2 倍 在三棱锥 O- ABC 中，其棱长都是 1，如图所示， 6 SABC34AB234， 高 OD1233263， VSABC2VOABC213346326.

10、 3 (2019 全国卷)中国有悠久的金石文化， 印信是金石文化的代表之一 印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_ 图 1 图 2 26 21 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由 18 个正方形，8 个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有 26 个面注

11、意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为 x，则22xx22x1，解得 x 21，故题中的半正多面体的棱长为 21. 4.如图， 在ABC 中， AB8， BC10， AC6， DB平面 ABC，且 AEFCBD，BD3，FC4，AE5.求此几何体的体积 解 法一：(分割法)如图，取 CMANBD，连接 DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥 则 V几何体V三棱柱V四棱锥 由题知三棱柱 ABC- NDM 的体积为 V11286372. 四棱锥 D- MNEF 的体积为 7 V213S梯形MNEFDN 1312(12)6824， 则

12、几何体的体积为 VV1V2722496. 法二：(补形法)用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以 V几何体12V三棱柱12SABCAA1224896. 1.如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点 D 为侧棱 BB1上的动点，当 ADDC1最小时，三棱锥 D- ABC1的体积为_ 13 将直三棱柱 ABCA1B1C1的两侧面展开成矩形ACC1A1，如图，连接 AC1，交 BB1于 D，此时 ADDC1最小 AB1，BC2，BB13，ABC90，点 D 为侧棱BB1上的动点， 当 ADDC1最小时，BD1，此时三棱锥 D- AB

13、C1的体积为 VDABC1VC1ABD13 SABDB1C1 1312AB BD B1C1 131211213. 2(2019 吉林长春三模)我国古代数学名著九章算术 商功中阐述：“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示， 图中网格纸上小正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述： 8 四个侧面都是直角三角形； 最长的侧棱长为 2 6； 四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； 外接球的表面积为 24. 其中正确的描述为_ 由三视图还原几何体，其示意图如图所示 可知该几何体为四棱锥，PA底面 ABCD，PA2， 底面 ABCD 为矩形，AB2，BC4. 由勾股定理易得，该四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故正确； 由已知可得，PB2 2，PC2 6，PD2 5，则四棱锥最长的侧棱长为2 6，四个侧面均不全等，故正确，错误； 把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为12PC 6，外接球表面积为 4( 6)224，故正确