《A版数学（理）高考一轮复习教案：3.3 三角函数的图象与性质 Word版含答案_20210103224741.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《A版数学（理）高考一轮复习教案：3.3 三角函数的图象与性质 Word版含答案_20210103224741.doc（16页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、淘宝店铺：漫兮教育第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R单调性递增区间：(kZ) 递减区间：(kZ)递增区间：2k，2k (kZ) 递减区间：2k，2k (kZ)递增区间：(kZ)最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(k
2、Z)时，ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ对称中心，kZ对称中心，kZ对称轴l：xk，kZ对称轴l：xk，kZ无对称轴周期性22易误提醒1正切函数的图象是由直线xk(kZ)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是，kZ不能说它在整个定义域内是增函数，如<，但是tan >tan ，正切函数不存在减区间2三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结3研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“kZ”这一条件必记结论函数yAsin(x)，当k(kZ)时是奇函数，当k(kZ)时是偶函数；函数yAcos(x)，当k(kZ)时是偶函数，当k(kZ)时是奇函
3、数自测练习1函数ytan 3x的定义域为()A.B.C.D.解析：由3xk，得x，kZ.答案：D2设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析：f(x)sincos 2x，f(x)是最小正周期为的偶函数答案：B3已知函数f(x)sin(>0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于直线x对称 B关于点对称C关于直线x对称 D关于点对称解析：f(x)sin(>0)的最小正周期为，2，即f(x)sin.经验证可知fsinsin 0，即是函数f(x)的一个对称点答案：B4函数y32cos的最大值为
4、_，此时x_.解析：函数y32cos的最大值为325，此时x2k，即x2k(kZ)答案：52k(kZ)考点一三角函数的定义域、值域|1函数y的定义域为()A.B.，kZC.，kZDR解析：cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.答案：C2函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 BC0 D.解析：因为0x，所以2x，由正弦函数的图象知，1sin，所以函数f(x)sin在区间上的最小值为，故选B.答案：B3已知函数f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|，则f(x)的值域是_解析：f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|画出函数f(x)的图象(实线)，如
5、图，可得函数的最小值为1，最大值为，故值域为.答案：1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为yAsin(x)的形式，通过分析x的范围，结合图象写出函数的值域(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决(3)数形结合法，作出三角函数图象可求考点二三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性解(1)f(x)sinsin xcos2xco
6、s xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可若为负，则要先把化为正数(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间 1已知>0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A.B.C. D(0,2解析：由<x<得<x<，又
7、ysin t在区间上递减，且，解之得.答案：A2求函数ytan的单调区间解：把函数ytan变为ytan.由k<2x<k，kZ，得k<2x<k，kZ，即<x<，kZ.故函数ytan的单调减区间为(kZ)考点三三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一归纳起来常见的命题角度有：1三角函数的周期性2三角函数的奇偶性3三角函数的对称轴或对称中心4三角函数性质的综合应用探究一三角函数的周期性1函数y的最小正周期为_解析：ysin的最小正周期T，T.
8、答案：2(2015·高考湖南卷)已知>0，在函数y2sin x与y2cos x的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则_.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2(x2x1)2(y2y1)2，其中|y2y1|()2，|x2x1|为函数y2sin x2cos x2sin的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)22(2)2，.答案：探究二三角函数的奇偶性3若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则()A.B.C. D.解析：由ysin是偶函数知k，kZ，
9、即3k，kZ，又0,2，.答案：C探究三三角函数的对称轴或对称中心4若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1 B2C4 D8解析：由题知k(kZ)6k2(kZ)min2，故选B.答案：B5函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx解析：正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点，故令xk，kZ，xk，kZ.即k1，则x.答案：C探究四三角函数性质的综合应用6(2015·揭阳一模)当x时，函数f(x)sin(x)取得最小值，则函数yf()A是奇函数且图象关于点对称B是偶函数且图象关于点(，0)对称C是奇函数且图象关于直线x对称D是偶函数且图象关
10、于直线x对称解析：当x时，函数f(x)取得最小值，sin1，2k(kZ)f(x)sinsin.yfsin(x)sin x.yf是奇函数，且图象关于直线x对称答案：C7(2015·高考天津卷)已知函数f(x)sin xcos x(>0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_解析：f(x)sin xcos xsin，因为函数f(x)的图象关于直线x对称，所以f()sin±，所以2k，kZ，即2k，kZ，又函数f(x)在区间(，)内单调递增，所以2，即2，取k0，得2，所以.答案：函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周
11、期性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断11.换元法求三角函数的最值问题【典例】(1)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值(2)求函数ysin xcos x3cos xsin x的最值思路点拨利用换元法求解，令tsin x或令tsin xcos x转化为二次函数最值问题解(1)令tsin
12、 x，|x|，t.yt2t12，当t时，ymax，t时，ymin.函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.(2)令tsin xcos x，t， 又(sin xcos x)22sin xcos x1，sin xcos x，yt2t，t，t对，y小f×，y大f().方法点评(1)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可设sin xt，再化为关于t的二次函数求值域(最值)(2)形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数，可设tsin x±cos x，再化为关于t的二次函数求值域(最值)跟踪练习当x时，函数y3sin x2cos2x
13、的最小值是_，最大值是_解析：由x，知sin x1.又y3sin x2cos2x2sin2xsin x122，当sin x时，ymin，当sin x1或时，ymax2.答案：2A组考点能力演练1(2015·唐山期末)函数f(x)12sin2的最小正周期为()A2 B C. D4解析：f(x)12sin2cos x，f(x)的最小正周期T2，故选A.答案：A2函数f(x)cos 2x2sin x的最大值与最小值的和是()A2 B0C D解析：f(x)12sin2x2sin x22，所以函数f(x)的最大值是，最小值是3，所以最大值与最小值的和是，故选C.答案：C3已知函数ysin x的
14、定义域为a，b，值域为，则ba的值不可能是()A. B.C D.解析：画出函数ysin x的草图分析知ba的取值范围为.答案：A4已知函数f(x)sin xcos x(>0)，ff0，且f(x)在区间上递减，则()A3 B2C6 D5解析：f(x)在上单调递减，且ff0，f0，f(x)sin xcos x2sin，ff2sin0，k(kZ)，又·，>0，2.答案：B5若函数f(x)cos(2x)的图象关于点成中心对称，且<<，则函数yf为()A奇函数且在上单调递增B偶函数且在上单调递增C偶函数且在上单调递减D奇函数且在上单调递减解析：因为函数f(x)cos(2
15、x)的图象关于点成中心对称，则k，kZ.即k，kZ，又<<，则，则yfcoscossin 2x，所以该函数为奇函数且在上单调递减，故选D.答案：D6(2015·长沙一模)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为_解析：由题意知，1<<2，即k<<2k.又kN，所以k2或k3.答案：2或37已知函数f(x)2sin(>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在1,1上的单调增区间为_解析：由题知2，得，f(x)2sin，令2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，又x1,1，所以x，所以函数f(x)在1
16、,1上的单调递增区间为.答案：8已知函数f(x)cos xsin x(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称其中真命题的是_解析：f(x)sin 2x，当x10，x2时，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命题；f(x)的最小正周期为，故是假命题；当x时，2x，故是真命题；因为fsin，故f(x)的图象关于直线x对称，故是真命题答案：9已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间解：由f(x)的最小正周
17、期为，则T，2.f(x)sin(2x)(1)当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)sin(2x)sin(2x)，展开整理得sin 2xcos 0，由已知上式对xR都成立，cos 0，0<<，.(2)f(x)的图象过点时，sin，即sin.又0<<，<<.，.f(x)sin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的单调递增区间为，kZ.10(2016·长沙模拟)设函数f(x)sin2cos2.(1)求yf(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x2对称，当x0,1时，求函数yg(x)的最大值解：(1)
18、由题意知f(x)sincos1·sin1，所以yf(x)的最小正周期T6.由2k2k，kZ，得6kx6k，kZ，所以yf(x)的单调递增区间为，kZ.(2)因为函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x2对称，所以当x0,1时，yg(x)的最大值即为x3,4时，yf(x)的最大值，当x3,4时，x，sin ，f(x)，即当x0,1时，函数yg(x)的最大值为.B组高考题型专练1(2014·高考陕西卷)函数f(x)cos的最小正周期是()A. BC2 D4解析：由周期公式T.答案：B2(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Ay
19、cos BysinCysin 2xcos 2x Dysin xcos x解析：采用验证法由ycossin 2x，可知该函数的最小正周期为且为奇函数，故选A.答案：A3(2015·高考浙江卷)函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_解析：由题意知，f(x)sin，所以最小正周期T.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故单调递减区间为(kZ)答案：(kZ)4(2014·高考北京卷)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A>0，>0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_解析：记f(x)的最小正周期为T.由题意知，又fff，且，可作出示意图如图所示(一种情况)：x1×，x2×，x2x1，T.答案：5(2015·高考北京卷)已知函数f(x)sin x2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值解：(1)因为f(x)sin xcos x2sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间上的最小值为f.
黑公网安备:91230400333293403D